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Lingo学习笔记

Lindo&Lingo

总序

CUMCM赛题：

约一半以上与优化有关，需用软件求解

运筹学（OR:

Operations/OperationalResearch）

管理科学（MS:

ManagementScience）

决策科学（DS:

DecisionScience）

（最）优化理论是运筹学的基本内容

OR/运筹学（OR:

Operations/OperationalResearch）

MS/管理科学（MS:

ManagementScience）

DS决策科学（DS:

DecisionScience）

优化（Optimization）,规划（Programming）

约束优化的简单分类

连续优化

线性规划（LP）目标和约束均为线性函数

非线性规划（NLP）目标或约束中存在非线性函数

二次规划（QP）目标为二次函数、约束为线性

离散优化

整数规划（IP）决策变量（全部或部分）为整数

整数线性规划（ILP），整数非线性规划（INLP）

纯整数规划（PIP）,混合整数规划（MIP）

一般整数规划，0-1（整数）规划

网址：

LINDO:

LinearINteractiveandDiscreteOptimizer（V6.1）

LINGO:

LinearINteractiveGeneralOptimizer（V8.0）

LINDOAPI:

LINDOApplicationProgrammingInterface（V2.0）

What’sBest!

:

（SpreadSheete.g.EXCEL）（V7.0）

建模时需要注意的几个基本问题

1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量

2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数

如：

尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求

最大/最小值、四舍五入、取整函数等

3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变

量的个数（如x/y<5改为x<5y）

4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值

5、模型中使用的参数数量级要适当（如小于10^3）

3.LINDO/LINGO软件的使用简介

需要掌握的几个重要方面

1、LINDO:

正确阅读求解报告（尤其要掌握敏感性分析）

2、LINGO：

掌握集合（SETS）的应用；

正确阅读求解报告；

正确理解求解状态窗口；

学会设置基本的求解选项（OPTIONS）；

掌握与外部文件的基本接口方法

reducedcost值表示当该（x1、x2、...）非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量（对max型问题）也可理解为：

为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量。

影子价格

最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量

原料增1单位,利润增48

时间加1单位,利润增2

能力增减不影响利润

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

最优解不变（是最优解不变，OBJECTIVEFUNCTIONVALUE要变化！

）标系数允许变化范围（约束条件不变）

影子价格有意义时约束右端的允许变化范围（目标函数不变）注意:

充分但可能不必要。

使用LINDO的一些注意事项

1.“>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同

2.变量与系数间可有空格（甚至回车）,但无运算符

3.变量名以字母开头，不能超过8个字符

4.变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字）

5.目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件

6.行号（行名）自动产生或人为定义。

行名以“）”结束

7.行中注有“!

”符号的后面部分为注释。

如:

!

It’sComment.

8.在模型的任何地方都可以用“TITLE”对模型命名

（最多72个字符），如：

TITLEThisModelisonlyanExample

9.变量不能出现在一个约束条件的右端

10.表达式中不接受括号“（）”和逗号“,”等任何符号,例:

400（X1+X2）需写为400X1+400X2

11.表达式应化简，如2X1+3X2-4X1应写成-2X1+3X2

12.缺省假定所有变量非负；可在模型的“END”语句

后用“FREEname”将变量name的非负假定取消

13.可在“END”后用“SUB”或“SLB”设定变量上下界

例如：

“subx110”的作用等价于“x1<=10”

但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型

的约束，也不能给出其松紧判断和敏感性分析。

14.“END”后对0-1变量说明：

INTn或INTname

15.“END”后对整数变量说明：

GINn或GINname

二次规划（QP）问题

1.LINDO可求解二次规划（QP）问题，但输入方式较

复杂，因为在LINDO中不许出现非线性表达式

2.需要为每一个实际约束增加一个对偶变量

（LAGRANGE乘子），在实际约束前增加有关

变量的一阶最优条件，转化为互补问题

3.“END”后面使用QCP命令指明实际约束开始的行

号，然后才能求解

4.建议总是用LINGO解QP

[注意]对QP和IP:

