苏教版高三一轮必修三第2章 221222.docx
《苏教版高三一轮必修三第2章 221222.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高三一轮必修三第2章 221222.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
苏教版高三一轮必修三第2章221222
2．2 总体分布的估计
2．2.1 频率分布表
2．2.2 频率分布直方图与折线图
[学习目标] 1.通过实例体会分布的意义和作用.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计．
[知识链接]
1．已知函数f（x）＝－x2－2x＋3，则函数的单调递增区间为（－∞，－1），单调递减区间为（－1，＋∞）．
2．已知一组数分别为2,3,5,7,8,10,11，则其中位数为7；数据2,3,5,7,8,10，则其中位数为6.
[预习导引]
1．频率分布表
当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
2．我们将整个取值区间的长度称为全距，分成的区间的长度称为组距．
3．频率分布直方图
把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的
，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图．
4．频率分布折线图
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图，简称频率折线图．
5．总体分布的密度曲线
如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．
要点一 频率、频数等概念
例1 将容量为100的样本数据，从小到大排列，分成8个组，如表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
x
13
12
9
则第5组数据的频率是________．
答案 0.15
解析 样本容量为100，其中组号为5的共有100－10－13－14－14－13－12－9＝15，
故第5组数据的频率为
＝0.15.
规律方法 频率的本质
（1）频率反映每组数据在总体中所占比例的大小．
（2）要认识到频数、频率、样本容量的区别与联系．
频率＝
，频数＝频率×样本容量，样本容量＝
.
跟踪演练1 一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为________．
答案 5
解析 设频数为x，则
＝0.25，∴x＝0.25×20＝5.
要点二 频率分布直方图的绘制
例2 调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：
cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图．
解
（1）最低身高151cm，最高身高180cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组
频数
频率
[149.5,153.5）
1
0.025
[153.5,157.5）
3
0.075
[157.5,161.5）
6
0.15
[161.5,165.5）
9
0.225
[165.5,169.5）
14
0.35
[169.5,173.5）
3
0.075
[173.5,177.5）
3
0.075
[177.5,181.5]
1
0.025
合计
40
1
（2）频率分布直方图如图所示．
规律方法 1.
（1）明确纵、横轴的意义，纵轴表示
（频率＝
），横轴表示样本数据．
（2）直方图中每一个小矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区间的频率或概率．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
跟踪演练2 美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
（1）将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
（2）用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．
解
（1）以4为组距，列表如下：
分组
频数
频率
[41.5,45.5）
2
0.0455
[45.5,49.5）
7
0.1591
[49.5,53.5）
8
0.1818
[53.5,57.5）
16
0.3636
[57.5,61.5）
5
0.1136
[61.5,65.5）
4
0.0909
[65.5,69.5]
2
0.0455
合计
44
1.00
（2）从频率分布表中可以看出60%左右的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
要点三 频率分布直方图的综合应用
例3 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
解
（1）频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为
＝0.08.
又因为第二小组的频率＝
，
所以样本容量＝
＝
＝150.
（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为
×100%＝88%.
规律方法 1.频率分布直方图的性质：
（1）因为小矩形的面积＝组距×
＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
（2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
（3）
＝样本容量．
2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
跟踪演练3 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此
估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．
答案 480
解析 不少于60分的学生的频率为（0.030＋0.025＋0.015＋0.010）×10＝0.8，∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.
1．下列关于频率分布直方图的说法，正确的是________．（填序号）
①直方图的高表示取某数的频率；
②直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值；
③直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率；
④直方图的高表示该组上的个体在样本中出现频率与组距的比值．
答案 ④
解析 频率分布直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．
2．将一批数据分成四组，列出频率分布表，其中第一组的频率是0.27，第二组与第四组的频率之和为0.54，那么第三组的频率是________．
答案 0.19
解析 根据题意知，四个组的频率之和为1，所以第三组的频率为1－0.27－0.54＝0.19.
3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为[12,13），[13,14），[14,15），[15,16），[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．
答案 12
解析 志愿者的总人数为
＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12.
4．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为________．
答案 320
解析 依题意得
＝0.125，∴n＝
＝320.
