大学概率论与数理统计必过复习及试题解析绝对好用.docx
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大学概率论与数理统计必过复习及试题解析绝对好用
《概率论与数理统计》复习提要
1．事件的关系2．运算规则
3．概率满足的三条公理及性质：
（可以取）
（7）（8）
条件概率
（1）
若为完备事件组，
（4）Bayes公式：
性：
独立（注意独立性的应用）
布1．离散随机变量：
取有限或可列个值，
任意，2
率密度函数，满足
（1）
（2）
（3）对任意，，具有以下性质
（1）
4），特别；（5）对离散随机变量，为连续函数，且在连续点上，以记标准正态分布的分布函数，则有
件，有
（6），若，则，
5．几何概率6．
法公式：
第一章随机事件与概率
（1）
（2）（3）（4）
1）
（2）（3）对互不相容的事
（4）（5）4．古典概型：
基本事件有限且等可能定义：
，则有
7
若，则
（3）全概率公式：
．事件的独立第二章随机变量与概率分满足
（1），
（2）（3）对．连续随机变量：
具有概
2）乘
4．分布函数续；
（6）概率计算若，则
；
（2）
单调非降；（3）右连
数，则6．
相加；
数，
1．
（3），2
5．正态分布的
1）；
（2）；（3）；（4）以记标准正态分布的上侧分位
随机变量的函数
（1）离散时，求的值，将相同的概率
（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导
，若不单调，先求分布函数，再求导。
第三章随机向量
维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有
（1）；（2
维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有3）；，
4．二维正态分布有
（1）关于单调非降；
（2）关（5）；（6）对
．随机变量的独立性独立
（1）（3）二维正态分布独立，且的密度
（2）最大最小分布
（1）离散时
（2）连续
（1）；
（2）（4）
3．二维均匀分布，其中为的面积且；5．二维随机向量的分布函数于右连续；（3）；二维连续随机向量，离散时独立
（2）
7．随机变量的函数分布
（4），，；
6
连续时独立
（1）
第四章随机变量的数字特征时
和的分布
1．期望
（3）二维时7）独立时，3）；
（1）；；
称不相关，独立不相关，反之不成立，4．相关系数；有，
大数定律与中心极限定理
3．
中心极限定理
或
（4）；
（1）方差，标准差
（2）；3．协方差
（3）
2．方差
4）独立时，
；
（2）（3）；（4）时，
但正态时等价；（5）
5．阶原点矩，阶中心矩第五章．Chebyshev不等式2．大数定律1）设随机变量独立同分布，
，或
或，
（2）设是次独立重复试验中
发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六
章样本及抽样分布1．总体、样本
（1）简单随机样本：
即独立同分
布于总体的分布（注意样本分布的求法）；
（2）样本数字特征：
样本均值（，）；样本阶原点矩，何未知数3
（1）分布则；布，其中布
（1）；（2
且与独立；（4）
第七章参数估计1．矩估计：
令总体的矩等于样本的矩；（
（1）写出极大似然函数；（
）样本标准
样本方差
2．统计量：
样本的函数且不包含任．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）标准正态分布，若且独立，
，其中且独立；（3）分
4．正态总体的抽样分；（3，（5）（6）
（1）根据参数个数求总体的矩；
（2）解方程求出矩估计2．极大似然估计：
样本阶中心矩
，其中分布
性质
3）
2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到
（1）直接求最大值，一般为min或max）3．估计量的评选原则，则为无偏；
（2）有效性：
两个无偏估计中方差小的有效；
（1）无偏性：
若《概率论与数理统计》期末试题
（2）与解答
（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为生的概率为2．设随机变量服从泊松分布，且，则
一、填空题
0.3，且，
3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_
5．设总体的概率密度为的样本，则未知参数的极大似然估计量为
密度为
解：
1．
是来自
即
所以
2．
解得，故
为，密度为则
另解
，故
4．
由
．设的分布函数为的分布函数因为，所以，即故在上函数严格单调，反函数为所以
5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为
1．设为三个事件，且相互独（A）若，则与也独立.（B）若，则
与也独立.与也独立（D）若，则与也独立.
、单项选择题（每小题3分，共15分）立，则以下结论中不正确的是
（C）若，则
（
（B）（C）.（D）.
）2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.
（）（A）与独立.
设离散型随机变量和的若独立，则的值为
3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是
B）（C）.（D）.（）4．
联合概率分布为
（A
（D）正确的是估计量.
