中考数学分式与分式方程试题解析汇编.docx

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中考数学分式与分式方程试题解析汇编

2014年中考数学分式与分式方程试题解析汇编

分式与分式方程

一、选择题

1.（2014•广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（）

A．x≠1B．x=1C．x≠﹣1D．x=﹣1

考点：

分式有意义的条件．

分析：

根据分式有意义的条件：

分母不等于0，即可求解．

解答：

解：

根据题意得：

x﹣1≠0，

解得：

x≠1．

故选A．

点评：

本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．

2.（2014•广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：

在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）

A．2B．1C．6D．10

考点：

分式的混合运算；完全平方公式．

专题：

计算题．

分析：

根据题意求出所求式子的最小值即可．

解答：

解：

得到x＞0，得到=x+≥2=6，

则原式的最小值为6．

故选C

点评：

此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．

3．（2014•温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）

A．x≠2B．x≠﹣1C．x=2D．x=﹣1

考点：

分式有意义的条件．

分析：

根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．

解答：

解：

由题意得，x﹣2≠0，

解得x≠2．

故选A．

点评：

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

4.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）

A．0B．1C．﹣1D．±1

考点：

分式的值为零的条件．

专题：

计算题．

分析：

分式的值是0的条件是：

分子为0，分母不为0，由此条件解出x．

解答：

解：

由x2﹣1=0，得x=±1．

当x=1时，x﹣1=0，故x=1不合题意；

当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，所以x=﹣1时分式的值为0．

故选C．

点评：

分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．

5.（2014•孝感，第6题3分）分式方程的解为（）

A．x=﹣B．x=C．x=D．

考点：

解分式方程

专题：

计算题．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

3x=2，

解得：

x=，

经检验x=是分式方程的解．

故选B

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

6．（2014•浙江金华，第5题4分）在式子中，x可以取2和3的是【】

A．B．C．D．

【答案】C．

【解析】

试题分析：

根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，在式子，

7.（2014•湘潭，第4题，3分）分式方程的解为（）

A．1B．2C．3D．4

考点：

解分式方程．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

5x=3x+6，

移项合并得：

2x=6，

解得：

x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

故选C．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

8.（2014•呼和浩特，第8题3分）下列运算正确的是（）

A．•=B．=a3

C．（+）2÷（﹣）=D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）6

考点：

分式的混合运算；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．

分析：

分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可．

解答：

解：

A、原式=3•=3，故本选项错误；

B、原式=|a|3，故本选项错误；

C、原式=÷

=•

=，故本选项正确；

D、原式=﹣a9÷a3=﹣a6，故本选项错误．

故选C．

点评：

本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键

9.（2014•德州，第11题3分）分式方程﹣1=的解是（）

A．x=1B．x=﹣1+C．x=2D．无解

考点：

解分式方程．

专题：

计算题．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，

去括号得：

x2+2x﹣x2﹣x+2=3，

解得：

x=1，

经检验x=1是增根，分式方程无解．

故选D．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

二.填空题

1.（2014•安徽省,第13题5分）方程=3的解是x=6．

考点：

解分式方程．

专题：

计算题．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

4x﹣12=3x﹣6，

解得：

x=6，

经检验x=6是分式方程的解．

故答案为：

6．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

2.（2014•福建泉州，第10题4分）计算：

+=1．

考点：

分式的加减法

分析：

根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．

解答：

解：

原式==1，

故答案为：

1．

点评：

本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．

3.（2014•云南昆明，第13题3分）要使分式有意义，则的取值范围是.

考点：

分式有意义的条件．

分析：

根据分式有意义的条件可以求出的取值范围．

解答：

解：

由分式有意义的条件得：

故填．

点评：

本题考查了分式有意义的条件：

分母不为0.

4．（2014•浙江金华，第12题4分）分式方程的解是▲．

【答案】.

