高考数学专题3第10练.docx

高考数学专题3第10练.docx

《高考数学专题3第10练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学专题3第10练.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学专题3第10练

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

第10练　重应用——函数的实际应用

[题型分析·高考展望]　函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.

常考题型精析

题型一　基本函数模型的应用

例1　

（1）（2014·北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A.3.50分钟B.3.75分钟

C.4.00分钟D.4.25分钟

（2）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.

①当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？

如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

点评　解决实际应用问题关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：

⇒⇒⇒.

变式训练1　

（1）（2015·北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间

加油量（升）

加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日

12

35000

2015年5月15日

48

35600

注：

“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）

A.6升B.8升C.10升D.12升

（2）2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价以按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以使每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.

题型二　分段函数模型的应用

例2　2015年4月，某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝当药剂在水中的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.

（1）如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

（2）如果投放药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值.

点评　函数有关应用题的常见类型及解题关键

（1）常见类型：

与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.

（2）解题关键：

解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

变式训练2　季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.

（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式；

（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？

最大值是多少？

（注：

每件销售利润＝售价－进价）

高考题型精练

1.（2015·北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（　　）

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多

C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

2.（2014·湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　）

A.B.

C.D.－1

3.（2014·陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　）

A.y＝x3－xB.y＝x3－x

C.y＝x3－xD.y＝－x3＋x

4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（　　）

A.300只B.400只

C.600只D.700只

5.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543）（　　）

A.2015年B.2011年

C.2016年D.2008年

6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单元：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（　　）

A.45.606万元B.45.6万元

C.45.56万元D.45.51万元

7.（2014·福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________.（单位：

元）

8.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝n（n＋1）（2n＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年.

9.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.

10.（2015·四川）某食品的保鲜时间y（单位：

小时）与储藏温度x（单位：

℃）满足函数关系

y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.

11.为了保护学生的视力，课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：

假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：

第一套

第二套

椅子高度x（cm）

40.0

37.0

课桌高度y（cm）

75.0

70.2

（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）.

（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？

为什么？

12.某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益（已扣工资等）1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创纯收益0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）当140

（注：

在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员）

答案精析

第10练　重应用——函数的实际应用

常考题型精析

例1　

（1）B[根据图表，把（t，p）的三组数据（3,0.7），（4,0.8），（5,0.5）分别代入函数关系式，联立方程组得

消去c化简得

解得

所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－（t2－t＋）＋－2＝－（t－）2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.]

（2）解　①当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，

则S＝200x－

＝－x2＋400x－80000＝－（x－400）2，

所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.

当x＝300时，S取得最大值－5000，

所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.

②由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为

＝

（ⅰ）当x∈[120,144）时，＝x2－80x＋5040

＝（x－120）2＋240，

所以当x＝120时，取得最小值240.

（ⅱ）当x∈[144,500]时，

＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.

因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

变式训练1　

（1）B　

（2）y＝x（x∈N*）

解析　

（1）由表知：

汽车行驶路程为35600－35000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.

（2）设每台新价为b，则售价b（1－25%），

让利b×25%，由于原价为a，则进价为a（1－20%），

根据题意，得每件家电利润为b×（1－25%）×20%＝b×（1－25%）－a（1－20%），化简得b＝a.

∴y＝b×25%·x＝a×25%×x＝x（x∈N*），

即y＝x（x∈N*）.

例2　解　

（1）由题意，得当药剂质量m＝4时，

y＝

当0

当x>4时，≥4，解得4

综上0

所以自来水达到有效净化一共可持续16天.

（2）由y＝m·f（x）＝得

当0

当x>4时，y′＝<0，

所以函数在区间（4,7]上单调递减，

即≤y<3m，综上知，≤y≤3m，

为使4≤y≤10恒成立，只要≥4且3m≤10即可，

即≤m≤.

所以应该投放的药剂量m的最小值为.

变式训练2　解　

（1）P＝

（2）设该服装每件销售利润为L元.

由题意，得

L＝

＝

①当t∈[0,5]时，Lmax＝9.125，此时t＝5；

②当t∈（5,10]时，Lmax＝8.5，此时t＝6或10；

③当t∈（10,16]时，Lmax＝7.125，此时t＝11；

∴第五周每件销售利润最大，最大值为9.125元.

高考题型精练

1.D[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.]

2.D[设年平均增长率为x，则（1＋x）2＝（1＋p）（1＋q），

∴x＝－1.]

3.A[函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y′≤0，经检验只有A符合.故选A.]

4.A[将x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300.]

5.B[设1995年生产总值为a，经过x年翻两番，则a·（1＋9%）x＝4a.∴x＝≈16.]

6.B[依题意可设甲销售x辆，则乙销售（15－x）辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30（x≥0），所以当x＝10时，S有最大值为45.6（万元）.]

7.160

解析　设该长方体容器的长为xm，则宽为m.又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2（x＋）×10，即y＝80＋20（x＋）（x>0）.因为x＋≥2＝4（当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”），所以ymin＝80＋20×4＝160（元）.

8.7

解析　设第n（n∈N*）年的年产量为an，则a1＝×1×2×3＝3；当n≥2时，an＝f（n）－f（n－1）＝n（n＋1）·（2n＋1）－n（n－1）（2n－1）＝3n2.又a1＝3也符合an＝3n2，所以an＝3n2（n∈N*）.令an≤150，即3n2≤150，解得－5≤n≤5，所以1≤n≤7，n∈N*，故最长的生产期限为7年.

9.16

解析　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，

∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，

即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，

则t＝24，所以再经过16min.

10.24

解析　由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝（e11k）3·eb＝3·eb＝×192＝24.

11.解　

（1）根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系为y＝kx＋b.

将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，

得　∴

∴y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.

（2）把x＝42代入上述函数关系式中，

有y＝1.6×42＋11＝78.2.

∴给出的这套课桌椅是配套的.

12.解　

（1）由题意可知，

y＝（a－x）（1＋0.01x）－0.4x

＝－x2＋x＋a.

∵a－x≥a，∴x≤a，

即x的取值范围是中的自然数.

（2）∵y＝－2＋2＋a，

且140

当a为奇数时，x＝－70，y取最大值（∵尽可能少裁人，∴舍去x＝－70）.

∴当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；

当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.