■6
e=
3,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线
3
与原点的距离为2
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2（k≠0与椭圆交于CD两点问：
是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？
请说明理由
6.在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（JO）,B（I,O）,平面内两点G，M同时满足下列条件：
IMA=MB=MCl
①GAGBGC=0:
②：
③GM//AB
（1）求ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3,0）的直线l与
（1）中轨迹交于E,F两点，求PEPF的取值范围
7.设x,rR,i,j为直角坐标平面内X轴.y轴正方向上的单位向量，若
a=xi+（y+2）j,b=xi+（y-2）j,且∣a∣+∣b|=8
（I）求动点M（x,y）的轨迹C的方程；
（∏）设曲线C上两点A.B,满足
（1）直线AB过点（0,3）,⑵若OP=OA9B,则OAPB为矩形，试求AB方程.
8.已知抛物线C:
y=m（Xn）,（^Z0,n■0）的焦点为原点，C的准线与直线
I：
kx-y2k=O（^-O）的交点M在X轴上，l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直平分线交X轴于点N（P，0）.
（I）求抛物线C的方程；
（∏）求实数P的取值范围；
（川）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方
程.
X
9.如图，椭圆的中心在原点，长轴AAi在X轴上•以A、Ai为焦点的双曲线交椭圆于C、D、
1AE2....3
—=扎一二扎二一
D1、C1四点，且ICDI=2|AA1|椭圆的一条弦AC交双曲线于E,设EC,当34
时，求双曲线的离心率e的取值范围.
10.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4^5^=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；
若角A为900，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
2
11.如图，过抛物线X=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m∙O）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
TTTT
（1）设点P分有向线段AB所成的比为’，证明：
QP-（QA-■QB）；
（2）设直线AB的方程是x—2y1^0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
2
1•£_卫
12.已知动点P（P，-1），Q（P，2）,过Q作斜率为2的直线I,PQ中点M的轨迹
为曲线C.
（1）证明：
I经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若
（1）中的其中一个公共点为A,证明：
AP是曲线C的切线；
（3）设直线AP的倾斜角为:
，AP与I的夹角为一，证明：
'■一或：
一一是定值.
|PFi|.2
F2（I，O）,动点P满足pf21,动点P的轨迹为曲线C,曲线C关于直线y=χ的对
称曲线为曲线C',直线y=x■m-3与曲线c'交于A、B两点，O是坐标原点，△ABo
的面积为7，
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的值。
x2y2
22"（a0,b0）
14.已知双曲线ab的左右两个焦点分别为F1'F2,点P在双曲线右支
上.
（3插,16）--
（I）若当点P的坐标为5'5时,PF1—PF2,求双曲线的方程；
（∏）若IPFI^3∣PF21,求双曲线离心率啲最值，并写出此时双曲线的渐进线方程
2X
15.若F1、F2为双曲线a
2
占
八、、
b的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上,
M在右准线上，且满足;
FQ
OF1
=PM,OP刑—
OF1
OMXZ
）（」0）
OM1
（3）若过N（2,
3）的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、
B在双曲线上，且
B2A='B2B,求BjA-BIB时，直线AB的方程.
TTT
16•以O为原点,
OF所在直线为X轴，建立如所示的坐标系。
设OF∙FG=1,点F的
坐标为（t,°）,t[3,：
：
）,点G的坐标为（x°,y°）O
（1）求X0关于t的函数X0=f（t）的表达式，判断函数f（t）的单调性，并证明你的判断;
S=旦iogi
（2）设ΔOFG的面积6,若以0为中心，F为焦点的椭圆经过点G,求当IOGI取最小值时椭圆的方程;
（0,-）TL、
（3）在
（2）的条件下，若点P的坐标为'2,C、D是椭圆上的两点，且PC='PD（'"）,
求实数’的取值范围。
17.
已知点C为圆（x+）2*y2=8的圆心，点A（1,0）,P是圆上的动点，点Q在圆的
半径CP上，且MQ'AP=0,AP=2AM.
（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（∏）若直线^k^kT与（I）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F,H,O是坐标原点，
2、3
OFOH-
且34,求△FoH的面积的取值范围。
18.如图所示，0是线段AB的中点，∣AB∣=2c,以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中a"c。
22
19•设O为坐标原点，曲线Xy2x~6y^0上有两点P、Q满足关于直线
Xmy^0对称，又以PQ为直径的圆过
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.
