轴对称.docx

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轴对称

轴对称

［复习目标］

1.掌握和运用线段中垂线与角平分线的性质，培养学生探索精神。

2.掌握画轴对称图形的方法，培养学生积极主动的学习态度。

3.会识别等腰三角形，并能熟练应用等腰三角形性质证明，发展学生的逻辑思维能力。

二.重点、难点：

1.重点：

（1）轴对称图形的识别，画某一图形关于某直线的对称图形；

（2）掌握线段中垂线与角平分线的性质；

（3）掌握等腰三角形性质、判定。

2.难点：

利用对称性、线段中垂线与角平分线的性质、等腰三角形性质与判定进行说理。

【典型例题】

例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE周长为8，且AC－BC＝2，求AB、BC的长。

解：

∵D是AB中点，DE⊥AB

∴DE是AB垂直平分线

∴AE＝BE

∵△BEC周长为8

∴BE＋CE＋BC＝8

∴AE＋CE＋BC＝8

∴AC＋BC＝8

∵AC－BC＝2

∴AC＝5，BC＝3

∴AB＝AC＝5

经检验符合题意

∴AB、BC的长分别为5、3

例2.在城区有三所小学A、B、C，现准备修建一座儿童游乐中心P，应修在何处，才能使三所学校到游乐中心的距离相等。

分析：

要找一点P，使它到三点A、B、C的距离相等

即PA＝PB＝PC

则先找，到AB两点的距离相等的点

于是做线段AB的垂直平分线EF

再找，到BC两点的距离相等的点

于是做线段BC的垂直平分线MN

直线EF、MN的交点即为游乐中心P点

例3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3cm，BC＝8cm，试求△BCD的面积。

分析：

从求出发：

要求△BCD面积，而又已知BC＝8cm，因此应想到做BC边的高。

从已知出发：

已知角平分线上的点到角一边的距离，想到做出这一点到另一边的距离。

解：

做DE⊥BC于E

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，∠A＝90°

∴DA＝DE＝3cm

所以，△BCD的面积为12平方厘米

例4.在图中直线MN上，找一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。

分析：

因为到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

所以做∠AOB的平分线与直线MN的交点即为点P。

例5.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，在AD上有一点P，试比较AB－AC与PB－PC的大小。

