立体几何一.docx

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立体几何一

立体几何

（一）

立体几何在学习的过程中是在锻炼人的空间想象能力，是以公理、定理、定义为依据定型的来研究图形（点、线、面）之间的位置关系。

研究的过程是一种转化的过程，是利用公理、定理、定义把空间之间的位置关系转化为平面之间的位置关系，从而利用平面几何的知识来解决问题。

重要的是：

空间f平面。

一、线面的位置关系

1四个公理：

（1）公理丨：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

作用：

证明直线在平面内。

（2）公理2:

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

作用：

证明点在直线上。

（3）公理3:

经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。

（确定一个平面）

作用：

如何确定一个平面。

1推论1:

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

2推论2:

经过两条相交直线，有且只有一个平面。

3推论3:

经过两条平行直线，有且只有一个平面。

（4）公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

对于定理，首先要记忆准确，其次要明确它的作用，即用此定理能够解决什么问题。

例1.已知：

三条直线两两相交，有三个交点，求证：

这三条直线共面

证明：

如图，•••anb=A.••直线a，b确定一个平面土（公理三的推论），•••bAc=B,AB€b，AB€,同理，C，

•直线BC1二①（公理一），即：

c，

•直线a，b，c共面于平面“。

例2.已知：

△ABC的三条边的延长线与平面&交于P、Q、R三点,求证：

P、Q、R三点共线。

证明：

如图，•••直线BA的延长线与平面二交于P点，

•••点P€亠且P€面ABC,

•••点P是平面耳与平面ABC的公共点，同理点Q、R也是平面上与平面ABC的公共点，

•P、Q、R三点共线于平面&与平面ABC的公共直线。

二、有关线面平行问题

1.直线与直线平行：

（1）平行于同一条直线的两条直线平行；

（2）如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行；

（3）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；

（4）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；

2.直线与平面平行：

（1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；

（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；

3.平面与平面平行：

（1）如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平

面平行;

（2）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在平行的定义与定理中体现了新、旧知识之间的联系，线线平行f线面平行f

面面平行，我们在解决问题时也应该遵循这个思路。

例•若三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线平行或共点。

证明：

如图，•••=□■-=a,A；"'=b,A直线a,b共面于平面’-，

•••直线a，b的位置关系为平行或相交，

（1）当a//b时，

二：

■.一二l....}

又A左二c，「.a/c，

•••这三条交线平行；

（2）当aAb=0时,

a

b

•O€a,二A“=a，AO€耳，

•O€b，“A=b，二O€',二点O在平面上，》的公共点，

•二c,「.点O在直线c上,

•••这三条交线共点。

三、有关线面垂直问题

1•直线与直线垂直：

（1）如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条直线也垂直于第三条直线；

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线；

（3）三垂线定理：

如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；

三垂线定理的逆定理：

如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在这个平面内的射影垂直；

2•直线与平面垂直：

（1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；

（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个；

（4）两个平面垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面；

3•平面与平面垂直:

（1）如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么么这两个平面垂直；

（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；

注意：

垂直不是位置关系中的一种，它只是相交中的一种特殊情况，垂直中最重要的是线线垂直，因此三垂线定理及其逆定理是我们解决问题中最常用的定理，它还应用于成角与距离问题。

例.已知：

ABCD为矩形，PA丄底面ABCD，M、N分别为PC、AB的中点,求证：

MN丄AB。

vM、N分别为PC、AB的中点，二M0//PA，NO//BC，

■/PA丄底面ABCD，二M0丄底面ABCD，

•••NO为MN在平面ABCD上的射影，

vABCD为矩形，二BC丄AB，二N0丄AB，

•••MN丄AB。

证法二：

连接PC、MA、MB，

宓二丄M

同理，△PAC也为直角三角形，],

•••MA二MB，vN为AB的中点,•••MN丄AB。

证法三：

（利用向量的方法）

•」_.…匚-'■I--.■■.■"'I厂I-（bc丄ab

（猛*丽（丽+励盂=（习+丽+丽+丽盂

•.MN■—NM-=C1.•.mn丄AB。

四、有关线面成角问题

1异面直线所成的角：

经过空间任意一点，分别引两条异面直线a、b的平行

线〃、，、'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角。

（0°<9<90°

2•直线与平面所成的角：

（1）平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角;