20.在平面直角坐标系中，若a=（x-∖/3,y）,b=（x*√3,y）,且ab4，
（1）求动点Q（X，y）的轨迹C的方程；
（2）已知定点P（t,°）（t∙O），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，
-HTT
且对于轨迹C上任意一点M,都存在J[0,二],使得OM=COSdOASin八OB成立，试求出满足条件的实数t的值。
离心率e。
—^—y=l（b〉O）
22.已知又曲线，「在左右顶点分别是A,B,
点A关于点P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,
（I）求此双曲线的方程；
（II）求直线MN的倾斜角。
23.如图，在直角坐标系中，点A（-1,0）,B（1,0），P（X,y）与X轴正方向的夹角分别为αβY若肚+卩+；'=；!
。
（I）求点P的轨迹G的方程；
（II）设过点C（0，-1）的直线I与轨迹G交于不同两点
点P是其右准线上的一点，若且M、N都在此双曲线上。
y=0）。
设AP、OP、BP
M、N。
问在X轴上是否存在
若不存在说明理由。
一点Eχo，0,使△MNE为正三角形。
若存在求出xo值;
y∣
P
/\
A
OBX
22
24.设椭圆Cpb2=1（2b>0）过点M（Q,1），且焦点为FI（J,0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P4,1的动直线■与椭圆C相交与两不同点A、B时，在线段AB上取点Q,满足APLQBiIaqUpb,证明：
点Q总在某定直线上。
25.平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0,-2）,点C满足
OChOA：
OB,其中:
、
■-R,且：
-21：
=1
（1）求点C的轨迹方程；
22
x2-呂=1（a0,b0）
ab交于两点M、N,且以MN为直径
（2）设点C的轨迹与双曲线
11
•为定值
22
的圆过原点，求证：
ab
26.设F（I，O）,M、P分别为X轴、y轴上的点，且PMfF=O,动点N满足：
MN=-2NP.
（1）求动点N的轨迹E的方程；
（2）过定点C（—c,0）（CO）任意作一条直线l与曲线E交与不同的两点A、B,问在X轴
上是否存在一定点Q,使得直线AQ、BQ的倾斜角互补？
若存在，求出Q点的坐标；若
不存在，请说明理由•
31
27.如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90,AD//BC,AB=2,AD=2,BC=2
椭圆F以A、B为焦点，且经过点D,
（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程;
（∏）是否存在直线I与椭圆F交于M、N两点，且线段MN的中点为点C,若存在，求直
线l的方程；若不存在，说明理由
B
（1）若ABAC=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率;
（2）D分有向线段AB的比为■,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,
7
当一5≤∙≤2时，求椭圆的离心率e的取值范围.
29.在直角坐标平面中，LABC的两个顶点A,B的坐标分别为A（-1,°）,B（1,°）,平面内两点G，M同时满足下列条件：
£+'+'_'MA=MB=MC■—r
①GA+GB十GC=O:
②：
③GM//AB
（1）求■ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，°）的直线I与
（1）中轨迹交于E,F两点，求PEPF的取值范围
答案：
1•解：
（I）以A点为坐标原点，11为X轴，建立如图所示的坐标系，则D（1,0）,B（4,0）,
设M（x，y）,
则N（X，0）.
τ∣BN∣=2∣DM∣,
x|=2（X-1）2+y2,
整理得3x2+4y2=12,
•动点M的轨迹
方程为x2+y32=i.
43
（π）..AG二，AD（‘R）,
T丄T
•A、D、G三点共线，即点G在X轴上；又∙GEGF=2GH，•H点为线段EF的中点;
又∙.∙GHEF=Olλ点G是线段EF的垂直平分线GH与X轴的交点。
设I:
y=k（x—1）（k≠Q）代入3x2+4y2=12得
（3+4k2）x2—8k2x+4k2—12=0,由于I过点D（1,0）是椭圆的焦点,•I与椭圆必有两个交点，
设E（x1,y1）,F（x2,y2）,EF的中点
H的坐标为
（x0,y0）,
•X1+X2=止x1x2=4k2二W
3+4k2,3+4k2
x1+x24k2
x0==3+4k2,y0=k（x0—1）=
•线段EF的垂直平分线为
—3k
3+4k2'
1人ZH
y—y0=—k（x—x0）,令y=0得,
一—3k2
点G的横坐标XG=ky0+x0=3+4^2+
4k2
3+4k2
k2
3+4k2
4（3+4k2）'
∙k≠0•k2>0,•3+4k2>3,0<-—
（3+4k2）
<3，
1<—3<0,
44（3+4k2）
…XG=4—4（3+4k2）（O,4）
1
•点G的横坐标的取值范围为（0,）.