【解析】

5．（2014•浙江宁波，第14题4分）方程=的根x=﹣1．

考点：

解分式方程

专题：

计算题．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

x=﹣1，

经检验x=﹣1是分式方程的解．

故答案为：

﹣1．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

6.（2014•益阳，第10题，4分）分式方程=的解为x=﹣9．

考点：

解分式方程．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

4x=3x﹣9，

解得：

x=﹣9，

经检验x=﹣9是分式方程的解．

故答案为：

x=﹣9．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

7.（2014•泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于﹣3．

考点：

分式的化简求值．

分析：

将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab，原式化为=，约分即可．

解答：

解：

∵a2+3ab+b2=0，

∴a2+b2=﹣3ab，

∴原式===﹣3．

故答案为﹣3．

点评：

本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键．

8．（2014年山东泰安，第21题4分）化简（1+）÷的结果为．

分析：

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．

解：

原式=•=•=x﹣1．故答案为：

x﹣1

点评：

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三.解答题

1.（2014•广东，第18题6分）先化简，再求值：

（+）•（x2﹣1），其中x=．

考点：

分式的化简求值．

分析：

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

解答：

解：

原式=•（x2﹣1）

=2x+2+x﹣1

=3x+1，

当x=时，原式=．

点评：

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

2.（2014•广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．

（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．

（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？

考点：

分式方程的应用．

分析：

（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；

（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．

解答：

解：

（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：

=9%，

解得：

x=1200，

经检验：

x=1200是原方程的解．

答：

这款空调每台的进价为1200元；

（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：

100×1200×9%=10800元．

点评：

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．

3.（2014•珠海，第13题6分）化简：

（a2+3a）÷．

考点：

分式的混合运算．

专题：

计算题．

分析：

原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．

解答：

解：

原式=a（a+3）÷

=a（a+3）×

=a．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.（2014•广西贺州，第19题

（2）4分）

（2）先化简，再求值：

（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．

考点：

分式的化简求值.

专题：

计算题．

分析：

原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=ab（a+1）•=ab，

当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.（2014•广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．

考点：

分式方程的应用．

分析：

设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：

马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．

解答：

解：

设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得

=+10，

解得x=80．

经检验，x=80是原方程的根．

答：

马小虎的速度是80米/分．

点评：

本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

6.（2014•广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：

﹣，其中x=﹣1．

考点：

分式的化简求值．

专题：

计算题．

分析：

原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=﹣==，

当x=﹣1时，原式==．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（2014年四川资阳，第17题7分）先化简，再求值：

（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0．

考点：

分式的化简求值．

专题：

计算题．

分析：

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=÷

=•

=，

当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．（2014•新疆，第17题8分）解分式方程：

+=1．

考点：

解分式方程．

分析：

根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．

解答：

解：

方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得

3+x（x+3）=x2﹣9

3+x2+3x=x2﹣9

解得x=﹣4

检验：

把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，

∴x=﹣4是原分式方程的解．

点评：

本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．

9．（2014年云南省，第15题5分）化简求值：

•（），其中x=．

考点：

分式的化简求值．

专题：

计算题．

分析：

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=•=x+1，

当x=时，原式=．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．（2014年云南省，第20题6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

