高数上前三章知识点总结.docx

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高数上前三章知识点总结

高数（上）前三章知识点总结

　　第一章　　函数与极限

　　第一节映射与函数

　　一、集合

　　1、集合概念

　　通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合，用小写拉丁字母a、

　　b、c……表示元素。

　　含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。

表示集合的方法通常有列举法和描述法。

　　习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N，全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。

　　设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B

　　的子集，记作AB或BA。

如果AB且BA，则称集合A与集合B相等，记作AB。

若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB不含任何元素的集合成为空集。

2、集合的运算

　　集合的基本运算有并、交、差。

　　AB={x/xA或xb}

　　AB={x/xA且xB}　　A\\B={x/xA且xB}

　　若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。

3、区间和邻域

　　开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U。

　　点a的邻域记作U（a，），点a称为这邻域的中心，称为这邻

　　域的半径。

　　点a的去心邻域记作UO（a，）。

　　二、映射1、映射概念

　　映射定义：

设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每

　　个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：

XY设f是从集合X到Y上的映射，若Rf=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；

　　若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映

　　射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。

　　2、逆映射与复合映射

　　只有单射才存在逆映射

　　若g：

XY1，f：

Y2Z，则这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg即fg：

XZ。

三、函数1、函数概念

　　设数集DR，则称映射f：

DR为定义在D上的函数，通常简记为　　y=f（x），xD

　　其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D　　构成函数的要素是定义域和对应法则。

　　函数的定义域通常按以下两种情形来确定：

一种是对有实际背景的函

　　数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。

　　表示函数的主要方法有三种：

表格法、图形法、解析法。

2、函数的几种特性函数的有界性函数的单调性

　　单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数的周期性

　　对于函数f（x）的定义域为D，若存在正数l，使得　　f（x+l）=f（x）　　恒成立，则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期。

L一般指最小正周期。

函数的奇偶性　　

　　设函数f的定义域关于原点对称。

　　若对于任一xD，f（-x）=f（x）恒成立，则称f（x）为偶函数；若对于任一xD，f（-x）=-f（x）恒成立，则称f（x）为奇函数。

偶函数的图形关于y轴是对称的。

奇函数的图形关于原点是对称的。

3、反函数与复合函数

　　对于函数f来说，y=f1（x）为其反函数，f（x）称为直接函数。

直接函

　　数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。

　　设函数y=f（u）的定义域为Df，函数u=g（x）的定义域为Dg，且其值域

　　RgDf，则下式确定的函数

　　Y=f【g（x）】，xD

　　称为函数u=g（x）和函数y=f（u）构成的复合函数，变量u极为中间变

　　量。

　　4、函数的运算5、初等函数

　　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统

　　称为基本初等函数。

　　有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合

　　步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

　　第二节数列的极限

　　一、二、

　　数列极限的定义收敛数列的性质

　　定理一如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。

定理二如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

定理三如果数列{xn}存在极限且极限大于零，那么存在正整数N0，当nN时，都有xn0

　　定理四如果数列{xn}收敛于a，那么它的

　　任一子数列也收敛，且极限也是a

　　第三节函数的极限

　　一、函数极限的定义

　　1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时函数的极限

　　二、函数极限的性质

　　定理一如果函数存在极限，那么这极限唯一。

　　定理二如果函数的极限为a，那么存在常数M0和

　　0，使得当0xx0时，有f（x）M。

　　定理三定理四

　　第四节无穷小与无穷大

　　一、无穷小的定义二、无穷大的定义

　　三、若函数f（x）为无穷大，则

　　1为无穷小；f（x）1为无穷大。

f（x）若函数f（x）为无穷小，则

　　第五节极限运算法则

　　定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理3关于无穷小的乘除运算

　　定理4两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算定理5复合函数的极限运算法则

　　第六节极限存在准则两个重要极限

　　一、夹逼准则　　limx0sinx1x　　limcosx1

　　x0二、准则II单调有界数列必有极限

　　limx1

（1）xe

　　x三、柯西极限存在准则

　　第七节无穷小的比较

　　一、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小二、定理一、定理二

　　第八节函数的连续性与间断点

　　第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

　　一、连续函数的和、差、积、商的连续性

　　二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性

　　第十节闭区间上连续函数的性质

　　一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理三、一致连续性

　　第二章导数与微分

　　第一节导数概念

　　一、导数的定义

　　单侧导数：

左导数和右导数统称为单侧导数二、导数的几何意义

　　三、函数可导性与连续性的关系

　　如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数在该点必连续；另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

　　第二节函数的求导法则

　　一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式

　　1、常数和基本初等函数的导数公式2、函数的和、差、积、商的求导法则3、反函数的求导法则4、复合函数的求导法则

　　第三节高阶导数

　　一般的，阶导数的导数叫做n阶导数

　　第四节隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率

　　一、隐函数的导数

　　可以用函数十字表达的函数叫做显函数二、参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率

　　第五节函数的微分

　　一、微分的定义二、微分的几何意义

　　三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

　　1、基本初等函数的微分公式

　　2、函数的和、差、积、商的微分法则3、复合函数的微分法则四、微分在近似计算中的应用

　　1、函数的近似计算2、误差估计

　　第三章微分中值定理与导数的应用

　　第一节微分中值定理

　　一、罗尔定理

　　二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理

　　第二节洛必达法则

　　第三节泰勒公式

　　第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

　　一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点

　　第五节函数的极值与最大值最小值

　　一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题

　　第六节函数图形的描绘

　　第七节曲率

　　一、弧微分

　　二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径

　　四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线

　　第八节方程的近似解

　　一、二分法二、切线法

　　第一章　　函数与极限

　　第一节映射与函数

　　一、集合

　　1、集合概念

　　通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合，用小写拉丁字母a、

　　b、c……表示元素。

　　含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。

表示集合的方法通常有列举法和描述法。

　　习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N，全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。

