初三数学 平行四边形和菱形北师大版含答案.docx
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初三数学平行四边形和菱形北师大版含答案
初三数学（尖子班）讲义
平行四边形与菱形
题型分类：
无星代表普通高中★重点高中★★三大名校
◆一、平行四边形的性质与判定
1、平行四边形的定义：
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
3、平行四边形的判别方法：
（1）∵_____∥______，_____∥______，∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AB＝，BC＝______，∴四边形ABCD是平行四边形
（3）∴AO＝______，BO＝______，∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵∠BAD＝∠______，∠ABC＝∠_____，∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵AD∥______，AD＝_____，∴四边形ABCD是平行四边形
◆二、菱形的性质与判定：
5、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。
6、菱形的性质：
（1）对边平行，四边相等。
（2）对角相等，邻角互补。
（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
四边形
四边形
7、菱形的判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形。
（3）四条边都相等的四边形。
❤❤❤（4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。
◆三、三角形的中位线
如下图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，连结DE，DE叫△ABC的中位线.
∴
（1）DE=
ＢＣ
（2）ＤＥ∥ＢＣ
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
例题1、如下图，BD是□ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：
四边形AECF为平行四边形.
★变式练1--1、如下图：
□ABCD中，DM＝BN，BE＝DF．求证：
四边形MENF是平行四边形．
★变式练1--2、（2011四川宜宾）如图，平
行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．
求证：
GF∥HE．
★例题2、如图，
中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上的一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE。
求证：
四边形BECF是菱形。
变式练2--1、如图：
在⊿ABC中，∠BAC=
，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：
四边形AEFG是菱形；
变式练2--2、菱形的周长为24cm，两邻角的比为1：
2，较短对角线的长是，菱形的高为，面积是。
★★例题3、（2010青海改编）观察控究，完成证明．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：
四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC=BD，请你猜想并证明四边形EFGH的形状？
若AC⊥BD呢？
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
★变式练3--1、（2011四川内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．
（一）选择题：
相信你一定能选对！
1、下列两个图形，可以组成平行四边形的是（）
A.两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两个锐角三角形D.两个全等三角形
2、平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（）．
A．锐角B．直角C．钝角D．不确定
3、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B.对边相等
C.对角线互相垂直D.对角线相等
4、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）
A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形
5、菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（）
A.6cmB.1.5cmC.3cmD.0.75cm
6、下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）
A．□ABCD中，AB=BCB．□ABCD中，AC⊥BD
C．□ABCD中，AC=BDD．□ABCD中，AC平分∠BAD
（二）填空题：
你能填得又快又对吗？
7、菱形周长为20cm，相邻两角比为1：
2，则菱形的两对角线的长。
8、菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2
cm,则另一条对角线的长是。
9、如图2，菱形
中，∠ADC=120°，AB=10,
则
菱形
的面积=
10、在四边形ABCD中,对角线ACBD相交于O点,从
（1）AB=CD;
（2）AB∥CD;
（3）OA=OC;（4）OB=OD;（5）AC⊥BD;（6）AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出
四边形ABCD是菱形.如
（1）
（2）（5）
四边形ABCD是菱形四边形;再写出符合要求的两个:
四边形ABCD是菱形;
四边形ABCD是菱形.