分析：

因为AD是∠BAC平分线

所以AD所在直线是∠BAC的对称轴

沿直线AD对折，AC落在AB上，点C落在点E

所以AC＝AE，PC＝PE

所以AB－AC＝AB－AE＝BE

在△BPE中，BE＞PB－PE

所以AB－AC＞PB－PC

例6.如图，直线EF表示一条小河的河边，直线MN表示草场的边缘，一牧民及马在帐篷A处。

牧民放马到河边，让马饮水；再放马到草场，让马吃草；最后回到帐篷。

请你帮助设计最短路线。

做法：

做出点A关于直线EF的对称点B

做出点A关于直线MN的对称点C

连接B、C交EF、MN于P、Q

从点A到点P，再到点Q，最后回到点A，是最短路程

等腰三角形是重要的基本图形之一，它的性质及识别都很重要。

有两个图形性质值得注意：

（1）角平分线配平行线出等腰三角形；

（2）角平分线配垂直线出等腰三角形。

例7.已知：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥DA交CA延长线于E，F是BE的中点。

求证：

AF⊥BE

分析：

要证AF⊥BE，由于已知F是BE中点，于是只要证AE＝AB，由已知AD平分∠BAC，BE∥DA交CA延长线于E，即可得到AE＝AB。

证明：

因为AD平分∠BAC

所以∠1＝∠2

因为BE∥DA

所以∠3＝∠1，∠E＝∠2

所以∠3＝∠E

所以AE＝AB

因为F是BE中点

所以AF是△ABE的中线

所以AF⊥BE

例8.已知：

如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE。

求证：

AC－AB＝2BE

分析：

因已知“∠1＝∠2，BE⊥AE”即已知中有“角平分线配垂直”的条件，于是想到图形中隐含着一个等腰三角形。

为此延长垂线段BE交AC于M。

立即得到AB＝AM，BE＝EM，BM＝2BE等结论，要证AC－AB＝2BE的问题转化为只要证BM＝MC。

证明：

延长BE交AC于M

因为BE⊥AE，所以∠AEB＝∠AEM＝90°

在△ABE中，因为∠1＋∠3＋∠AEB＝180°

所以∠3＝90°－∠1

同理，∠4＝90°－∠2

因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4

所以AB＝AM

因为BE⊥AE，所以BM＝2BE

所以AC－AB＝AC－AM＝CM

因为∠4是△BCM的外角

所以∠4＝∠5＋∠C

因为∠ABC＝3∠C

所以∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5

所以3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C

所以∠5＝∠C

所以CM＝BM

所以AC－AB＝BM＝2BE

分类讨论思想及方程思想在等腰三角形中应用非常广泛。

例9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20度，求顶角度数。

分析：

这个等腰三角形顶角可能是锐角、可能是钝角，所以应分两种情况讨论。

解：

（1）当等腰三角形顶角是锐角时，如图

（1）

∠DBA＝20°，则∠A＝70°

（2）当等腰三角形顶角是钝角时，如图

（2）

∠DBA＝20°，∠DAB＝70°，则∠BAC＝110°

例10.已知：

在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，E在AB上，AD＝DE＝BE，BD＝BC，求：

∠A的度数。

分析：

在此题中，求角度，但已知却没给角度，想到设x，用方程思想，这种想法会经常用到。

解：

设∠2＝x°

因为AD＝DE，所以∠1＝∠A

因为DE＝BE，所以∠2＝∠3＝x°

因为∠1是△BDE外角

所以∠1＝∠2＋∠3＝2x°

所以∠A＝2x°

因为∠4是△BDA外角

所以∠4＝∠2＋∠A＝3x°

因为BD＝BC，所以∠C＝∠4＝3x°

因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC＝3x°

在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°

所以2x°＋3x°＋3x°＝180°

所以x＝22.5

所以∠A＝2x°＝45°

【模拟试题】

一.选择题。

1.等腰三角形的一个外角等于100度，那么这个三角形的三个内角分别是（）

A.50°，50°，80°

B.80°，80°，20°

C.100°，100°，20°

D.50°，50°，80°；80°，80°，20°

2.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角是（）

A.顶角B.顶角的一半

C.顶角的二倍D.底角的一半

3.有如下判断：

（1）过正方形每个顶点，可以画正方形的对称轴，过正方形每条边的中点也可以画一条对称轴，所以正方形对称轴有8条；

（2）如图，MN是线段AB的垂直平分线，N是垂足，CD和EF分别是AN、NB的垂直平分线，D、F是垂足，则有AD＝DN＝NF＝FB；

（3）如图，OD是∠AOB的平分线，DA⊥OA，DB⊥OB，A、B是垂足，OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线，分别交AD于E，交BD于F，则有AE＝ED＝DF＝FB。

其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.如图

（1），△ABC是等边三角形，三角形的两条高交于点E，连结CE和DF，则图中共有等腰三角形的个数是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

5.如图

（2），在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，DE⊥AC，则∠ADE等于（）

A.50°B.40°C.30°D.60°

二.解答题。

6.如图，在△ABC中，已知AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别为24cm和14cm，求AB的长度。

7.如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，EF平分∠AED，在图形中有哪些等腰三角形？

并证之。

8.如图，P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数。

9.如图，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，

。

求证：

ED∥BC

10.如图，在△ABC中，∠B＝100°，AM＝AN，CP＝CN。

求：

∠MNP的度数。

11.如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，AD∥CM，交BC的延长线于点D，若AN＝ND，试说明CN⊥CM的道理。