（）
2.所以
有
9
估计，应选（
（A）..（）（C）
5.设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中
（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然
（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.
解：
1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件（C）都是正确的，只能选（可见A与C不独立
B）.4
2
.，所以
独立，所以（A）,（B）,
事实上由图
.由不相关的等价条件知应选（
应选（A）.
故应选（A）5
三、（7分）已知一批产品中
A）.
D）
90%0.05
X1是的无偏，一个次
品被误认为是合格品的概率为0.02，求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：
设‘任取一产品，经检验认为是合格品’‘任取一产品确
是合格品’则
（1）
（2）.
四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3件是相互独立的，并且
概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期
望和方差.解：
的概率分布为
即
五、（10分）设二维随机变量在区域
率密度；
（2）的分布函数与概率密
（2）利用公式
时
的分布函数为
匀分布.求
（1）关于的边缘概
（1）的概率密度为其中
当或时
的分布函数为
故的概率密度为
或利用
分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标互独立，且均服从分布.求
（1）命中环形区域的概率；
（2）命中点到目标中心距离
1）
和纵坐标
度（单位：
差-
（1）
0.05）.
.七、（11分）设某机器生产的零件长
cm），今抽取容量为16样本，测得样本均值，样本方
求的置信度为0.95区间；
（2）检验假设（显著性水平为
（附注）
解：
（1）的置信度为
下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，的拒绝域为，
《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答
10.2132）
（2）
因为，所以接受
一、填空题（每小题
3分，共15分）
（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与
互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为
（2）甲盒中
有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为
变量的概率密度为现对数，则
若，
（注：
,,所以，故一颜色的'，
）
同理
5）解：
3）设随机察，用表示观察值不大于0.5的次
4）设二维离散型随机变量的分布列为设是总体的样本，是样本方差，若，
（1）因为
匚=f
得
即
分）
所以
4）的分布为
四个球都是白球'，
所求概率为
（3）
与不相容，与不相容，
（2）设‘四个球是同‘四个球都是黑球'
这是因为
故
、单项选择题（每小题
A）
，亦即
（1）设、、为三个事件，且，则有
C）（D）
（2）设随机变量的概率密度为
A）（B）
由
（5）
3分，共15
（B）
且，则在下列各组数中应取设随机变量与相互独立，其概率分布分别为））
（）
（C）
D）
则有
（C）
则等于
（5）设
（3）（D）（A）
B）
（A）
4）对任意随机变量，
（D）
为正态总体的一个样本，为的置信区间为）（D）
（2）故当（4）应选D.件，三等品2件）的任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
设‘从箱中任取2件都是一等品'则
（应选C.时
应选
表示样本均值，则的
（B）解
（1）由知，故
（B）若存在，（）置信度
C）
（A）
即
应选
（3）
因为方差已知，所以的置信区间为
三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中
应选
四、（10分）设随机变量的概率密度为
数；
（2）的分布函数；（3）
（2）的分布函数为
3）
求
（1）边缘概率密度；
五、
（2）；
2）
解：
丢失等号'
所求概率为
求
（1）常
解：
（1）•••
12分）设的概率密度为
（3）的概率密度
时六、（10分）
（1）设，且与独立，求；求.
；
（2）因相互独立，所以
2）设且与独立，
七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总
体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计解:
先求矩估计再求极大似然估计
《概率论与数理统、填空题（每小题3分，共15分）
（2）设服从泊松分布，若，则今对进行8独立观测，以表
4）的指数分布，由5个这
正常工作100小时以上的概率为
故的矩估计为所以的极大似然估计为计》期末试题（4）与解答
（1）设,,，则至少发生一个的概率为（3）设随机变量的概率密度函数为示观测值大于1的观测次数，则种元件串联而组成的系统，能够
（5）
16
解：
设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量
，.在置信度0.95下，的置信区间为
（2）故.
（3），其（4）设第件元
（5）的置信度下的置信区间.系统的寿命为，二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答
）中，每小题3分，共15分）（A）（B）
D）.
是某一随机变（B）.
设随机变量的分布（A）
（且满足，
中.
件的寿命为，则求概率为
为
所以的置信区间为（）.
案是对的，请将其代号填入（
（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是
（C）..
（）
（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使量的分布函数，在下列给定的各组数值
（C）.（D）.（
函数为，则的分布函数为（B）.
（4）设随机变量的概率分布为.系数为
（）
夫不等式有
（）
（A）.
（C）
B）
（3）
D）.
中应取
C）.
