二次函数与四边形的动点问题含答案.docx
《二次函数与四边形的动点问题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数与四边形的动点问题含答案.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
二次函数与四边形的动点问题含答案
二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.（浙江义乌市）如图，抛物线y
x2
2x3与x轴交A、B两点（A点在B点左
侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线
AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
A
（3）点G是抛物线上的动点，在
x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四
个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，
求出所有满足条件的
F点坐标；如果不
存在，请说明理由．
练习1.（河南省实验区
）23．如图，对称轴为直线x
7
的抛物线经过点
A（6，0）和
B（0，4）．
2
y
7
x
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
2
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形
OEAF
是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形
OEAF的面积S与x之间的函数
B（0,4）
关系式，并写出自变量
x的取值范围；
①当平行四边形
OEAF的面积为
24时，请判断平行四边形
OEAF是否
F
为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形
OEAF为正方形？
若存在，
求出点E
A（6,0）
x
的坐标；若不存在，请说明理由．
O
E
1
练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l1的顶点为
C（3，4），抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C．
（1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称，则当点
P运动到
何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为
30
的直角三角形？
若存，
求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
y
l2
5
E
4
3
2
1
A
B
1O
123
45x
1
2
3
4
C
5
l1
练习3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（4，0），B（2，0），E（0，8）．
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于
C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位
的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为
止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？
若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
2
二．二次函数与四边形的面积
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：
y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x
轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、
AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x
⋯
-3
-2
1
2
⋯
y
⋯
-5
-4
-5
0
⋯
2
2
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
图10
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的
坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?
若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
3
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形
ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点
P，
Q同时从点A出发，点P沿A
B
C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A
D
方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮B
C
P
O
筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为
ycm2．
1
y与
x
之间的函数关系式；
A
Q
D
（）当0≤x≤1时，求
B
C
P
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求
x值；
O
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及
钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
A
Q
D
y
3
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出
y与x之间的函数图
象．
2
1
O
1
2x
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线
l1：
y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线
l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形
ABCD的
第四个顶点为D.
（1）求l2的解析式；
（2）求证：
点D一定在l2上；
（3）□ABCD能否为矩形？
如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积
（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由.注：
计算结果不取近似值
.
4
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.（荆门市）28.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），
C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在
（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？
若不
存在，说明理由；若存在，求出点
Q的坐标．
y
y
C
B
C
D
B
F
E
D
E
F
O
PAx
O
P
Ax
图1
图2
例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的
长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S
的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
5
例3..（湖南省郴州）27．如图，矩形
ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，
平移后的矩形为
EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点
E与C重时停止移动．平移中
EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点
M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点
Q．设S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC的面积．
（1）S与S相等吗？
请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出
x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图
11，连结BE，当AE为何值时，
ABE是等腰三角形．
A
D
A
D
x
P
E
H
E
P
H
B
N
C
M
B
M
N
C
F
Q
G
F
Q
G
图10
图11
练习1.（07年河池市）如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点
M从O出发以每秒
2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度
向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点
N作NP垂直x轴于点P，
连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点
（填M或N）能到达终点；
y
C
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自
N
B
变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？
若存在，求出点
M的坐标，
Q
若不存在，说明理由．
MP
Ax
O
图12
6
练习2..（江西省）25．实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形
ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图
1，
2，3中的顶点C的坐标，它们分别是
（5，2），
，
；
y
y
y
B（12），
B（c，d）
B（c，d）
C
C
C
x
x
A（a，b）
D（e，b）
O（A）
O（A）
D（e，0）
O
x
D（4，0）
图1
图2
图3
（2）在图
4中，给出平行四边形
ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点
C的
坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
y
C
B（c，d）
D（e，f）
A（a，b）
x
O
图4
归纳与发现
（3）通过对图
1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：
无论平行四边形
ABCD处
于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为
A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，
则四个顶点的横坐标
a，c，m，e
；纵坐标b，d，n，f之间的等量关
之间的等量关系为
系为
（不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线
y
x
2
（5c
3）x
1
5
1
9
，
c和三个点G
c，c，S
2
c，c
2
2
2
H（2c，0）（其中c
0
）．问当c为何值时，该抛物线上存在点
P，使得以G，S，H，P为顶点的四
边形是平行四边形？
并求出所有符合条件的
P点坐标．
7
答案：
一．二次函数与四边形的形状
例1.解：
（1）令y=0，解得x1
1或x23∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入yx2
2x3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为
x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：
P（x，-x-1），
E（（x,x2
2x3）∵P点在E点的上方，PE=（x1）（x2
2x3）
x2
x2
1
9
∴当x
时，PE的最大值=
2
4
（3）存在
4个这样的点
F，分别是F1（1,0）,F2（3,0）,F3（4
7，0）,F4（4
7,0）
7
y
2
练习1.解：
（1）由抛物线的对称轴是x
，可设解析式为
7）2
x
ya（x
k．把A、B两点坐标代入上式，得
2
a（6
7
2
k
0,
B（0,4）
2
）
2
25
解之，得a
k
.
a（0
7
）2
k
4.
3
6
2
故抛物线解析式为
y
2
7
2
25
7
25
）.
O
（x
）
，顶点为（
3
2
6
2
6
E
（2）∵点E（x,y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
y
2（x
7）225
，
3
2
6
OEAF的对角线，
∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是
∴S2SOAE
2
1
OA
y
6y
4（7）2
25．
2
2
因为抛物线与
x轴的两个交点是（
1，0）的（6，0），所以，自变量
x的
取值范围是
1＜x＜6．
①
根据题意，当S=24时，即
4（x
7
）2
2524．
7）2
1.
2
化简，得（x
解之，得x1
3,x24.
2
4
故所求的点E有两个，分别为
E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE=AE，所以
OEAF是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE=AE，所以
OEAF不是菱形．
②
当OA⊥EF，且OA=EF时，OEAF是正方形，此时点
坐标只能是（
3，－3）．
y
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点
E，
5
使
OEAF为正方形．
4
7
2
F
A（6,0）x
E的
l2
E
练习2.解：
（1）由题意知点C的坐标为（3，4）．设l2的函数关系式为y3a（x
3）2
4．
2
1
A
B
1O
3485x
12
1
2
3
4
又
点A（10），在抛物线y
a（x
3）2
4上，
（1
3）2a
4
0，解得a1．
抛物线l2的函数关系式为
y
（x3）2
4（或y
x2
6x
5）．
（2）P与P始终关于x轴对称，
PP与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为
m2
6m
5，
OD4，
2m2
6m54，即
m2
6m5
2．当m2
6m
52时，解得m3
6．当m2
6m52时，解得
m
3
2．
当点P运动到（3
6，2）
或（3
6，2）或（3
2，2）或（3
2，2）时，
PP∥OD，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点
M不存在．理由如下：
若存在满足条件的点
M在l2上，则
AMB
90，
BAM
30（或
ABM
30），
y
BM
1
1
42．
5
C
l2
AB
2
D
2
3
过点M作ME
AB于点E，可得
BME
BAM
30．
2
1
升级会员 