（三）解答题:
11、如图，△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB，试说明PE＋PF＝AB
12、如图AD是△ABC的角平分线，DE//AC,交AB于点E，DF//AB，交AC于点F，
证明：
AD⊥EF
★13、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD>BC，AD=8cm，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A出发向D运动，点Q以2cm/s的速度由C出发向B运动。
几秒钟后四边形ABQP是平行四边形？
★14、如图
（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝
，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证:
CF＝CH；
（2）如图
（2），△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=
时，试判断四边形ACDM是什么四边形？
并证明你的结论．
（图1）（图2）
问答
老师：
“我给同学们出两个问题，谁只要回答出第一个问题，就不要求他回答第二个问题了。
现在我问第一个问题：
谁知道自己有多少根头发？
”
小丽：
“我知道，我有99999根头发。
”
老师：
“你是怎么知道的？
”
小丽：
“老师，这是第二个问题了，你不能要求我回答了。
”
（每题20分，共100分）
1、能判别一个四边形是平行四边形的条件是（）
A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等
2、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）
A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
3、菱形的一个内角等于
，过这个角的顶点的对角线长为8cm,则这个菱形的周长为cm。
4、已知菱形的周长是52cm，较短一条对角线的长是10cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．30cm2B．60cm2C．120cm2D．240cm2
5、四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）
A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°
自我评价
今天你回答了几个问题？
≥4个
魔法师（）
3个
学徒（）
≤2个平民（）
小组评价
小组今天最后成绩？
第一名飞龙队（）
第二名飞虎队（）
第三名
飞马队（）
（每小题50分，满分100分）
1、已知：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，AB∥DC，求证：
四边形ABCD是平行四边形。
2、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交BC、AD于点E、F，求证：
四边形AECF是菱形。
例一：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△AEB与△CFD中，
∠AEB=∠CFD
∠ABD=∠CDB
AB=CD
∴△AEB≌△CFD（AAS），∴AE=CF，∴AECF为平行四边形．
★变式练1--1：
证明：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．
又BN=DM，BE=DF，∴△BNE≌△DMF．∴MF=NE，∠DFM=∠BEN．
∴EN∥FM．∴四边形MENF是平行四边形．
★变式练1—2、证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO【平行四边形对角线互相平分】
∵AF=CE，BH=DG∴EO=FO，HO=GO
∴四边形EGFH是平行四边形∴GF//HE
★例题2、在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线
所以AD⊥BC，再证△BDE≌△CDF（ASA）∴BF=CF
又∵CF‖BE，∴四边形BECF是平行四边形
在平行四边形CECF中，BC⊥EF
所以四边形CECF为菱形
变式练2--1、先证△AEC≌△FCE（AAS）∴AE=FEAC=FC∠AEC=∠FEC
∵AC=FC∠ACE=∠FCECG=CG∴△ACG≌△FCG（SAS）∴AG=FG
∵AD⊥BC,EF⊥BC∴AD∥EF∴∠FEC=∠AGE∴∠AEC=∠AGE∴AG=AE
∵AE=AF，AE=AG,AG=GF∴AE=AG=GF=EF
∴四边形AEFG是菱形
变式练2--2、6CM,3
cm，18
cm²
例3：
（1）证明：
因为AB、BC、CD、AD的中点分别是E、F、G、H，
所以EF、GH分别是是三角形ABC和ADC的中位线
根据中位线性质得：
EF//AC，EF＝AC/2，GH//AC，GH＝AC/2
所以EF//GH且EF＝GH
所以四边形EFGH是平行四边
（2）AC=BD则平行四边形是菱形；若AC⊥BD则平行四边形是矩形。
（3）与原四边形的对角线有关：
若对角线相等，则中点四边形是菱形；若对角线互相垂直，则中点四边形是矩形；若对角线互相垂直且相等，则四边形是正方形。
★变式练2--1、AB=CD
（一）选择题：
BDCABC
（二）填空题：
7、5cm，5
cm；8、2cm；9、10,10
，50
；
10、
（1）
（2）（6），（3）（4）（5）
（三）解答题
11、证明：
∵AB=AC∴∠B=∠C∵PE∥AC∴∠C=∠BPE
∴∠B=∠BPE∴PE=BE∵PF∥AB∴四边形AEPF是平行四边形
∴PF=AE∴PE+PF=BE+AE=AB
12、：
证明：
∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形
∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2
∵DE∥AC∴∠2=∠ADE∴∠1=∠ADE∴AE=ED
∴四边形AEDF是菱形∴AD、EF互相垂直平分
13、解：
（1）设x秒后四边形ABCP是平行四边形
根据一组对边平行且相等是平行四边形，得：
AP=BQ
AP=x，BQ=6－2x
x＝6－2xx＝2s
14、
（1）证明：
根据已知，得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=45°
∴∠AFC=∠CBA+∠FCH=∠CED+∠FCH=∠DHC
又∵∠CAB=∠CDE=45°，AC=CD∴△AFC≌△DHC（AAS）
∴CF=CH
（2）四边形ACDM是菱形
证明：
∵∠CED=45°，∠ACE=90°-∠BCE=45°，∴∠CED=∠ACE∴DM‖AC
同理，得AM‖CD∴四边形ACDM是平行四边形
又∵AC=CD∴平行四边形ACDM是菱形
题号
1
2
3
4
5
答案
D
A
32
C
C
1、证明：
∵AB∥DC∴∠ACD=∠CAB∵AO=OC∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD（ASA）∴CD=AB
∵AB∥DC∴四边形ABCD是平行四边形
2、证明：
设AC中点为O
∵EF垂直平分AC∴∠AOE=∠COF=90°且AO=OC
∵ABCD为平行四边形∴AD‖CB∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF∴EO=OF∴AC垂直平分EF
又EF垂直平分AC∴四边形AFCE的对角线互相垂直平分
∴四边形AFCE是菱形
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