　　设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B

　　的子集，记作AB或BA。

如果AB且BA，则称集合A与集合B相等，记作AB。

若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB不含任何元素的集合成为空集。

2、集合的运算

　　集合的基本运算有并、交、差。

　　AB={x/xA或xb}

　　AB={x/xA且xB}　　A\\B={x/xA且xB}

　　若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。

3、区间和邻域

　　开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U。

　　点a的邻域记作U（a，），点a称为这邻域的中心，称为这邻

　　域的半径。

　　点a的去心邻域记作UO（a，）。

　　二、映射1、映射概念

　　映射定义：

设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每

　　个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：

XY设f是从集合X到Y上的映射，若Rf=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；

　　若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映

　　射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。

　　2、逆映射与复合映射

　　只有单射才存在逆映射

　　若g：

XY1，f：

Y2Z，则这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg即fg：

XZ。

三、函数1、函数概念

　　设数集DR，则称映射f：

DR为定义在D上的函数，通常简记为　　y=f（x），xD

　　其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D　　构成函数的要素是定义域和对应法则。

　　函数的定义域通常按以下两种情形来确定：

一种是对有实际背景的函

　　数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。

　　表示函数的主要方法有三种：

表格法、图形法、解析法。

2、函数的几种特性函数的有界性函数的单调性

　　单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数的周期性

　　对于函数f（x）的定义域为D，若存在正数l，使得　　f（x+l）=f（x）　　恒成立，则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期。

L一般指最小正周期。

函数的奇偶性　　

　　设函数f的定义域关于原点对称。

　　若对于任一xD，f（-x）=f（x）恒成立，则称f（x）为偶函数；若对于任一xD，f（-x）=-f（x）恒成立，则称f（x）为奇函数。

偶函数的图形关于y轴是对称的。

奇函数的图形关于原点是对称的。

3、反函数与复合函数

　　对于函数f来说，y=f1（x）为其反函数，f（x）称为直接函数。

直接函

　　数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。

　　设函数y=f（u）的定义域为Df，函数u=g（x）的定义域为Dg，且其值域

　　RgDf，则下式确定的函数

　　Y=f【g（x）】，xD

　　称为函数u=g（x）和函数y=f（u）构成的复合函数，变量u极为中间变

　　量。

　　4、函数的运算5、初等函数

　　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统

　　称为基本初等函数。

　　有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合

　　步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

　　第二节数列的极限

　　一、二、

　　数列极限的定义收敛数列的性质

　　定理一如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。

定理二如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

定理三如果数列{xn}存在极限且极限大于零，那么存在正整数N0，当nN时，都有xn0

　　定理四如果数列{xn}收敛于a，那么它的

　　任一子数列也收敛，且极限也是a

　　第三节函数的极限

　　一、函数极限的定义

　　1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时函数的极限

　　二、函数极限的性质

　　定理一如果函数存在极限，那么这极限唯一。

　　定理二如果函数的极限为a，那么存在常数M0和

　　0，使得当0xx0时，有f（x）M。

　　定理三定理四

　　第四节无穷小与无穷大

　　一、无穷小的定义二、无穷大的定义

　　三、若函数f（x）为无穷大，则

　　1为无穷小；f（x）1为无穷大。

f（x）若函数f（x）为无穷小，则

　　第五节极限运算法则

　　定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理3关于无穷小的乘除运算

　　定理4两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算定理5复合函数的极限运算法则

　　第六节极限存在准则两个重要极限

　　一、夹逼准则　　limx0sinx1x　　limcosx1

　　x0二、准则II单调有界数列必有极限

　　limx1

（1）xe

　　x三、柯西极限存在准则

　　第七节无穷小的比较

　　一、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小二、定理一、定理二

　　第八节函数的连续性与间断点

　　第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

　　一、连续函数的和、差、积、商的连续性

　　二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性

　　第十节闭区间上连续函数的性质

　　一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理三、一致连续性

　　第二章导数与微分

　　第一节导数概念

　　一、导数的定义

　　单侧导数：

左导数和右导数统称为单侧导数二、导数的几何意义

　　三、函数可导性与连续性的关系

　　如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数在该点必连续；另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

　　第二节函数的求导法则

　　一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式

　　1、常数和基本初等函数的导数公式2、函数的和、差、积、商的求导法则3、反函数的求导法则4、复合函数的求导法则

　　第三节高阶导数

　　一般的，阶导数的导数叫做n阶导数

　　第四节隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率

　　一、隐函数的导数

　　可以用函数十字表达的函数叫做显函数二、参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率

　　第五节函数的微分

　　一、微分的定义二、微分的几何意义

　　三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

　　1、基本初等函数的微分公式

　　2、函数的和、差、积、商的微分法则3、复合函数的微分法则四、微分在近似计算中的应用

　　1、函数的近似计算2、误差估计

　　第三章微分中值定理与导数的应用

　　第一节微分中值定理

　　一、罗尔定理

　　二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理

　　第二节洛必达法则

　　第三节泰勒公式

　　第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

　　一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点

　　第五节函数的极值与最大值最小值

　　一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题

　　第六节函数图形的描绘

　　第七节曲率

　　一、弧微分

　　二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径

　　四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线

　　第八节方程的近似解

　　一、二分法二、切线法