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东北三省数学建模竞赛论文范文

A题：

企业的营销管理问题

摘要：

这是一个为公司制定生产、销售方案的问题。

对于已签约的合同，毫无疑问，公司要对其进行生产。

而对于有意向的产品订单以及计划外产品的生产、销售问题则可以考虑成卖报人问题：

如果公司的生产量过多没有卖出，那么会浪费成本和经费，就像订购的报纸过多将剩下没有价值的报纸一样。

如果公司没有生产足够的产品，那么会失去赢取利润的机会，就像没有足够的报纸满足客户需求并获得利润，还会使客户感到失望。

由于企业生产能力以及成本的考虑，需要在满足已签约的销售合同量的基础上，对意向签约量有选择的安排生产。

这里我们选用离散需求模型，即使用边际分析来解决卖报人问题。

设生产量q,需求量为d.如果d≤q,则生产量多余需求量，也就是说供过于求。

如果订单大小从q增加到q+1,那么将由于生产过剩而使费用增加Co.同样，如果d≥q+1,则生产量小于需求量。

如果使订单增加1个单位，那么我们将缺货一个单位，因此意味着我们要失去赢得的利润Cu.要通过边际分析导出最优生产量。

最后得出，满足F（q）≥Cu/（Cu+Co）的最小q为所要求的最优生产量。

即在该生产量的情况下，企业可以最可能的实现利润最大化。

对于计划外的产品销售，为了调动营销部的积极性，我们认为企业应合理的为营销部提供计划外的产品。

既要考虑到风险，又要兼顾营销部和公司的利益。

关键词：

离散需求边际分析最优生产量卖报人问题

问题重述

企业对于产品的销售分为两个方面：

一方面是计划内的销售，包括已签约合同和意向签约量；另一方面，在计划之外销售部门会再多销售一些产品。

计划内的产品，企业根据销售量发放经费；对于计划外销售的产品，销售部向企业缴纳利润，经费由销售部承担。

要求根据以下要求制定该公司相应的生产、销售方案：

（1）使公司的利润达到最大；

（2）使营销部的总收入极大化；

（3）兼顾公司和营销部二者的利益；

（4）兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售；

（5）营销部可以自行定价的情况下，确定使营销部总收入最大的定价、生产及销售方案。

通过数学模型求解以上问题。

模型假设

1．生产量和销售量相等，即企业生产的产品，通过合理的销售方案全部能够销售出去。

2．各个意向签约的客户间的互相影响可以忽略。

3．对于同种产品，计划内所需的经费和计划外所需的经费相同。

模型建立与求解——利用离散需求模型求解

（1）使公司的利润达到最大

首先，运用离散需求模型求出企业对意向签约客户的最优生产量：

这里，为了研究的方便，我们先选择第一大类家电产品热水壶为研究对象；热水壶的生产成本及产量与成本的关系如图1：

因为考虑的是公司的利润最大，所以这里我们采用边际成本分析时需要研究对公司来说的成本和利润。

图1

为了研究的精确，这里我们只给出了销售量在【10,30】区间的成本图，因为考虑到生产能力的制约，以及已签约客户的签约量，可以分别得出三类产品的生产量区间分布为：

第一类产品：

【8,20】；第二类产品：

【20,32】；第三类产品：

【10,22】

Co1=-0.4208+8.4989=8.0781

Co2=-0.4576+9.2529=8.7953

Co3=-0.4764+9.6312=9.1548

图2

得出：

Cu1=12.5382

Cu2=13.9684

Cu3=14.7477

令Pi=Cui/（Coi+Cui）

P1=0.608

P2=0.614

P3=0.617

令对意向客户的生产量Di,意向客户可能订购的数量为Q,则由离散需求理论Q是满足P（Di≤Qi*）≥Pi的最小值。

作为Q的函数，其是递增的。

由各个意向客户可能签订订购合同量的概率表，我们得出D1=Q1=0.15+0.15=0.30（万个），

D2=Q2=0.1+0.15=0.25（万个），

D3=Q3=0.1+0.1=0.2（万个）

这样，公司的“固有”合同量为0.8+2.0+1.0+0.30+0.25+0.2=4.55（万个），如果有计划外销售部分，我们由表2给出的生产成本和表14给出的销售部向企业缴纳的利润可以看出，公司从计划外销售部分只有亏损。

因此，当不考虑销售部的主管能动性，只从数据上我们可以得出企业的最大利润即为生产4.55万个热水壶，其中1.5升1.1万个，1.8升2.25万个，2升1.2万个；在销售上了已签约的，其他均用在意向客户上。