敏感性分析意义不大

LINGO软件简介

LINGO模型的优点

1包含了LINDO的全部功能

2提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）

LINGO模型的构成：

5个段

1目标与约束段

2集合段（SETSENDSETS）

3数据段（DATAENDDATA）

4初始段（INITENDINIT）

5计算段（CALCENDCALC）-LINGO9.0

常用文件后缀：

LG4（LONGO模型文件）

文本文件

LNG（LONGO模型文件）

LTF（LONGO脚本文件）

LDT（LONGO数据文件）

LRP（LONGO报告文件

第1章　引言

线性规划模型的解的几种情况

线性规划问题

有可行解（Feasible）

无可行解

有最优解（Optimal）

无最优解

第二章LINDO软件的基本使用方法

§2.1LINDO入门

LINDO程序有以下特点：

★程序以“MAX”（或“MIN”）开始，表示目标最大化（或最小化）问题，后面直接写出目标函数表达式和约束表达式；

★目标函数和约束之间用“ST”分开；

（或用“s.t.”，“sunjectto”）

★程序以“END”结束（“END”也可以省略）。

★系数与变量之间的乘号必须省略。

★系统对目标函数所在行自动生成行名“1）”,对约束默认的行名分别是“2）”“3）”…，用户也可以自己输入行名；行名放在对应的约束之前。

★书写相当灵活，不必对齐，不区分字符的大小写。

★默认所有的变量都是非负的,所以不必输入非负约束。

★约束条件中的“<=”及“>=”可分别用“<”及“>”代替。

★一行中感叹号“！

”后面的文字为是注释语句，可增强程序的可读性，不参与模型的建立。

求解时会首先显示如右图所示的LINDO

“求解器运行状态窗口”。

名称

含义

Status

（当前状态）

显示当前求解状态：

“Optimal”表示已经达到最优解；其他可能的显示还有三个：

Feasible（可行解）,Infeasible（不可行）,Unbounded（最优值无界）。

Iterations

（迭代次数）

显示迭代次数：

“2”表示经过了2次迭代。

Infeasibility

（不可行性）

约束不满足的量（即各个约束条件不满足的“数量”的和；特别注意不是“不满足的约束个数”）：

“0”表示这个解是可行的。

Objective

（当前的目标值）

显示目标函数当前的值：

7.45455。

BestIP

（整数规划当前的最佳目标值）

显示整数规划当前的最佳目标值：

“N/A”（NoAnswer或NotApplicable）表示无答案或无意义，因为这个模型中没有整数变量，不是整数规划（IP）。

名称

含义

IPBound

（整数规划的界）

显示整数规划的界（对最大化问题显示上界；对最小化问题，显示下界）：

“N/A”含义同上。

Branches

（分枝数）

显示分枝定界算法已经计算的分枝数：

“N/A”含义同上。

ElapsedTime

（所用时间）

显示计算所用时间（秒）：

“0.00”说明计算太快了，用时还不到0.005秒。

UpdateInterval

（刷新本界面的时间间隔）

显示和控制刷新本界面的时间间隔：

“1”表示1秒；用户可以直接在界面上修改这个时间间隔。

InterruptSolver

（中断求解程序）

当模型规模比较大时（尤其对整数规划），可能求解时间会很长，如果不想再等待下去时，可以在程序运行过程中用鼠标点击该按钮终止计算。

求解结束后这个按钮变成了灰色，再点击就不起作用了。

Close（关闭）

该按钮只是关闭状态窗口，并不终止计算。

如果你关闭了状态窗口，将来随时可以选择WINDOW|OPENSTATUSWINDOW菜单命令来再次打开这个窗口。

输出结果表示的意思是：

“REDUCEDCOST”给出最优的单纯形表中目标函数行（第1行）中变量对应的系数（即各个变量的检验数（也称为判别数））.其中基变量的reducedcost值一定为0；对于非基变量（注意：

