三角形的内角和外角.docx

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三角形的内角和外角

与三角形有关的角

教材分析

本节要让学生了解与三角形有关的角及它们的基本性质．学生在小学已经学过三角形的内角，知道三角形的内角和等于180°，但这个结论的得出是学生通过实验得到的，在这里要让学生运用已经学过的知识进行理论论证，让学生体会数学的严谨性．同时这也是学生第一次接触到辅助线，所以教师要注意指导学生准确、规范地运用辅助线解决问题．而面对三角形的外角，又涉及到了角的不等关系，所以教师要注意让学生体会这种不等关系的应用环境．

学习与三角形有关的角，是为后面学习多边形及其角的性质打基础，所以对于这一部分的知识，教师要让学生在探索、实验、证明的过程中掌握并运用，注意培养学生的推理能力，为以后正式学习证明打下基础．

本节的重点是对三角形内、外角的性质的了解，难点是学生对三角形的内角和等于180°的证明及三角形外角性质的理解和运用．而添加辅助线的规则和方法，是以后学习几何的重要基础，教师要引起重视．

在教学过程中，教师要注意新旧知识的综合运用，关注学生的实验过程、方法与思维的拓展．

教学课时2课时

教学目标

一、知识与技能

1．掌握“三角形内角和定理”的证明．

2.会运用三角形内角和定理进行计算

3.理解并掌握三角形的外角的概念

4.能够在能够复杂图形中找出外角.

5.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

二、过程与方法

1．通过探索“三角形内角和定理”及其推论，培养学生的探索能力和实践操作能力；

2．在学习了三角形的内角和外角后，能运用所学知识解决简单的问题，训练学生对所学知识的运用能力．

三、情感态度与价值观

1．通过让学生积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心与求知欲；

2．由具体实例的引导，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与研究．

教学重点三角形内角和定理及推论．

教学难点三角形内角和定理及推论的证明和运用．

教学过程

一、创设问题情境，导入新课

在小学我们已经知道三角形的内角和为180°，但究竟为什么是180°，我们没有去研究，本节课我们来回答这个问题．

二、动手试一试，你会有收获

活动1

问题：

在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为180°？

设计意图：

旨在让学生亲身实验一下，对所研究的问题产生兴趣，激发好奇心和求知欲．通过亲身经历，体会从具体情景中发现教学问题．

师生活动：

让学生人人画一个三角形，并把三个角裁下来，拼在一起，让他们自己得出结论．

生：

三个角拼在一起，会得到一个180°的角．

师：

为什么是180°呢？

生：

因为三个角合起来形成一个平角，而平角等于180°，所以三个角的和为180°．

师：

大家得出的结论相同吗？

你们画的三角形都一样吗？

如果不一样，你能得出什么结论呢？

生：

我们互相交流一下，结论都是一样的，但所画的三角形并不完全一样，所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系，只要是三角形，其内角和就一定为180°．

师：

大家回答得非常棒．但这只是实验，由观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明来验证，那么怎样证明呢？

请同学们看投影片．

（出示投影片7．2A）

在图7．2-1

（1）中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线L，移动后的∠B和∠C各有一条边在L上．想一想，L与△ABC的边BC有什么关系？

由这个图你能想出说明三角形内角和等于180°这个结论正确的方法吗？

请大家思考后再互相交流．

生：

因为移动后的∠C与未移动时的∠C相等，而他们又是内错角，由平行线的裁定可知，直线L与边BC平行，所以可以过△ABC的顶点A作直线L平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义可知∠A+∠B+∠C=180°．

师：

大家能写出证明过程吗？

这是一个文字命题，证明时应先干什么呢？

生：

需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证．

师：

下面请一位同学完整地写出过程．

生：

如图7．2-2，已知△ABC,求证：

∠A+∠B+∠C=180°

证明：

过A作直线DE∥BC，

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C．

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°，

即∠A+∠B+∠C=180°．

师：

再观察图7．2-2

（2）．辅助线的作法与图7．2-1

（1）一样吗？

证明方法相同吗？

生：

辅助线的作法不同．移动前的∠A和移动后的∠A相等，且是内错角的位置关系，可知直线L与边AB平行，同时移动前和移动后的∠B是同位角也应相等，所以三个角拼在一起构成了平角，故∠A+∠B+∠C=180°．