相互独立，根据切比（5）设随机变量
（A）0.
解:
B.
（1）（A）:
成立，（B）:
（2）.
）
则的相关
（D）.
雪
（D）.应选（B）应选应选（D）
应选（A）
（4）的分布
为
，所以，
5）
于是
由切比雪夫不等式
应选（D）
参数为的泊松分布，而进入客购买商品是相互独立的，解：
四、
参
生
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从
超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾
求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。
设‘一天中恰有个顾客购买种商品'‘一天中有个顾客
进入超市'则
（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求
（1）的分布列.
所以由直线及曲线与是否独立.
和.
由故的分布列为上服从均匀分布，2）求.
度为
解：
区域D的面积所围成的区域1）因，所以不独立.
解：
（1），其中
得
2），.五、（10分）设在
（1）求边缘密度和，并说明的概率密
六、（8
求的概
（3）.
分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，
率密度。
设的概率密度为，则
当或时当时所以的密度为
解2：
分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为分）已知分子运动的速度具有概率密度随机样本
（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；
证所求得的矩估计是否为的无偏估计。
再求极大似然估计
得的极大似然估计
（2）对矩估计
是的无偏估计所以矩估计八、（5分）一工人负责台同
样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距
离为（米）。
假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若
表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求
解：
设从左到右的顺序将机床编号为为已经修完的机器编号，表示
将要去修的机床号码，则于是《概率论与数理统计》试题（5）题共15分。
正确打“"”，错误打“X”）件,必有P（A-B）=P（A）-P（B）机事件，则AUB=AJABUBb（k;n,p）,则EX=p
值=
（）
当时
七、（9为的简单
（2）验
解：
（1）先求矩估计
⑸X〜N（,）,Y
判断题（每小题3分，本
设AB是Q中的随机事
⑵设A、B是Q中的随
⑶若X服从二项分布⑷样本均是母体均值EX的一致估计
N（,），则X－Y〜N（0,）
、计算（10分）
（1）教室里有个学生，求他
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在三、（10分）设，证明、互不相容与、立
（）二们的生日都不相同的概率;
同一个月的概率
四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩绩（即参数之值）
为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至
84分之间的概率。
分布表如下
2.5
0.9940.999问是否独立？
布列为分）设总体服从指数分布本，题
解
x011.52
①（X）0.50.8410.9330.977
五、（15分）设的概率密度为
六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分，求与
求参数的极大似然估计
5）评分标准一
（1）设‘他们的生日都不相同'，则
5
（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月'，
;或
分
八
⑴X;
（2）㈡⑶
七、（15试利用样《概率论与数理统计》试X;⑷V;
⑸X。
10
容，则，于是所以、不相互独立.
5分即、不是互不相容的.---5分3分
7
四解
三证
若、互不相
若、相互独立，
则，于是，
15
分所求概率为
1）-1=2X0.841-1=0.682
五解
边际密度为
---5分
--8分
10
15
其中
分因为
分，所以
由函数的幂级数展开有因为分
独立.
六
解1
所
所以
12
20七解8
由极大似然估计的定义，的极大似然估计为
15分《概率论与数理统计》试题
16分
一、判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“V”，错误打“X”）⑴设AB是Q
⑵对任意事件A与B,则有P（AUB）=P（A）+P（B）
（）⑶若X服从二项分布b（k;n,p）,则EX=npq
中的随机事件，则A-BA
（⑷X〜N（,2）,X1,X2,,,Xn是X的样本，贝U〜
N（,2）（）（5）X为随机变量，则DX=Cov（X,X）------
（）二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
.三、（15分）在平面上画出等距离的针，求针与任一平行线相交的概率
四、（15分）从学校到火车站的途中有3相互独立的，五、（15分）设二维随机变量的相关系数；六、（10分）若随机变量序，设为途中遇到红灯的次满足条件试证明服从大数定律
并且概率都是分布函数和数学期望
（,）在圆域x2+y2wa2上服从均匀分布，
（1）求和
（2）问是否独立？
列
数，
七、
求随机变量的分布律、
10分）设
是来自总体的一个样本，是个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。
分）某种零件的尺寸标准差为（T=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺
寸数据（毫米）：
=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下x01.561.96
2.33①（X）0.50.9410.9750.990.999
《概率论与数理统计》试题（6）评分标准一⑴V;⑵X；⑶
X；⑷X；⑸Vo二解设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，
‘任取一枚硬币是正品'，则所求概率
八、（10
Vo
5
分
分
.10
行线相交'，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，为针与平行线的夹角，
的一个区域.