考点：

分式方程的应用．

分析：

设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：

，第二批进的数量是：

，再根据等量关系：

第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．

解答：

解：

设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

2×=

解得x=30

经检验，x=30是原方程的根．

答：

第一批盒装花每盒的进价是30元．

点评：

本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．

11．（2014•舟山，第18题6分）解方程：

=1．

考点：

解分式方程

专题：

计算题．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，

去括号得：

x2﹣x﹣4=x2﹣1，

解得：

x=﹣3，

经检验x=﹣3是分式方程的解．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

12.（2014年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

分析：

（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；

（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．

解：

（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：

﹣=4，

解得：

x=50经检验x=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），

答：

甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；

（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：

0.4x+×0.25≤8，解得：

x≥10，

答：

至少应安排甲队工作10天．

点评：

此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．

13.（2014•毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：

（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．

考点：

分式的化简求值；解一元二次方程－因式分解法

分析：

先把原分式进行化简，再求a2+a﹣2=0的解，代入求值即可．

解答：

解：

解a2+a﹣2=0得a1=1，a2=﹣2，

∵a﹣1≠0，

∴a≠1，

∴a=﹣2，

∴原式=÷

=•

=，

∴原式===﹣．

点评：

本题考查了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内容要熟练掌握．

14.（2014•武汉，第17题6分）解方程：

=．

考点：

解分式方程

专题：

计算题．

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

2x=3x﹣6，

解得：

x=6，

经检验x=6是分式方程的解．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

15.（2014•襄阳，第13题3分）计算：

÷=．

考点：

分式的乘除法

专题：

计算题．

分析：

原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

解答：

解：

原式=•=．

故答案为：

点评：

此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.（2014•襄阳，第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？

考点：

分式方程的应用

专题：

应用题．

分析：

设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：

动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．

解答：

解：

设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，

由题意，得：

=，

解得：

x=90，

经检验得：

x=90是这个分式方程的解．

x+54=144．

答：

设特快列车的平均速度为90km/h，则动车的速度为144km/h．

点评：

本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：

动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．

17.（2014•邵阳，第20题8分）先化简，再求值：

（﹣）•（x﹣1），其中x=2．

考点：

分式的化简求值

专题：

计算题．

分析：

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=•（x﹣1）=，

当x=2时，原式=．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（2014•四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．

（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？

（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？

考点：

分式方程的应用；一元一次不等式的应用

专题：

应用题．

分析：

（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；

（2）根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解．

解答：

解：

（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，x

由题意，得：

20（+）+20×=1，

解得：

x=80，

经检验得：

x=80是原方程的根．

答：

王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．

（2）设李老师要工作y分钟，

由题意，得：

（1﹣）÷≤30，

解得：

y≥25．

答：

李老师至少要工作25分钟．

点评：

本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．

19.（2014•云南昆明，第17题5分）先化简，再求值：

，其中.

考点：

分式的化简求值。

分析：

根据分式的加法、乘法、分解因式等运算，求出结果代入求出即可．

解答：

解：

原式=

=

=

当时，

原式=．

点评：

本题考查了分式的化简求值的应用，主要考查学生的化简能力.

20.（2014•湘潭，第18题）先化简，在求值：

（+）÷，其中x=2．

考点：

分式的化简求值．

分析：

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

解答：

解：

原式=+]•=•=，

当x=2时，原式==．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21.（2014•益阳，第16题，8分）先化简，再求值：

（+2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x=．

考点：

分式的化简求值．

分析：

原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2，

当x=时，原式=3﹣2=1．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22.（2014•株洲，第18题，4分）先化简，再求值：

•﹣3（x﹣1），其中x=2．

考点：

分式的化简求值．

分析：

原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=•﹣3x+3

=2x+2﹣3x+3

=5﹣x，

当x=2时，原式=5﹣2=3．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23.（2014年江苏南京，第18题）先化简，再求值：

﹣，其中a=1．

考点：

分式的化简求值

分析：

原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

解答：

原式=﹣==﹣，

当a=1时，原式=﹣．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24.（2014•泰州，第18题，8分）先化简，再求值：

（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．

考点：

分式的化简求值．

分析：

原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=•﹣=•﹣=x﹣=，

∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，

则原式=1．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

25.（2014•扬州，第19题，8分）

（1）计算：

（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2sin30°；

（2）化简：

﹣÷．

考点：

实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

专题：

计算题．

分析：

（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

解答：

解：

（1）原式=1+4﹣1=4；

（2）原式=﹣•=﹣=．

点评：

此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26.（2014•扬州，第24题，10分）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？

考点：

分式方程的应用．

分析：

设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．

解答：

解：

设原来每天制作x件，根据题意得：

﹣=10，

解得：

x=16，

经检验x=16是原方程的解，

答：

原来每天制作16件．

点评：

此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题的等量关系是原来用的时间﹣现在用的时间