师：

能写出证明过程吗？

生：

已知、求证和上面相同．

证明：

如图7．2-3延长BC到D，过C作CE∥AB．

∴∠A=∠ACE；∠B=∠ECD．

∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°，

∴∠A+∠ACB+∠B=180°，

即∠A+∠B+∠C=180°．

师：

利用两直线平行，同旁内角互补怎样？

课下讨论．从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？

它们的思路是否一致呢？

生：

相同点是：

都是把三角形的三个内角拼到一起，根据平角的定义，证明三角形的内角和是180°；不同的是：

辅助线的作法不同，前者是过A点作边BC的平行线，后者是过C点作边AB的平行线．但不管是过三角形的哪一个顶点，作另一边的平行线，它们的思路基本一致，就是通过平行线，利用平行线的性质，通过同位角或内错角相等，把三个角都拼到一起，构成一个平角，从而得证．

师：

很好．大家的证明过程写的非常好，分析的非常棒，找到了解决问题的思路．根据思路，大家还能找到其他的证明方法吗？

生：

还可以这样作辅助线，如图7．2-4作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C，则AE∥BC，所以∠EAB=∠B．因为∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°，故C+∠B+∠BAC=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

师：

大家做的非常好，前三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处．只要把它们拼到一起成为平角即可，那么是否可以转移到其他地方呢？

请大家讨论．

生：

如图7．2-5，在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB交AC于E，再过点D作DF∥AC交AB于F．

∵DE∥AB，

∴∠1=∠B，∠2=∠4．

∵DF∥AC，

∴∠3=∠C，∠4=∠A．

∴∠2=∠A．

∵∠1+∠2+∠3=180°．

∴∠A+∠B+∠C=180°．

师：

大家讨论的非常棒．可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明，并能根据思路拓展，由于时间关系，我们不再继续了，在课后大家可以继续讨论有关问题，比如点在△ABC的内部？

外部呢？

活动2

出示投影片7．2B．

例：

如图7．2-6，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

师生活动：

师：

请大家先观察思考，题中出现的这些方位角，在图上分别指出．

生：

C岛在A岛的北偏东50°方向，指∠DAC=50°；B岛在A岛的北偏东80°方向，指∠DAB=80°；C岛在A岛的北偏西40°方向，指∠CBE=40°；要求的是∠AOB的度数．

师：

下面再讨论一下根据已知角，如果求出∠ACB的度数．

生：

要求∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，需求出∠CAB和∠CBA的度数．而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°，∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°．所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°．