33
e=—C=—a
2•解：
∙2,•2
222
由abG得a=2b
22
Xy’
•••设椭圆的方程为4^b（b0）
222
即X=4b一4y（—^^b）
设m（x,y）是椭圆上任意一点，则
22222
IPMl=X（y—3）=-3（y1）4b12（一b^y^b）
22
若b^1即-b兰-1兰b,则当y=-1时，lpmImaX=4b+〔2
2
由已知有4b12^16,得b=1;
22
若OVbeI即-1^-b,则当y=一b时，lPMImaX=b-6b+9
2
由已知有b-6b*9=16,得b=7（舍去）.
综上所述，b=1,a=2
2
X2.
y=1
所以，椭圆的方程为4
a225
a=5
解之得Tb=3
C4
b_3
a一5
22I2
Ca-b
3•解：
（I）由已知
22
•椭圆的方程为259
=1
双曲线的方程
2X
25
又2534
e2
•双曲线的离心率
（∏）由（I）A（—5,
0）,B（5,0）设
（X0,yO）则由AM=MP得M为AP的中点
•P点坐标为（2x°5,2yO）将M、P坐标代入c1、c2方程得
"22
X。
+y。
.
一+一=1
2592
（2xo5）yo1
-一-1
259
2
消去y0得2X05x0-25=0
解之得
由此可得P（10，33）
当P为（10，33）时
33
（x-5）
PB:
八10一5
V（X-5）
即5
=1得:
2X2
代入25
一15X25=O
X=-或5（舍）
2
XN
.,Xn=XM
MN丄X轴
即MNA^=0
C2,b2二a2_C2
4•解:
由题意可知C
C,所以椭圆方程为
2
—=14分
设A（X1,y1）,B（X2,y2）,将其代入椭圆方程相减，将
yι
kOM
1
tg=二|
CVC2
X1-X2
X1X2代入可化得
1」
（2）若25•解：
（1）直线
C+2r→t
2：
：
：
——：
：
：
3”1：
：
：
c：
：
：
2,则
C
c2C
二1（二
12
1C
AB方程为：
bx-ay-ab=0
ab
依题意∙a2b2
解得
b
■-
=1
椭圆方程为3
2
—y2
=1
（2）假若存在这样的k值，由
y=kX+2,
_222
X3y-3=0得（13k）X212kX9=0
A=（12k）2-36（13k2）0
设C（XI,y1）
D（X2
X1
y2）,则.
X1X2二
12k
9
13k2
2
而y1y2=（kX12）（kX22）=kX1X22k（x1x2）4
y1.y2
要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CE⊥DE时，贝UN*1X24即y1y2（X11）（X21）=0
（k21）x1x22（k1）（x1X2）5=0
k=-
将②式代入③整理解得6
k=
经验证，6,使①成立
综上可知，存在
k=一
6,使得以
CD为直径的圆过点E
6.解:
（1）设C（X,Y）
G（xo,yo）,
M（XM,yM）.
TIMA=MB
M点在线段AB的中垂线上
//AB,λyM=y0
-y。
二0,0
由已知A（—1,0）,B（I,O）,XM=0；又GM
又GAGBGC=0
二（τ—x°,—y°）+（1—x°,—y°）+（χ—χ°,y
X
X03Y0
=I
3
YMp
MC
••J（0-12+1-0=
KXf+υ
y0,•顶点C的轨迹方程为
2
2yX
3
2
X2-1
3
（2）设直线l方程为:
y=k（x—3）Eg,%）F（X2,y2）
2
L=1
3
y=k（x_3）
消去y得：
k23X2_6k2x9k2_3=0①
6k2
XiX22
k23
9k2-3
XiX2=
k2
而PEP^PE
PFCOSo=PE
PF
Xi
VVbk23-
X2
X2XiX2
=（i+k2；
9k2+27—i8k2+9k2—3
k23
24k2i
=24
k23
48
-2
k23
由方程①知
Δ=（6k22—4（k2+3）9k2
3
-3>Ok2V8
32
23二k+3∈
Tk式O二OVkV8
碍〕
7•解：
解：
令M（X,y），Fi（O,^）,F2（0,2）
贝Ha=FiM,b二F?
