高中物理第4章习题课共点力平衡条件的应用学案5沪科版docx.docx
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习题课:
共点力平衡条件的应用
[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题.
1.共点力作用的平衡状态:
物体在共点力作用下,保持静止或匀速直线运动状态.
2.共点力作用下的平衡条件是合力为零,即F合=0,用正交分解法表示的平衡条件:
Fx合=0,Fy合=0.
3.平衡条件的四个常用推论:
(1)二力平衡时,二力等大、反向.
(2)三力平衡时,任意两力的合力与第三个力等大、反向.
(3)多力平衡时,任一个力与其他所有力的合力等大、反向.
(4)物体处于平衡状态时,沿任意方向上分力之和均为零.
一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题
物体受多力作用处于平衡状态时,可用正交分解法求解,但当物体受三个力作用而平衡时,可用矢量三角形法,即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反,且这三个力首尾相接构成封闭三角形,通过解三角形求解相应力的大小和方向,当这个三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单.
例1
在科学研究中,可以用风力仪直接测量风力的大小,其原理如图1所示.仪器中一根轻质金属丝,悬挂着一个金属球.无风时,金属丝竖直下垂;当受到沿水平方向吹来的风时,金属丝偏离竖直方向一个角度.风力越大,偏角越大,通过传感器,就可以根据偏角的大小指示出风力的大小,那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢?
(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)
图1
答案 F=mgtanθ
解析
甲
取金属球为研究对象,有风时,它受到三个力的作用:
重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T,如图甲所示.这三个力是共点力,在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态,则这三个力的合力为零,可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解,也可以用正交分解法求解.
解法一 矢量三角形法
如图乙所示,风力F和拉力T的合力与重力等大反向,由矢量三角形可得:
F=mgtanθ.
解法二 正交分解法
以金属球为坐标原点,取水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立直角坐标系,如图丙所示.由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零,即
Fx合=Tsinθ-F=0,Fy合=Tcosθ-mg=0,
解得F=mgtanθ.由所得结果可见,当金属球的质量m一定时,风力F只跟偏角θ有关.因此,根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小.
针对训练 如图2所示,一质量为1kg、横截面为直角三角形的物块ABC,∠ABC=30°,物块BC边紧靠光滑竖直墙面,用一推力垂直作用在AB边上使物块处于静止状态,则推力F及物块受墙的弹力为多少?
(g=10m/s2)
图2
答案 20N 10N
解析 物块受重力G,推力F和墙的弹力N作用,如图所示,由平衡条件知,F和N的合力与重力等大反向.
故有F===20N
N=Gtan60°=1×10×N
=10N
二、动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法.
1.图解法
(1)特征:
物体受三个力作用,这三个力中,一个是恒力,大小、方向均不变化,另两个是变力,其中一个是方向不变的力,另一个是大小、方向均变化的力.
(2)处理方法:
把这三个力平移到一个矢量三角形中,利用图解法判断两个变力大小、方向的变化.
2.相似三角形法
(1)特征:
物体一般也受三个力作用,这三个力中,一个是恒力,另两个是大小、方向都变化的力.
(2)处理方法:
把这三个力平移到一个矢量三角形中,找到题目情景中的结构三角形,这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似.利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况.
例2
如图3所示,小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间,当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中( )
图3
A.小球对薄板的压力增大
B.小球对墙的压力减小
C.小球对墙的压力先减小后增大
D.小球对薄板的压力不可能小于球的重力
解析 根据小球重力的作用效果,可以将重力G分解为使球压板的力F1和
使球压墙的力F2,作出平行四边形如图所示,当θ增大时,F1、F2均变小,而且在θ=90°时,F1有最小值,等于G,所以B、D项均正确.
答案 BD
例3
如图4所示,固定在水平面上的光滑半球,球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮,细绳一端拴一小球,小球置于半球面上的A点,另一端绕过定滑轮.今缓慢拉绳使小球从A点沿半球面滑到半球顶点,则此过程中,半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是( )
图4
A.N变大,F变大B.N变小,F变大
C.N不变,F变小D.N变大,F变小
解析 小球受力如图甲所示,F、N、G构成一封闭三角形
由图乙可知F/AB=N/OA=G/OB
F=G·AB/OB N=G·OA/OB
AB变短,OB不变,OA不变,
故F变小,N不变.
答案 C
三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题
1.隔离法:
为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况.一般要把这个物体隔离出来进行受力分析,然后利用平衡条件求解.
2.整体法:
当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时,一般可把整个系统看成一个物体,画出系统整体的受力图,然后利用平衡条件求解.
注意 隔离法和整体法常常需要交叉运用,从而优化解题思路和方法,使解题简捷明快.
例4
如图5所示,A、B两个物体的质量都是1kg,现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动.已知A、B之间的动摩擦因数μAB=0.1,B与地面间的动摩擦因数μB地=0.2.g=10m/s2.则两个物体在匀速运动的过程中,
图5
(1)对A、B分别画出完整的受力分析.