生：

他做的不对，∠CBA不等于50°．因为∠EBA不是90°而是因为AD∥BE，∠DAB+∠ABE=180°．

∴∠ABE=180°-∠DAB=100°．

∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°．

∴∠ACB=180°-30°-60°=90°．

师：

哪一位同学能把过程完整地写一下呢？

生：

解：

∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°．

∵AD∥BE，

∴∠BAD+∠ABE=180°．

∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°．

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°．

在△ABC中．

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°．

答：

从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=90°．

师：

大家看，过C点作AD的平行线CF，则AD∥CF∥BE，……往后课下完成．

尝试反馈巩固练习

（出示投影片7．2C）

1．△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=30°．

求∠B，∠C．

2．△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

2．

求∠A，∠B，∠C．

3．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=2∠A．

求∠A，∠B，∠C．

4．如图7．2-7，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AB边上的高．

求∠DBC的度数．

设计意图：

利用三角形内角和定理求某些角的度数．

师生活动：

生：

1．解：

∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B+∠C=180°-∠A=140°．

∵∠B-∠C=30°，

∴∠B=∠C+30°，

∴∠C+30°+∠C=140°．

∴∠C=55°，∠B=85°．

2．解：

∵∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

2，

∴设∠A=x°，∠B=∠C=2x°．

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴5x°=180°，

∴x=36°．

∴∠A=36°，∠B=∠C=72°．

3．解：

∵∠A+∠B=80°，

∴∠C=180°-80°=100°．

∵∠C=2∠A，∴∠A=

∠C=50°，

∴∠B=180°-∠A-∠B=30°．

4．解：

∵∠C=∠ABC=2∠A．

∴∠A=36°，∠C=72°．

∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．

∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°．

活动3

问题：

探究三角形外角的定义，外角与不相邻内角间的关系．

设计意图：

旨在掌握三角形外角的定义的基础上，利用三角形内角和定理，推导出外角与不相邻内角间的关系．

师生活动：

师：

前面我们学习了三角形的内角，也称为三角形的角，还掌握了内角和定理，下面我们来探究一下三角形的外角．

生：

顾名思义，三角形的内角是三角形内部的角，那么三角形的外角就是三角形外部的角．如图7．2-8，∠BAC、∠B、∠C是三角形的内角，∠BAE、∠CAD、∠EAD是三角形外部的角，称为三角形的外角．

师：

这位同学的分析似乎有道理，大家认为怎么样？

小组讨论后交流．

生：

不正确，不能这样想当然．外角不是外部的角，而是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，如∠DAC、∠EAB、∠DAE虽然在三角形的外部，但它的两边都是三角形的延长线，不符合外角的定义，所以它不是外角．

师：

这位同学说出了外角应具备的条件：

①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线，那么在上面的图7．2-8中，满足条件的角（外角）是否只有∠DAC和∠EAB呢？

请大家思考后作答．

生：

不是．在三角形每个顶点处都有两个外角，所以一个三角形有6个外角，而且同一顶点处的两个外角是对顶角，应该相等．

师：

大家的分析很详细．那么这些外角与内角之间有没有关系，如果有，存在什么关系呢？

将是下面我们要解决的问题．

如图7．2-9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？

如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？

你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系吗？

生：

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∠ACB+∠ACD=180°．

∴∠ACD=∠A+∠B=130°．

所以三角形的一个外角等于两个内角的和．

师：

根据刚才这位同学的逻辑，那么∠ACD=∠A+∠ACB，∠ACD=∠B+∠ACB成立吗？

生：

不成立．

再如图7．2-10，∠A=30°，∠B=40°．则∠ACB=110°．因为∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD=70°．那么∠ACD=∠A+∠ACB成立吗？

生：

不成立．

师：

为什么呢？

那刚才的结论成立吗？

生：

不成立．在上图中有结论∠ACD=∠A+∠B，本题中有∠ACD=∠A+∠B．而∠A，∠B与∠ACD不相邻，所以上面的结论应改为：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

师：

那么外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？

生：

因为两个角的和等于外角，所以外角应大于其中任何一个内角．

师：

由此可知三角形内角和定理的推论．

1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

尝试反馈巩固练习

1．已知：

如图7．2-11，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．

求证：

∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

设计意图：

巩固三角形内角和及其推论．

师生活动：

生：

证明：

∵∠BAF=∠2+∠3，

∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）．

∵∠1+∠2+∠3=180°．

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

2．已知：

如图7．2-12，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连结DE．求证：

∠1>∠2．

设计意图：

体会几何中不等关系的简单证明．

师生活动：

证明：

∵∠1是△ABC的外角，

∴∠1>∠3．

∵∠3是△DCE的外角，

∴∠3>∠2，

∴∠1>∠2．

三、课时小结

本节课共同探索了三角形内角和定理及推论的证明，基本思想是：

把三个内角拼在一起，拼成一个平角；熟练掌握三角形内角和及外角和定理；理解三角形外角的性质，并能解简单问题．

板书设计

7．2与三角形有关的角

活动一（探究三角形内角和）

活动二（例题讲解）

活动三（探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系）