（2）兼顾营销部的利润、积极性以及供需平衡

考虑到销售部的积极性对销量的影响，如果没有计划外的销量，那很可能导致销售中各种“人为”因素的出现。

因此，为了使公司的利润最大化得以顺利实现，同时营销部的总收入极大化，即兼顾公司和营销部二者的利益，有必要就上述剩余生产能力的分配进行研究讨论。

兼顾公司和营销部的利益，在利用离散需求原理时我们发现其总成本即为生产成本加上宣传费用，而盈利即为其销售额。

利用边际分析来解决生产和销售问题时我们得出：

总成本=生产成本+宣传费用

10

15

20

25

30

1

7.918

7.419333

7.029

6.6384

6.341333

2

8.621

8.077333

7.658

7.2284

6.905

3

8.973

8.41

7.967

7.5236

7.187

图3

为了研究的精确，这里我们只给出了销售量在【10,30】区间的成本图，因为考虑到生产能力的制约，以及已签约客户的签约量，可以分别得出三类产品的生产量区间分布为：

第一类产品：

【8,20】；第二类产品：

【20,32】；第三类产品：

【10,22】

得出Co1=-0.3934+8.2496=7.9562

Co2=-0.4281+8.9822=8.5541

Co3=-0.4458+9.3496=8.9038

热水壶相应的盈利如图：

得出

图4

Cu1=12.5382

Cu2=13.9684

Cu3=14.7477

令Pi=Cui/（Coi+Cui）

得出;

P1=0.61

P2=0.62

P3=0.62

令对意向客户的生产量Di,意向客户可能订购的数量为Q,则由离散需求理论Q是满足P（Di≤Qi*）≥Pi的最小值。

作为Q的函数，其是递增的。

由各个意向客户可能签订订购合同量的概率表，我们得出：

D1=Q1=0.15+0.15=0.30（万个），

D2=Q2=0.1+0.15=0.25（万个），

D3=Q3=0.1+0.1=0.2（万个）

得出了对意向客户最优的生产量，结合已签约的量，我们可以得出“固定”的生产单。

在生产能力许可的情况下，我们考虑如何安排剩余生产能力。

对于计划外的产品，我们同样考虑边际成本，利用离散需求模型，求出其最优生产量。

通过以上的计算，得出123号商品的最优生产量分别为0.30.250.2（单位：

万个）。

此时，总生产量为4.55。

在此基础上为实现销售部利润极大化，根据总生产能力（5万个），可以得出计划外总这三种产品的总销售量为0.45万个。

由以上得到的Pi的值，我们同样利用离散需求原理，可以得出其最优的生产量分别为：

0.2，0.2，0.3（万个），但这超出了企业的生产能力范围。

为此，营销部必须调整计划外的销售量。

但由于这个需求量是相对最合理的，为了满足客户的需求，达到供需平衡，我们计划让销售部利用自己定价的优势，将企业生产能力的不足通过提高产品的价格来满足，以达到企业、销售部、顾客的三赢。

由于营销部将价格每提高5%，其销售量将下降10%，因此为了让计划外销售量由0.7变为0.45，及销量下降35.7%，根据题中条件，需要上调价格17.8%。

同理，我们可以利用离散需求原理得到另外两大类产品的最优生产量和销售方案。

因为无论是利用总成本曲线还是利用单位成本曲线，只要我们去单位值进行计算，得到的临界概率都相等。

为此我们选用了较为简单的总成本与销售量的关系图。

得出：

Co4=20.3387

Co5=23.227

Co6=24.0554

得出

Cu4=34.4885

Cu5=39.4186

Cu6=41.0293

得到：

P4=0.62904

P5=0.629232

P6=0.630399

得出产品4的意向销量为0.25万个，产品5为0.35万个，产品6为0.5万个，因此还有0.9万个剩余生产能力。

再利用离散需求原理，得出计划外产品4、5、6的销售量分别为：

0.2万个，0.2万个，0.1万个。

因此生产量分别为：

产品4为1.45万个，产品5为2.55万个，产品6为2.1万个。

同理，得出电饭煲各类产品的生产量：

Co7=27.68

Co8=29.6562

Co9=31.3311

Co10=32.1247

Cu7=42.6292

Cu8=45.2157

Cu9=49.3785

Cu10=48.8514

可得：

P7=0.60631

P8=0.603907

P9=0.611805

P10=0.603282

得出产品7的意向销量为0.3万个，产品8为0.6万个，产品9为0.3万个，产品10为0.25万个，剩余生产能力为0.45万个。

而计划外最可能的销量为0.3+0.3+0.1+0.2=0.9万个，因此为了使销量下降50%，可以提高价格25%。

结论

在模型的求解过程中，我们得到：

销售方案如下：

（单位：

万）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

意向签约

0.3

0.25

0.2

0.25

0.35

0.5

0.3

0.6

0.3

0.25

计划外

0.1

0.2

0.15

0.2

0.2

0.1

0.3

0.3

0.3

0.2

总计

1.2

2.45

1.35

1.45

2.55

2.1

1.7

2.6

1.6

0.95

模型优缺点分析

优点

（1）该模型在销售需求的计算中，引入了离散需求模型。

简化了对于销售需求的求解过程。

在模型中，可以很清晰的计算出满足条件的销售方案。

（2）模型充分考虑了客户需求和公司、销售部之间的均衡，实现了三者的统一。

缺点

由于模型采用的是离散需求的方法，对于产品的连续性需求的求解明显不够准确。

但是对于题中批量生产的产品，显然是满足要求的。

参考文献

[1]WayneL.Winston运筹学——概率模型应用范例与解法清华大学出版社2006年8月

[2]胡立凯基于供应链的销售预测研究江苏大学2008年12月

[3]谢碧玉产品销售方案的分析广西师范大学2006年

[4]党耀国李帮义朱建军运筹学中国科学院规划教材

[5]（美）吉特默著，孙路弘译销售红宝书机械工业2007年01月