发生，分
到最近的一条平行线的距离。
贝，不等式确定了平面上
6
不等式确定的子域
分
10
故
15
四解
即
5
有所不同
，分布律为
分的分布函数为
10分
15
五．
解的密度为
三解设‘针与某平设为针的中点
2）关于的边缘密度为
数.
关于的边缘密度的
1）
故
的相关系
分
因为，所以不独
立.15
晓夫不等式，对任意的有
5分
分六证：
由契贝所以对任意的故服从大数定律。
10
七证由契贝晓夫不等式，对任意的有5
即依概率收敛于，故是的相合估计。
于是
件下检验假设：
5
应认为是
题1
（A+B）=_
----10
=26
分1u1=1.08
26毫米。
15分
、设AB为随机事件，且（A）=0.5,_2，则此射手的命中率
分八解问题是在已知的条
查正态分布表，1=1.96——
V应当接受，即这批零件的平均尺寸
15
数理统计练习
（B）=0.6，（B
3
量服从［0，2］上均匀分布，则。
服从参数为的泊松（）分布，且已知=1,则
率为，进行100次独立重复试验，当时
（,）服从二维正态分布，则的边缘分布为。
（）=
（,期望，方差，、为常数，则有
2,4），〜（3,9），且与相互独立。
设=估计量，若，贝y称比有效。
（）=_-
3
一、填空A）=0.8，贝y、设随机变、设随机变量一次试验的成功
O6、
、已知随机向量
8、随机变量的数学
两个
（）=0.4,（）=03（U）=0.6,
{1}=，贝叫1}=O分布，且=3-2则（）=分布，=2+1，则（）=是：
，且
布的结论，有计练习一、填空题1
（BA）=0.8，则（A+B）=
■O
2—+5,
10、
9、若随机变量〜（—则〜。
的
1、设、为随机事件，且O2、设（2,）,（3,），且
、设随机变量服从参数为2的泊松4、设随机变量服从［0,2］上的均匀O5、设随机变量的概率密度
，则=O6、利用正态分
O数理统
、设AB为随机事件，且（A）=0.5,（B）=0.6,0.7O2，则此射手的命中率。
4、设随5、一次试大值为
3、设随机变量服从［0,2］上均匀分布，贝y1/3O
机变量服从参数为的泊松（）分布，且已知=1,则—1O
验的成功率为，进行100次独立重复试验，当1/2时
25O6、（，）服从二维正态分布，则的边缘分布为
7、已知随机向量（，（）=O
机变量的数学期望，方差，、为常数，则==O9
量〜（一2,4）,
25）O
O
8、随、若随机变
（3,9），且与相互独立。
设=2—+5,则〜N（-2,的两个无偏估计量，若，则称比有效。
10、1、设、
U）=0.6，贝y（）=_0.3_O2、设（2,）,3、设随机变量服从参数为
O4、设随机变量服从［0,2］上的均匀分O5、设随机变量的概率密度
10、
为随机事件，且（）=0.4,（）=0.3,（
（3,），且{1}=，贝叫1}=O
2的泊松分布，且=3-2则（）=4
布，=2+1，则（）=4/3
是：
，且，则=0.6。
6、利用正态分布的结
论，有1。
7、若随机
变量〜（1,4），〜（2,9），且与相互独立。
设=—+3,则〜。
1、
设A,B为随机事件，且（A）=0.7,（A—B）=0.3，贝U。
2、
四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译
3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6,
。
4、已知随机变量服从［0,2］
5、设随机变量X服从参数为，已知
、随机变量8、已知总
2
出的概率是。
那么恰好中靶3次的概率是上的均匀分布，则（）=的泊松分布，
①（0.5）=0.6915,的概率密度函数
体〜（0,1）
且，则=
①（1.5）=0.9332
（）=0.4
O
。
6、设随机变量〜（1,4）
，则。
7
，则（）=。
来自总体i
B为随机事件，且（A）=0.6,（AB）=（）,
，则
、设随机变量服从以，为参数的二项分布，且则=。
4、设随机变
，则=。
5、设随机变量
，则Y=。
6、设随机变
（,）
疋来
，设1,2，,，
，1、设A，
。
2、设随机变量与
。
3
=15，=10，
量
的数学期望和方差
量服从区间［0,5］上的均匀分布，服从的指数分布，且，相互独立，则
的联合密度函数。
7、随机变量与相
升级会员 