5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60）的同学有30人，若想在这n个人中抽取50个人，则在[50,60）之间应抽取的人数为________．
答案 15
解析 根据频率分布直方图得总人数n＝
＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60）之间应抽取的人数为50×
＝15.
1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．
2．频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况．通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．
3．样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.
一、基础达标
1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为________．
答案 4
解析 由
＝频率，得频数＝样本容量×频率＝32×0.125＝4.
2．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
第3组的频率和累积频率为________．
答案 0.14和0.37
解析 由表可知，第三小组的频率为
＝0.14，累积频率为
＝0.37.
3．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20）内的频数为________．
答案 30
解析 样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×（0.04＋0.1）]＝30.
4．某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30,0.05,0.10,0.05.第二小组频数为40，则参赛的人数和成绩优秀的频率分别为________．
答案 80,0.15
解析 第二小组的频数为40，第二小组的频率为1－0.30－0.05－0.10－0.05＝0.50，
∴参赛人数为
＝80，
第4,5小组的频率为0.10＋0.05＝0.15.
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40），[40,60），[60,80），[80,100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是________．
答案 50
解析 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是（0.005＋0.01）×20＝0.3，所以该班的学生人数是
＝50.
6．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（1）直方图中x的值为________；
（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250）内的户数为________．
答案
（1）0.0044
（2）70
解析 由于（0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012）×50＝1，解得x＝0.0044；数据落在[100,250）内的频率是（0.0036＋0.0060＋0.0044）×50＝0.7，所以月用电量在[100,250）内的用户数为100×0.7＝70.
7．某班共有60名学生，先用抽签法从中抽取10名学生调查他们的学习情况，若抽查结果如下表所示，先确定x的值，再完成频率分布直方图.
每周学习
时间（小时）
[0,10）
[10,20）
[20,30）
[30,40]
人数
2
4
x
1
解 由2＋4＋x＋1＝10，得x＝3，频率分布直方图如图所示：
二、能力提升
8．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：
克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98），[98,100），[100,102），[102,104），[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________．
答案 90
解析 ∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为
＝120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
9．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.
答案 60
解析 ∵n·
＝27，
∴n＝60.
10．在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（n－1）个小矩形面积的
，且样本容量为300，则中间一组的频数为________．
答案 50
解析 设中间一个小矩形的面积为x，
则其余（n－1）个小矩形面积和为5x，所以x＝
.
设中间一组的频数为m，则
＝
，故m＝50.
11．为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本（60名男生的身高），分组情况如下（单位：
cm）：
分组
[147.5，
155．5）
[155.5，
163．5）
[163.5，
171．5）
[171.5，
179．5]
频数
6
21
27
m
频率
a
0.1
（1）求出表中a，m的值；
（2）画出频率分布直方图．
解
（1）由题意得：
6＋21＋27＋m＝60，
∴m＝6.
a＝
＝0.45，
∴a＝0.45.
（2）如图所示：
三、探究与创新
12．如图是一个样本的频率分布直方图，且在[15,18）内的频数为8.
（1）求样本容量；
（2）若[12,15）一组的小长方形面积为0.06，求[12,15）一组的频数；
（3）求样本在[18,33）内的频率．
解
（1）由图可知[15,18）一组对应的纵轴数值为
，且组距为3，所以[15,18）一组对应的频率为
×3＝
.
又已知[15,18）一组的频数为8，所以样本容量n＝
＝50.
（2）[12,15）一组的小长方形面积为0.06，即[12,15）一组的频率为0.06，且样本容量为50，所以[12,15）一组的频数为50×0.06＝3.
（3）由
（1）
（2）知[12,15）一组的频数为3，[15,18）一组的频数为8，样本容量为50，所以[18,33）内频数为50－3－8＝39，所以[18,33）内的频率为
＝0.78.
13．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）.
分组
频数
频率
一组
0≤t<5
0
0
二组
5≤t<10
10
0.10
三组
10≤t<15
10
②
四组
15≤t<20
①
0.50
五组
20≤t≤25
30
0.30
合计
100
1.00
解答下列问题：
（1）这次抽样的样本容量是多少？
（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
（3）旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
解
（1）样本容量是100.
（2）①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分．
（3）设旅客平均购票用时为tmin，则有
≤t<
，
即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．
升级会员 