非基变量本身取值一定为0）,相应的reducedcost值表示当该非基变量增加一个单位（其他非基变量保持不变）时目标函数减少的量（对max型问题）。

本例最优解中两个变量都是基变量，所以对应的REDUCEDCOST的值均为0。

“SLACKORSURPLUS（松驰或剩余）”给出约束对应的松驰变量的值:

第2、3行松驰变量均为0,说明对于最优解来讲，两个约束（第2、3行）均取等号，即都是紧约束。

“DUALPRICES”给出对偶价格的值:

第2、3行对偶价格分别为.090909，.545455。

“NO.ITERATIONS=2”表示用单纯形法进行了两次迭代（旋转）。

选择File|Save（F5）命令把“结果报告”保存在一个文件中（缺省的后缀名为LTX,即LINDO文本文件）

LINDO模型的一些注意事项

1.　变量名由字母和数字组成，但必须以字母开头，且长度不能超过8个字符，不区分大小写字母，包括关键字（如MAX、MIN等）也不区分大小写字母。

2.　对目标函数和约束用行号（行名）进行标识，这些标识会在将来的求解结果报告中用到。

行名可以和变量名一样命名，也可以只用数字命名，还可以含有中文字符，但长度同样不能超过8个字符。

为了方便将来阅读求解结果报告，建议用户总是自觉地对每个约束进行命名。

行名结束标志符号、即右括号“）”必须是英文字符，否则会出现错误。

3.　可以用“TITLE”语句对输入的模型命名，用法是在TITLE后面写出其名字（最多72个字符，可以有汉字），在程序中单独占一行，可以在模型的任何地方。

模型命名的第一个作用类似于对模型的注释和说明。

模型命名的另一个目的，是为了方便将来阅读求解结果报告。

因为用户有可能同时处理多个模型，很容易混淆模型与求解结果的对应关系。

这时如果对不同模型分别进行了命名，就可以随时（例如在求解当前模型前）使用菜单命令“FILE|TITLE”将当前模型的名字显示在求解结果报告窗口中，这样就容易判别每个求解结果与每个模型的对应关系。

4.　模型中以感叹号“!

”开头的是注释行（注释语句，或称为说明语句），可以帮助他人或以后自己理解这个模型。

实际上，每行中“!

”符号后面的都是注释或说明。

注释语句中可以使用汉字字符。

5.　变量不能出现在一个约束条件的右端（即约束条件的右端只能是常数）；变量与其系数间可以有空格（甚至回车），但不能有任何运算符号（包括乘号“*”等）。

6.　模型中不接受括号“（）”和逗号“,”等符号（除非在注释语句中）。

例如:

4（X1+X2）需写为4X1+4X2；“10,000”需写为10000。

7.　表达式应当已经经过化简。

如不能出现2X1+3X2-4X1，而应写成-2X1+3X2等。

8.　LINDO中已假定所有变量非负。

若要取消变量的非负假定，可在模型的“END”语句后面用命令“FREE”。

例如，在“END”语句后输入FREEvname，可将变量vname的非负假定取消。

9.　可以在模型的“END”语句后面用命令“SUB”（即设置上界（SETUPPERBOUND）的英文缩写）设定变量的上界，用命令“SLB”（即设置下界（SETLOWERBOUND）的英文缩写）设定变量的上下界。

其用法是：

“SUBvnamevalue”将变量vname的上限设定为value；“SLB”的用法类似。

用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型的约束，因此LINDO也不能给出其松紧判断和敏感性分析。

10.　数值均衡化考虑：

如果约束系数矩阵中各非零元的绝对值的数量级差别很大（相差1000倍以上），则称其为数值不均衡的。

为了避免数值不均衡引起的计算问题,使用者应尽可能自己对矩阵的行列进行均衡化。

此时还有一个原则,即系数中非零元的绝对值不能大于100000或者小于.0001。

LINDO不能对LP中的系数自动进行数值均衡化，但如果LINDO觉得矩阵元素之间很不均衡,将会给出警告。

11.简单错误的检查和避免：

输入模型时可能会有某些输入错误.当问题规模较大时,要查找错误是比较困难的。

在LINDO中有一些可帮助寻找错误的功能，其中之一就是菜单命令“Report|Picture（Alt+5）”,它的功能是可以将目标函数和约束表达式中的非零系数通过列表（或图形）显示出来。

