福建省闽侯第一中学届高三上学期开学考试数学文试题Word版含答案.docx
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福建省闽侯第一中学届高三上学期开学考试数学文试题Word版含答案
2018届高三第一学期开学考试
数学（文科）试卷
（共4页；完卷时间120分钟；满分150分）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．设集合
，集合
，则
=（）
A．
B．
C．
D．R
2.已知复数
满足
，若
的虚部为1，则
（）．
A．2B．
C．
D．
3.若
，且
，则
的值为（）
A．
B．
C．1D．
4.下列有关命题的说法正确的是（）
A.命题“若
则
”的逆否命题为真命题.
B.“
”是“
”的必要不充分条件．
C.命题“
使得
”的否定是:
“
均有
”.
D.命题“若
则
”的否命题为:
“若
则
”.
5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：
有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ）
A．6B．7C．8D．9
6.记
，则A,B,C的大小关系是（）
A．
B．
C．
D.
7.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）
A.10B.9C.8D.7
8.函数f（x）＝｜x｜＋
（其中a∈R）的图象不可能是
9.函数
，的图象与
的图象的对称轴相同，则
的一个增区间为（）
A．
B．
C．
D．
10.已知数列
满足
，
，若
，
则数列
的前40项的和为（）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数
若存在唯一的正整数
，使得
，则实数
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
12．已知f（x）为定义在
上的可导函数,且
恒成立,则不等式
的解集为（）．
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13.已知向量
满足
，若向量
的夹角为
，则
_____.
14.已知
，设函数
的图象在点（1，
）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
15.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：
，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为______________
16.已知直线
：
与圆
：
交于不同的两点
、
，
，数列
满足：
，
，则数列
的通项公式为________.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知
是公差为3的等差数列，数列
满足
，.
（I）求
的通项公式；
（II）求
的前n项和.
18．（本小题满分12分）
在
中，角
所对的边分别为
，且
，
是
的中点，且
，
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）求△ABC的最短边的边长。
19．（本小题满分12分）
在
中，角
的对边分别为
，且
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若
的外接圆直径为1，求
的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列
中，
成等比数列，且
，等比数列
满足
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
.
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=ln
+ax﹣1（a≠0）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：
g（x1）＜0．
22.（本小题满分10分）选修4—4：
极坐标与参数方程
已知直线l：
ρsin（θ＋
）＝
m，曲线C：
（Ⅰ）当m＝3时，判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）若曲线C上存在到直线l的距离等于
的点，求实数m的范围．
2018届高三第一学期开学考试
数学（文科）试卷参考答案
1.D2.C3.D4.A5.D6.B7.A8.C9.B10.D11.A12.C
13.
14.115.13416.
17.（I）由已知，
得
得
，所以数列
是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为
.
（II）由（I）和
，得
，因此
是首项为1，公比为
的等比数列.记
的前
项和为
，则
18.（Ⅰ）
，
∴
即
.
由
得
，
，∴
，
则
，得
∴
（Ⅱ）根据余弦定理得
，
且
，
∴
，∴
.
解得
，∴
.
∴
的最短边的边长
.
19.解（Ⅰ）由题得
所以
即
得
所以
或
（不成立）
即
所以
（Ⅱ）由
，设
，所以
因为
故
由
得
所以
故
20.
21.（I）解：
f（x）=ln
+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞）
∴f′（x）=
．
a＞0时，令f′（x）=0，得x=
，0＜x＜
，f′（x）＜0，x＞
，f′（x）＞0，
∴函数的单调减区间是（0，
），单调增区间是（
，+∞）；
a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减；
（Ⅱ）证明：
已知g（x）+xf（x）=﹣x，则g（x）=xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1，
∵函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
∴g′（x）在定义域上有两个零点x1，x2（x1＜x2），
∴x1，x2是lnx﹣2ax+1=0的两个根，
∴lnx1﹣2ax1+1=0，
∴g（x1）=
，
∵g′（x）=lnx﹣2ax+1，
∴g″（x）=
．
a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点；
a＞0时，令g″（x）=0得x=
，0＜x＜
，g″（x）＞0，x＞
，g″（x）＜0，
∴g′（x）max=g′（
）=ln
=﹣ln2a＞0，
∴0＜a＜
且0＜x1＜
＜x2，
∵g（x1）=
，抛物线开口向上，对称轴为x=
，
∴g（x1）＜0．
22.（Ⅰ）当
时，直线
：
，展开可得：
，
化为直角坐标方程：
，
曲线C：
，
利用平方关系化为：
．
圆心
到直线
的距离
因此直线
与曲线
相切．
（Ⅱ）∵曲线
上存在到直线
的距离等于
的点，
∴圆心
到直线
的距离
解得
．∴实数
的范围是
.
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