固定收益证券计算题.docx
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固定收益证券计算题
计算题
题型一：
计算普通债券的久期和凸性
久期的概念公式：
其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式：
其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期数。
凸性的计算公式：
其中，y表示每期到期收益率；Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。
例一：
面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。
每期现金流：
实际折现率：
息票债券久期、凸性的计算
时间（期数）
现金流（元）
现金流的现值（元）
权重
（Wt）
时间×权重
（t×Wt）
（t2+t）×Wt
1
4
0.0401
（
）
0.0401
0.0802
2
4
0.0382
0.0764
0.2292
3
4
0.0364
0.1092
0.4368
4
4
0.0347
0.1388
0.6940
5
4
0.0330
0.1650
0.9900
6
104
0.8176
4.9056
34.3392
总计
94.9243
1
5.4351
36.7694
即，D=5.4351/2=2.7176
利用简化公式：
（半年）
即，2.7175（年）
36.7694/（1.05）2=33.3509；
以年为单位的凸性：
C=33.3509/
（2）2=8.3377
利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价格的波动
①利用修正久期的意义：
（年）
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
；
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
。
②凸性与价格波动的关系：
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
；
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
题型二：
计算提前卖出的债券的总收益率
首先，利息+利息的利息=
；r1为每期再投资利率；
然后，有债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格；
其中，
投资期末的债券价格：
；
N为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期收益率。
例二：
投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。
如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。
解：
6年内的利息+6年内利息的利息=
元
第6年末的债券价格=
元
所以，
6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元
总收益=1937.01-905.53=1031.48元
半年期总收益率=
总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%
题型三：
或有免疫策略（求安全边际）
例三：
银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。
解：
①银行可接受的终值最小值：
100×（1+8%）5=146.93万元；
②如果目前收益率稳定在10%：
触碰线：
万元
1年后债券的价值=100×8%+
=104.53万元；
③安全边际：
104.53-100.36=4.17万元；
A
B触碰线
所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。
债券年收益率=
题型四：
求逆浮动利率债券的价格
例四（付息日卖出）：
已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。
1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。
解：
①在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。
又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。
②1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格
元
③P逆=2P-P浮=2×9643.347-10000=9286.694元
题型五：
关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM实为一种折现率）
例五：
现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值？
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
=
+
=1276.76元
例六：
现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价为676.77美元，求债券到期收益率？
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
=
通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益率为6%×2=12%
例七：
美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。
解：
因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4%n=20
P=
=2281.93元
例八：
一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。
每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。
如果投资者在2003年7月10日购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少？
全价是多少？
（采用360天计算）
解：
2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。
那么n=81/180=0.45。
元
即该债券的净价为1189.79元
又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以
元
即该债券的全价为27.5+1189.79=1217.29元
例九：
在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为857.34元，计算该债券的年到期收益率。
解：
因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：
通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%，因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%
例十：
美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。
（按一年360天计算）
解：