(2)A、B之间的摩擦力大小为多少.
(3)拉力F的大小为多少.
解析
(1)以A为研究对象,A受到重力、支持力作用;以B为研究对象,B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用,如图所示.
(2)对A:
由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.
(3)以A、B整体为研究对象,
由于两物体一起做匀速直线运动,
所以受力如图.
水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力,
即F=f=μB地NB,
而NB=GB+GA,
所以F=0.2×(1×10+1×10)N=4N
答案
(1)见解析图
(2)0 (3)4N
1.矢量三角形法(合成法).
2.动态平衡问题:
(1)图解法;
(2)相似三角形法.
3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.
1.(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图6所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )
图6
A.mg,mgB.mg,mg
C.mg,mgD.mg,mg
答案 A
解析
分析结点c的受力情况如图,设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2,根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向,由几何知识得
F1=Fcos30°=mg
F2=Fsin30°=mg
选项A正确.
2.(动态平衡问题)用细绳OA、OB悬挂一重物,OB水平,O为半圆形支架的圆心,悬点A和B在支架上.悬点A固定不动,将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中,试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况为( )
图7
A.OA绳中的拉力逐渐减小
B.OA绳中的拉力逐渐增大
C.OB绳中的拉力逐渐减小
D.OB绳中的拉力先减小后增大
答案 AD
解析 如图所示,在支架上选取三个点B1、B2、B3,当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时,OA、OB中的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3,从图中可以直观地看出,TA逐渐变小,且方向不变;而TB先变小后变大,且方向不断改变;当TB与TA垂直时,TB最小,然后TB又逐渐增大.故A、D正确.
3.(整体法与隔离法)如图8所示,吊车m和磅秤N共重500N,物体G重300N,当装置平衡时,磅秤的示数是( )
图8
A.500NB.400N
C.300ND.100N
答案 D
解析 先用整体法分析,所有物体总重为800N,则与定滑轮相连的绳子的拉力都是400N,所以下面两股绳子的拉力都是200N,最后以G为研究对象可知磅秤对G的支持力为100N,D正确.
4.(矢量三角形法)如图9所示,电灯的重力为20N,绳AO与天花板间的夹角为45°,绳BO水平,求绳AO、BO上的拉力的大小.(请分别用两种方法求解)
图9
答案 20N 20N
解析 解法一 矢量三角形法(力的合成法)
O点受三个力作用处于平衡状态,如图所示,
可得出FA与FB的合力F合方向竖直向上,大小等于FC.
由三角函数关系可得
F合=FAsin45°=FC=G灯
FB=FAcos45°
解得FA=20N,FB=20N
故绳AO、BO上的拉力分别为20N、20N.
解法二 正交分解法
如图所示,将FA进行正交分解,根据物体的平衡条件知
FAsin45°=FC
FAcos45°=FB
后面的分析同解法一
题组一 动态平衡问题
1.用轻绳把一个小球悬挂在O点,用力F拉小球使绳编离竖直方向30°,小球处于静止状态,力F与竖直方向成角θ,如图1所示,若要使拉力F取最小值,则角θ应为( )
图1
A.30°B.60°C.90°D.45°
答案 B
解析 选取小球为研究对象,小球受三个共点力作用:
重力G、拉力F和轻绳拉力T,由于小球处于平衡状态,所以小球所受的合力为零,则T与F的合力与重力G等大反向.因为绳子方向不变,作图后不难发现,只有当F的方向与T的方向垂直时,表示力F的有向线段最短,即当F的方向与轻绳方向垂直时,F有最小值.故本题的正确选项是B.
2.一轻杆BO,其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上,B端挂一重物,且系一细绳,细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮,用力F拉住,如图2所示.现将细绳缓慢往左拉,使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小,则在此过程中,拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是( )
图2
A.N先减小,后增大B.N始终不变
C.F先减小,后增大D.F始终不变
答案 B
解析 取BO杆的B端为研究对象,受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G),如图所示,得到一个力三角形(如图中画斜线
部分),此力三角形与几何三角形OBA相似,可利用相似三角形对应边成比例来解.
如图所示,力三角形与几何三角形OBA相似,设AO高为H,BO长为L,绳长为l,则由对应边成比例可得:
==
式中G、H、L均不变,l逐渐变小,所以可知N不变,F逐渐变小.故选B.
3.如图3所示,用细绳悬挂一个小球,小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点,在这个过程中,绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是( )
图3
A.F′不断增大B.F′不断减小
C.F不断减小D.F不断增大
答案 AD
解析 如图所示,利用图解法可知F′不断增大,F不断增大.
4.置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态,如图4所示,保持作用力F大小不变,将其沿逆时针方向缓缓转过180°,物体始终保持静止,则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是( )
图4
A.N先变小后变大,f不变
B.N不变,f先变小后变大
C.N、f都是先变大后变小
D.N、f都是先变小后变大
答案 D
解析 力F与水平方向的夹角θ先增大后减小,水平方向上,Fcosθ-f=0,f=Fcosθ;竖直方向上,N+Fsinθ-mg=0,N=mg-Fsinθ,故随θ变化,f、N都是先减小后增大.