模型中对变量x没有非负限制，对y有上限限制，对z有下限限制。

用FREE、SUB、SLB三个命令可以实现这些功能。

MAX2x–3y+4z

S.T.

con2）4x+3y+2z<=10

con3）-3x+5y-z<12

con4）x+y+5z>8

con5）-5x-y-z>2

END

freex!

说明：

变量x没有非负限制

suby20!

说明：

变量y的上界为20

slbz30!

说明：

变量z的下界为30

可以看出y的上界（20）在最优解中并没有达到，z的下界（30）也没有达到，因此模型中去掉“suby20”和“slbz30”两个语句，得到的结果应该是不变的。

但由于最优解中x的取值为负值，所以“freex”这个语句确实是不能少的。

不妨试一下，去掉这个语句后效果会怎样？

（不能运行!

）

§2.2敏感性分析

“REDUCEDCOST”

列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时,目标函数的变化率.其中基变量的reducedcost值应为0，对于非基变量Xj（请注意，非基变量的取值一定是0），相应的reducedcost值表示当某个变量Xj增加一个单位时目标函数减少的量（max型问题）。

“DUALPRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时,目标函数的变化率.输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格.若其数值为p,表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位,目标函数将增加p个单位（max型问题）。

显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，即起作用约束），对偶价格值才可能不是0。

敏感性分析的作用是给出“RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED”，即研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基（矩阵）保持不变。

这个部分包括两方面的敏感性分析内容：

.目标函数中系数变化的范围

（OBJCOEFFICIENTRANGES）

由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中系数发生了变化，所以最优值会变化）。

2.约束右端项变化的范围（RightHandSideRANGES）

不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。

如何变化呢？

敏感性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。

由此，也可以进一步确定当目标函数的系数和约束右端项发生小的变化时，最优解、最优值如何变化。

例2.5继续讨论例1.1

MAX72x1+64x2

SUBJECTTO

2）x1+x2<=50

3）12x1+8x2<=480

4）3x1<=100

END

3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：

原料、劳动时间、车间甲的加工能力。

输出中SLACKORSURPLUS（松弛或剩余）给出这3种资源在最优解下是否有剩余：

原料、劳动时间的剩余均为零（即约束为紧约束），车间甲尚余40公斤加工能力（不是紧约束）。

目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。

输出中DUALPRICES（对偶价格）给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量：

原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。

这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格（shadowprice），即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲生产能力的影子价格为零。

需要注意的是：

灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。

比如对于上面的问题，“原料最多增加10（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。

反过来，原料增加超过10（桶牛奶），最优基是否一定改变？

影子价格是否一定没有意义？

一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。

此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。

所以严格来说，我们上面回答“原料最多增加10（桶牛奶）”并不是完全科学的。

§2.3整数线性规划的求解

LINDO可用于求解线性纯整数规划或混合整数规划（IP），

模型的输入与LP问题类似,但需在END标志后定义整型变量。

0/1型的变量可由INTEGER（可简写为INT）命令来标识，

有以下两种可能的用法：

INTvname

INTn

前者只将决策变量vname标识为0/1型,

后者将当前模型中前n个变量标识为0/1型（模型中变量顺序由模型中输入时出现的先后顺序决定,该顺序可由输出结果中的变量顺序查证是否一致）。

一般的整数变量可用命令GIN（是GENERALINTEGER的意思）,其使用方式及格式与INT命令相似。

所以要在一大堆变量中去找少量的几个取非零值的变量，这是不太方便的。

有没有办法只把取非零值的变量显示出来呢？

选择菜单命令“Reports|Solution…（Alt+0）”（这个命令的功能是要把最优解显示出来），这时会弹出一个选择对话框（图2-21），缺省的选项是“NonzerosOnly（只显示非零值）”。