（2）当线面垂直时，垂线与平面所成的角为直角；

（3）线面平行或线在面内，规定线面角为零角。

直线与平面所成的角：

0°WBW90°

3.平面与平面所成的角：

（1）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

（2）二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，分别在两个半平面内

作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（0°<9<）80°

成角问题再次体现的转化，面面角（二面角）、线面角、异面直线所成的角都要通过转化的思想，转化成为线线角（相交直线出现的角），从而在三角形（经常是直角三角形）中解决问题。

例.已知：

四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，ZDAB=90，PA丄

底面ABCD，且PA二AD二DC=二AB=1，M是PB的中点。

（I）证明：

面PAD丄面PCD;

（n）求AC与PB所成的角；

（川）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

证法一：

（I）证明：

•••PA丄面ABCD，CD丄AD，

•••由三垂线定理得：

CD丄PD。

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

•••CD丄面PAD，又CD二面PCD,.••面PAD丄面PCD

（n）解：

过点B作BE//CA，且BE=CA，

则/PBE是AC与PB所成的角。

连结AE，可知AC二CB二BE二AE二J，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形。

由PA丄面ABCD得/PEB=90在Rt△PEB中BE二丿，PB=

BSy/w

白ft亡og

•••AC与PB所成的角为-

（川）解：

作AN丄CM，垂足为N，连结BN。

在RtAPAB中，AM二MB，又AC=CB，:

•△AMCBMC,

•••BN丄CM,故/ANB为所求二面角的平面角，

•••CB丄AC,由三垂线定理，得CB丄PC，

在RtAPCB中，CM=MB，所以CM=AM，

在等腰三角形AMC中，':

方法二：

因为PA丄PD，PA丄AB，AD丄AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图

则各点坐标为A（0,0,0），B（0,2,0），C（1,1,0）,D（1,0,0），P（0,0,1）,M（0,1,）

（I）证明：

因一'一J一，」一,故丄‘A、，所以AP丄DC,

由题设知AD丄DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC丄面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD丄面PCD。

（n）解：

因'"■■■■J

故|云匸在，丨而|=护，ACfS=2

（川）解：

在MC上取一点N（x,y,z），则存在仁，使-'丄一•工，

一11-

—d、MC=ldr—）rZ=-A

一或人才.•.忑=1一丸』=12

1n.4

irrX——Z=0/l=—

要使AN丄MC,只需•，即1，解得-，

_412

可知当匚时，N点坐标为■-'-，能使-⑺#」-o

—-12—12

册二（_丄_）阳二（_i_）一_.

此时，，-「，有—「-

由—：

一，二,C•.得an丄MC，BN丄MC，所以/ANB为所

求二面角的平面角。

|丽|二卑|丽|二琴=

arccos（—-Ji

O

C-.>3丽硕==--

八'」，故所求的二面角为

五•有关线面距离问题

1点与点的距离：

直线段的长；

2.点与直线的距离：

点与垂足间的距离；

3•点与平面的距离：

垂线段的长；

4.直线与直线的距离：

（1）平行：

一直线上任意一点到另一直线的距离；

（2）异面：

公垂线段的长；

5.直线与平面的距离：

直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离；

6.平面与平面的距离：

平面上任意一点到平面的距离；

距离问题最重要的是点、面距离，它可以通过找到垂足，利用点点距求出；更常用的是利用等积（体积）法求出。

其他的距离（线线、线面、面面）都可以通过转化的思想转化为点面距，转化的前提要证明平行的存在。

例.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得

至曲勺，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=1

-G

（I）求BF的长；

（n）求点C到平面AECiF的距离。

解法1:

（I）过E作EHIIBC交CCi于H，贝VCH=BE=1,EHIIAD,且EH=AD,

又vAFIIECi,AZFAD=ZCiEH，二Rt△ADF如Rt△EHCi,

DF=CiH=2,••上F==2品。

（n）延长CiE与CB交于G，连AG，则平面AECiF与平面ABCD相交于AG,过C作CM丄AG，垂足为M，连CiM,

由三垂线定理可知AG丄CiM,

由于AG丄面CiMC,且AG匚面AECiF,所以平面AECiF丄面CiMC。

在RtACiCM中，作CQ丄MCi，垂足为Q,则CQ的长即为C到平面AECiF

的距离,

由ZGAB=ZMCG,得

解法2:

则D（0,0,0）,B（2,4,0）,A（2,0,0）,C（0,4,0）,E（2,4,1）,Ci（0,4,3）

设F（0,0,z）,

Jis'—岸K

•-AECiF