2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。
即n=169/180=0.9389
又因为全价=净价+应付利息
元
所以，净价=1045-3.06=1041.94元
即，
该债券的半年到期收益率为YTM=3.58%
年到期收益率为3.58%×2=7.16%
题型六：
交税方法
例十一：
一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。
政府对其收税，税率为20%。
现有两种交税方式：
①一年一付；②到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？
（改变哪个数值会造成相反的结果）
解：
设在某年年初购买该基金；基金面值为100元；市场适当收益率为r；
①一年一付（年末付）：
每年年末应交：
元
现值：
②到期时一起付
总利息为：
10×1.2=12元
现值：
若
则
所以：
①当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以；
②当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付；
③当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。
附：
课上提过的重点题
例十二：
有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：
债券名称
票面利率
到期时间（年）
面值（元）
市场价格（元）
到期收益率（年率）
A
6%
6
1000
951.68
7%
B
5.5%
5
20000
20000
5.5%
C
7.5%
4
10000
9831.68
8%
求该债券组合的到期收益率。
（步骤：
1、列表；2、列方程）
解：
①若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。
A：
B：
（平价出售）
C：
②该债券组合的总市场价值为：
951.68+20000.00+9831.68=30783.36元
③列表：
r为债券组合的到期收益率
期数
A的现金流（元）
B的现金流（元）
C的现金流（元）
债券组合的现金流（元）
总现金流的现值（元）
1
30
550
375
955
955/（1+r）
2
30
550
375
955
955/（1+r）2
3
30
550
375
955
955/（1+r）3
4
30
550
375
955
955/（1+r）4
5
30
550
375
955
955/（1+r）5
6
30
550
375
955
955/（1+r）6
7
30
550
375
955
955/（1+r）7
8
30
550
10375
10955
10955/（1+r）8
9
30
550
580
580/（1+r）9
10
30
20550
20580
20580/（1+r）10
11
30
30
30/（1+r）11
12
1030
1030
1030/（1+r）12
总市场价值
30783.36
④列方程：
所以该债券的半年期到期收益率为3.13%；其年到期收益率（内部回报率）为6.26%。
例十三：
APR与EAR的换算
公式：
其中：
EAR为实际年利率；APR为名义年利率；n为一年中的计息次数；
A债券的年利率为12%，半年支付一次利息。
B债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。
C债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。
求这三种债券的实际年收益率。
A：
B：
C：
注：
名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大；
付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。
例十四：
求债券总收益或总收益率（与题型二对比此题没有提前出售债券这一条件故较为简单）
此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值
总收益=债券实际总价值-购买债券时的价格
求总收益率：
公式：
每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n-1
实际年收益率=（1+每期收益率）m-1
投资者用1108.38元购买一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。
假设债券被持有至到期日，再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。
解：
半年期的YTM=5%，即每期的再投资利率为5%
利息+利息的利息=
元
该债券的利息=60×16=960元
利息的利息=1419.45-960=459.45元
持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45元
总收益=2419.45-1108.38=1311.07元
每期收益率=
总收益率=
例十五：
（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成，求该债券组合的久期，并说明利率变动时价格的变化。
债券名称
面值（元）
票面利率
到期时间（年）
市场价格（元）
YTM（年）
A
1000
6%
6
951.68
7%
B
20000
5.5%
5
20000
5.5%
C
10000
7.5%
4
9831.68
8%
解：
1.若没给出市场价格，先计算市场价格；
2.利用简化公式，求出各自的久期；
3.得出修正久期，算出总D*；
4.假设利率变动，计算现在的价格。
久期的简化公式：
；
①分别计算出A、B、C的久期：
（半年）
（半年）=4.9276（年）
（半年）
（半年）=4.3201（年）
（半年）
（半年）=3.3887（年）
该债券组合的市场总价值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元，债券A的权重为0.0309、债券B的权重为0.6497、债券C的权重为0.3194。
因此，该债券组合的久期为：
（年）
这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时，组合的市场价值将会变动4.0414%。
例十六：
如何构造理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法：
假设存在5种政府债券，期限分别从1年到20年。
这些债券都是平价债券，即价格与面值相等，等于100元。
因为是平价债券，所以这些债券的到期收益率与票面利率正好相等。
债券期限（年）
YTM（票面利率）
即期利率（
）
远期利率（
）
1
5%
5%
5%
2
5.1%
5.1026%
5.2052%
3
5.2%
5.207%
5.4161%
4
5.35%
5.368%
5.8525%
5
5.45%
5.4763%
5.9106%
解：
在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合，债券的价格等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用
，计算远期利率。
①1年期债券的到期收益率就是1年期的即期利率，即
；
②2年期债券的现金流模式如下：
解得
、
；
③3年期债券的现金流模式如下：
解得
、
；
④4年期债券的现金流模式如下：
解得
、
；
⑤5年期债券的现金流模式如下：
解得
、
根据以上计算，画图：
远期利率
即期利率
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