按下对话框中的“OK”按钮，则报告窗口中的只显示取非零值的变量，这样阅读起来就很方便了。

请注意，这个功能并不仅仅在整数规划中可以使用，在其他模型中也是可以使用的，不妨试试就知道了。

这类似于线性规划中的敏感性分析,但是可惜的是，对于整数规划模型，一般没有与线性规划相类似的理论，此时LINDO中所输出的敏感性分析结果通常是没有意义的，因此不能利用这个输出的敏感性分析结果。

但是，如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，这个约束怎么表达？

可以引入0-1变量，化为整数规划。

设y1只取0,1两个值，则“x1=0或80”等价于

其中M为相当大的正数，本例可取1000（x1不可能超过1000）。

于是这个模型构成一个混合整数规划模型（既有一般的实数变量x，又有0-1变量y），用LINDO直接求解时，输入的最后（END语句后）只需要加上0-1变量y的限定语句。

max2x1+3x2+4x3

st

1.5x1+3x2+5x3<600

280x1+250x2+400x3<60000

x1-1000y1<0

x2-1000y2<0

x3-1000y3<0

x1-80y1>0

x2-80y2>0

x3-80y3>0

end

inty1

inty2

inty3

备注

尽管LINDO对整数规划问题很有威力,但要想有效地使用，有时还是需要一定的技巧的。

这是因为,人们很容易将一个本质上很简单的问题列成一个不太好的输入模型,从而有可能会导致一个冗长的分枝定界计算。

遗憾的是，我们往往难以预先估计什么样的模型才能避免冗长的分枝定界计算，也难以判别什么样的模型是“不太好”的输入模型。

当然这时LINDO会主动砍去一些计算过程,以缩短计算时间，而且越是高版本的LINDO软件，这种自动处理的“智能”越强。

我们的建议是：

如果分枝定界计算时间很长仍得不到最优解，你可以试试对输入模型进行一些等价变换：

如交换变量的次序，交换约束的顺序等，有时也许会对减少求解所需的时间有所帮助。

§2.4*二次规划（QP）

LINDO可用于求解二次规划（QP）问题，但输入方式比较复杂，因为在LINDO中不许出现非线性表达式。

我们需要为每一个实际约束增加一个对偶变量（或LAGRANGE乘子），通过在实际约束前增加有关变量的一阶最优条件，从而转化二次型为线性互补型（对线性互补型有兴趣的读者，需要参阅其他一些专门书籍）；并要使用QCP命令指明实际约束开始的行号，然后才能求解。

下面仅通过两个例子进行说明。

备注：

建议最好直接用下一章介绍的LINGO软件求解QP问题，因为LINGO中输入的模型更接近二次规划的数学表达形式，不容易出错，而计算效果同样很好。

要想学好和灵活应用LINDO软件,首先要多练习使用LINDO来解决问题,熟能生巧。

LINDO中的显示报告完全是英文的，大家要熟悉其含义。

不要太拘泥于书本或别人教你的方法,要会举一反三,综合使用,才能用得巧而精。

这就象编程序一样,同样的几条程序命令,有的人只能生搬硬套,而有的人却能发挥得淋漓尽致,这中间的功夫不是光靠一招招向书本学能得来的了。

§2.5*LINDO的主要菜单命令

菜单条上有6个主菜单：

File（文件）

Edit（编辑）

Solve（求解）

Reports（报告）

Window（窗口）

Help（帮助）

File（文件）菜单包括了LINDO通过文件与外部设备（如磁盘）

交换信息的命令；

Edit（编辑）菜单包括了在当前窗口下编辑文本的命令；

Solve（求解）菜单包括了求解模型的命令；

REPORTS（报告）菜单包括了生成解答结果报告的命令；

Window（窗口）菜单包括了窗口切换的命令；

HELP（帮助）菜单包括了访问在线帮助文挡的命令。

LINDO工具栏及其对应的菜单命令和快捷键

§2.5.1文件（File）主菜单

由于LINDO编辑