题组二 整体法与隔离法
5.两刚性球a和b的质量分别为ma和mb、直径分别为da和db(da>db)将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内,如图5所示.设a、b两球静止对圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2,筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的,则( )
图5
A.F=(ma+mb)g F1=F2
B.F=(ma+mb)g F1≠F2
C.mag<F<(ma+mb)g
D.mag<F<(ma+mb)g,F1≠F2
答案 A
解析 对两刚性球a和b整体受力分析,由竖直方向受力平衡可知F=(ma+mb)g、水平方向受力平衡有F1=F2.
6.如图6所示,测力计、绳子和滑轮的质量都不计,摩擦不计.物体A重40N,物体B重10N,以下说法正确的是( )
图6
A.地面对A的支持力是30N
B.物体A受到的合力是30N
C.测力计示数20N
D.测力计示数30N
答案 AC
7.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角形木块abc,在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体,m1>m2,如图7所示,若三角形木块和两物体都是静止的,则粗糙水平面对三角形木块( )
图7
A.无摩擦力的作用
B.有摩擦力的作用,摩擦力的方向水平向左
C.有摩擦力的作用,但摩擦力的方向不能确定,因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出
D.地面对三角形木块的支持力大小为(m1+m2+M)g
答案 AD
解析 由于三角形木块和斜面上的两物体都静止,可以把它们看成一个整体,如图所示,整体竖直方向受到重力(m1+m2+M)g和支持力N作用处于平衡状态,故地面对整体的支持力大小为(m1+m2+M)g,故D选项正确.水平方向无任何滑动趋势,因此不受地面的摩擦力作用.故A选项正确.
8.如图8所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙壁之间放一光滑球B,整个装置处于静止状态.若把A向右移动少许后,它们仍处于静止状态,则( )
图8
A.B对墙的压力减小
B.A与B之间的作用力增大
C.地面对A的摩擦力减小
D.A对地面的压力不变
答案 ACD
解析
设物体A对球B的支持力为F1,竖直墙对球B的弹力为F2,F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小.对球B受力分析如图所示,由平衡条件得:
F1cosθ=mBg,F1sinθ=F2,解得F1=,F2=mBgtanθ,θ减小,F1减小,F2减小,选项A对,B错;对A、B整体受力分析可知,竖直方向,地面对整体的支持力N=(mA+mB)g,与θ无关,即A对地面的压力不变,选项D对;水平方向,地面对A的摩擦力f=F2,因F2减小,故f减小,选项C对.
题组三 矢量三角形法求解共点力的平衡问题
9.一个物体受到三个力的作用,三力构成的矢量图如图所示,则能够使物体处于平衡状态的是( )
答案 A
10.如图9所示,光滑半球形容器固定在水平面上,O为球心,一质量为m的小滑块,在水平力F的作用下静止于P点,设滑块所受支持力为N,OP与水平方向的夹角为θ,下列关系正确的是( )
图9
A.F=B.F=mgtanθ
C.N=D.N=mgtanθ
答案 A
解析
对滑块进行受力分析如图,滑块受到重力mg、支持力N、水平推力F三个力作用.由共点力的平衡条件知,F与mg的合力F′与N等大、反向.根据平行四边形定则可知N、mg和合力F′构成直角三角形,解直角三角形可求得:
F=,N=.所以正确选项为A.
11.如图10所示,一个重为100N、质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间,已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角,且θ=60°,所有接触点和面均不计摩擦.试求墙面对小球的支持力F1和A点对小球的压力F2.
图10
答案 100N,方向垂直墙壁向左 200N,方向沿A→O
解析 如图,小球受重力G竖直墙面对球的弹力F1和A点对球的弹力F2作用.由三力平衡条件知F1与F2的合力与G等大反向,解直角三角形得
F1=mgtanθ=100N,方向垂直墙壁向左
F2==200N,方向沿A→O
12.滑板运动是一项非常刺激的水上运动.研究表明,在进行滑板运动时,水对滑板的作用力N垂直于板面,大小为kv2,其中v为滑板速率(水可视为静止).某次运动中,在水平牵引力作用下,当滑板和水面的夹角θ=37°时(如图11),滑板做匀速直线运动,相应的k=54kg/m,人和滑板的总质量为108kg,试求:
(重力加速度g取10m/s2,sin37°取,忽略空气阻力)
图11
(1)水平牵引力的大小;
(2)滑板的速率.
答案
(1)810N
(2)5m/s
解析
(1)以滑板和运动员整体为研究对象,其受力如图所示(三力组成矢量三角形)
由共点力平衡条件可得
Ncosθ=mg①
Nsinθ=F②
联立①②得
F=810N
(2)N=mg/cosθ
N=kv2
得v==5m/s