12.如图，已知直线l和点A、B，在直线l上找一点P，使△PAB的周长最小。

你能说明理由吗？

【试题答案】

一.选择题。

1.D2.B3.B4.B5.A

二.解答题。

6.解：

∵DE垂直平分AB

∴AE＝BE

∵△ABC的周长为24，△BCE的周长为14

∴AB＋AC＋BC＝24，BE＋CE＋BC＝14

∵AE＝BE

∴AB＋BE＋CE＋BC＝24

∴AB＝10

∴AB的长度为10cm

7.证明：

∵AB＝AC

∴△ABC是等腰三角形

∵∠A＝36°

∴∠ABC＝∠C＝72°

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠CBD＝36°

∵DE∥BC

∴∠BDE＝∠CBD＝36°

∴∠EBD＝∠EDB＝36°

∴△BED为等腰三角形

∵三角形内角和为180°

∴∠BDC＝72°＝∠C

∴BC＝BD

∴△BCD为等腰三角形

∵ED∥BC

∴∠AED＝∠ABC＝72°，∠ADE＝∠C＝72°

∴∠AED＝∠ADE

∴△AED是等腰三角形

∵EF平分∠AED

∴∠AEF＝∠DEF＝36°

∴∠A＝∠AEF

∴△AEF是等腰三角形

∵三角形内角和为180°

∴∠EFD＝72°

∴∠EFD＝∠ADE

∴△DEF是等腰三角形

∵∠A＝∠ABD＝36°

∴AD＝BD

∴△ABD是等腰三角形

∴图中共有△ABC、△BED、△BCD、△AED、△AEF、△DEF、△ABD，7个等腰三角形

8.解：

∵AP＝PQ＝QA

∴△APQ为等边三角形

∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°

∵BP＝AP

∴∠B＝∠BAP

∵∠APQ是△ABP外角

∴∠APQ＝∠B＋∠BAP

∴∠BAP＝30°

同理，∠CAQ＝30°

∴∠BAC的度数为120度

9.证明：

延长AE交BC于F

∵CE平分∠ACB

∴∠1＝∠2

∵CE⊥AE

∴∠3＝∠4＝90°

在△EAC中，∠1＋∠4＋∠5＝180°

∴∠5＝90°－∠1

同理，∠6＝90°－∠2

∴∠5＝∠6

∵∠5＋∠7＝180°

∴∠6＋∠7＝180°

∵BFC是直线

∴∠6＋∠8＝180°

∴∠7＝∠8

∴DE∥BC

10.解：

∵AM＝AN，∴∠1＝∠2

∵CP＝CN，∴∠3＝∠4

在△AMN中，∠1＋∠2＋∠A＝180°

同理，

∵ANC为直线

∴∠MNP的度数为40度

11.证明：

∵CM平分∠ACB

∴∠BCM＝∠ACM

∵CM∥AD

∴∠BCM＝∠D，∠ACM＝∠CAD

∴∠D＝∠CAD

∴AC＝CD

∵AN＝ND，∴CN⊥AD

∵CM∥AD，∴CN⊥CM

12.作法：

（1）作A点关于直线l的对称点A’；

（2）连结BA’交l于P。

∴△PAB周长最小

证明：

在直线l上任取一点Q，连结QB、QA、QA’

∵l是对称轴，A、A’为对称点

∴PA＝PA’，QA＝QA’

在△A’QB中，

∵Q是任意一点

∴△PAB周长最小

【励志故事】

认知生命中的“沉香”

有一位富翁，垂垂老矣。

他把儿子叫到跟前，向儿子讲述了自己如何白手起家的故事，希望儿子也能奋发图强，靠自己的努力打出一番天下来。

　　儿子听了很感动，决定独自一人去寻找宝物。

他跋山涉水历尽艰辛，最后在热带雨林找到一种树木，这种树能散放一种无比的香气，放在水里不是像别的树一样浮在水面，而是沉到水底。

他心想这一定是价值连城的宝物！

就满怀信心地把香木运到市场去卖，可是却无人问津，为此他深感苦恼。

当看到隔壁摊位上的木炭总是很快就能卖光时，他一开始还能坚守自己的判断，但时间最终让他改变了自己的想法，他决定将香木变成木炭来卖。

第二天，他果然就把香木烧成木炭，结果很快被一抢而空，这个结果令他十分高兴，就迫不及待地跑回家告诉他的父亲，但父亲听了他的话，却不由得老泪纵横。

原来，青年烧成木炭的香木，正是这个世界上最珍贵的树木——沉香，只要切下一块磨成粉屑，价值就超过了一车的木炭。

（待续）