M
即Ianb^|FiM∣∣F2M|
即|FIM|IF2M丨=8
又..FiF2=4=2C
2
c二2,a二4,b二i2
2
+—
所求轨迹方程为i6i2
=1
（∏）解：
由条件
（2）可知
OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方呈为^kXKSyJBgy2）
y=kx3
22
y2x2=（3k4）xi8kX-2i=0
i
i6i2
Xi
i8k
X2八厂
-2i
XiX2_3k24
2
yi
y2=（kXi3）（kX23）=k2xiX23k（xiX2）9=3b248k
3k24
.OAPB为矩形，∙∙∙OA丄OBOAOB=O
*k仝
.XiX2yiy2-0得^4
所求直线方程为
8•解：
（I）由题意，抛物线顶点为（一n,0）,又T焦点为原点∙∙∙m>0m
准线方程4且有m=4n.
•••准线与直线I交点在X轴上，交点为又l与X轴交于（—2,0）,∙m=4,n=1
∙抛物线方程为y2=4（x+1）
'kx-y+2k=02222
J得k2χ2+4（k2_1）x+4（k2—1）=0（k≠0）
（II）由Ly2=4（xW）
2
T6（1-k）∙0...—1Vk<1且k≠0
2
X1亠X2_2（1「k）~2~_~k1
%y22
2^k
.∙.AB的中垂线方程为
2
2（^k）],令y
=0
p=22（1一&
k2
.∙.P∈（2,+∞）
（III）•••抛物线焦点F（0,0）,准线X=—2
∙X=—2是Q的左准线
设Q的中心为O'（X,0）,则短轴端点为（±x,y）若F为左焦点，贝UC=X>0,b=∣y∣
∙a2=b2+c2=x2+y2
2
C
X2y2C
X=-2
依左准线方程有
即y2=2x
（X>0）
若F为右焦点，贝UXV0,故C=—X,b=∣y∣
2
-C=-2
∙a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有C
X2y2
——--（-X）=-2
化简得2x2+2x+y2=0
122
4（X）22y2二1即2（XV0,y≠0
9•解：
建立如原题图所示的坐标系，则
上+丄=1,
AB的方程为3020由于点P在AB上，可设P
2x
一（x,20_—）.
点的坐标为3
则长方形面积
S=~2X2+20x+6000（0化简得33易知，当
2x
S=（Ioo-X）∙[80-（20）]（0乞X乞30）.
3
C∩
X=5,Y时，Smax-6017（m2）.
3
（21）解：
设A
CC
MrD（_-,h）,C（-,h）,
（—c,0）,A1（c,0）,则'2丿'2丿
（其中C为双曲线的半焦距，h为C、
D到X轴的距离）
..AE
WxE
二Ce一2）
=2（，1）
-Ye
壮（c（k「），叽）
1''即E点坐标为2「'1^1
设双曲线的方程为
22
夕一b2τ,将
222
eXyIIe代入方程，得c2b2①
C（2，h）,E（C（'2）h'
将2
2（∙7）'「I）代入①式,
2222
整理得
消去
h2,得e⅛-e2-1,所以罠=
b
e2-1I3e22=^e22
由于
故7空e2空10=7乞e空10.
24
10•解:
设B（X1,yι）
C（x2,y2）,BC中点为（X°,y°）,F（2,0）
2
X1
2
+~YL=1
则有2016
两式作差有
（jX2）（X17）（Y^y2）（y1y2^0
20
16
X业=0
54
（1）
F（2,0）为三角形重心，所以由
&X2=2
3「，得x0=3
Y1Y240
由3得yO=
-2
代入
（1）得5
直线BC的方程为6x-5y-28=°
2）由AB丄AC得X1X2y』2-14（%y2）16=0
（2）
22
设直线BC方程为y=kxP代入4x∙5y
222
2
5b-80
（45k）x10bkx5b-80=0
-10kb
2
45k，
X1X2一2x”2一45k2
y1y2亠
4+5k
22
4b2-80k2
2
4'
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