新课标A版数学必修二模块综合测评模块综合测评一.docx
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新课标A版数学必修二模块综合测评模块综合测评一
模块综合测评
（一） 必修2（A版）
（时间：
90分钟 满分：
120分）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，共50分．
1．过点（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0
解析：
设所求直线方程为－2x－y＋m＝0，则－2×（－1）－3＋m＝0，所以m＝1，即－2x－y＋1＝0，故直线方程为2x＋y－1＝0.
答案：
B
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.B．3π
C.D．6π
解析：
显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.
答案：
B
3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．20πB．25π
C．50πD．200π
解析：
设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R＝，所以S球＝4πR2＝50π.
答案：
C
4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A，B，C，则
A．OA⊥ABB．AB⊥AC
C．AC⊥BCD．OB⊥OC
解析：
|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.
答案：
C
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：
A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．
答案：
D
6．若P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为
A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝0
解析：
设圆心为C（1,0），则AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
答案：
A
7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝＝，故∠ADE＝60°.
答案：
C
8．过点M（－2,4）作圆C：
（x－2）2＋（y－1）2＝25的切线l，且直线l1：
ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是
A.B.
C.D.
解析：
因为点M（－2,4）在圆C上，所以切线l的方程为（－2－2）（x－2）＋（4－1）（y－1）＝25，即4x－3y＋20＝0.
因为直线l与直线l1平行，所以－＝，即a＝－4，所以直线l1的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直线l1与直线l间的距离为＝.
答案：
D
9．当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：
令a＝0，a＝1，得方程组
解得所以C（－1,2）．
则圆C的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：
C
10．设P（x，y）是圆x2＋（y＋4）2＝4上任意一点，则的最小值为
A.＋2B.－2
C．5D．6
解析：
如图，设A（1,1），＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r＝－2.
答案：
B
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．
11．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为__________．
解析：
由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2.
∴S△ABC＝BC·AO＝×2×2＝2.
答案：
2
12．经过点P（1,2）的直线，且使A（2,3），B（0，－5）到它的距离相等的直线方程为__________．
解析：
x＝1显然符合条件；当A（2,3），B（0，－5）在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，
∵kAB＝4，∴y－2＝4（x－1），
即4x－y－2＝0.
答案：
4x－y－2＝0或x＝1
13．与x轴相切并和圆x2＋y2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．
解析：
设M（x，y）为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝，化简得x2＝2|y|＋1.
答案：
x2＝2|y|＋1
14．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：
x－y＋4＝0与直线l2：
x＋3y＝0都对称，则D＝__________，E＝__________.
解析：
由题设知直线l1，l2的交点为已知圆的圆心．
由得
所以－＝－3，D＝6，－＝1，E＝－2.
答案：
6 －2
三、解答题：
本大题共4小题，满分50分．
15．（12分）直线l经过点P（2，－5），且到点A（3，－2）和B（－1,6）的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
解：
∵直线l过P（2，－5），
∴可设直线l的方程为y＋5＝k·（x－2），
即kx－y－2k－5＝0.（2分）
∴A（3，－2）到直线l的距离为
d1＝＝.
B（－1,6）到直线l的距离为
d2＝＝.
（6分）
∵d1∶d2＝1∶2，
∴＝.
化简得k2＋18k＋17＝0.（10分）
解得k1＝－1，k2＝－17.
∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.（12分）
16．（12分）如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．
（1）求证：
平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求点E到平面PBC的距离．
解：
（1）证明：
如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，
∴OE∥PC.（2分）
又PC⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又OE⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.（4分）
（2）∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，
∴OE∥面PBC，
∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．
过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC∩面ABCD＝BC，
∴OG⊥面PBC，即线段OG的长度为点O到平面PBC的距离．（8分）
在菱形ABCD中，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD为正三角形，且BC＝a，由余弦定理可得AC＝a，
∴OB＝，OC＝a.（10分）
在Rt△BOC中，OG·BC＝OB·OC，
即OG·a＝·a，
∴OG＝a.
即E到平面PBC的距离为a.（12分）
17．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
解：
方法一：
设圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝10.
因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a. ①
（4分）
解方程组
得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦长公式得·＝4，
化简得（a－b）2＝4. ②（8分）
解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4，或a＝－2，b＝－4.（10分）
故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－4）2＝10，或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.（12分）
方法二：
设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10，则圆心为（a，b），半径r＝，圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离d＝.（4分）
由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋2＝r2，即＋8＝10，
所以（a－b）2＝4.（8分）
又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4，或a＝－2，b＝－4.
（10分）
故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－4）2＝10，或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.（12分）
18．（14分）如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.
（1）证明：
OE∥平面AB1C1；
（2）求异面直线AB1与A1C所成的角；
（3）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．
解：
（1）证明：
∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，
∴OE∥AC1，
又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，
∴OE∥平面AB1C1.（4分）
（2）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，
又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝O，
∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1.
又∵AA1＝AC，
∴四边形A1C1CA为菱形，
∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，
∴A1C⊥平面AB1C1，
∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°.（9分）
（3）设点C1到平面AA1B1的距离为d，
∵VA－A1B1C1＝VC1－AA1B1，即
··A1C1·B1C1·AO＝·S△AA1B1·d.
又∵在△AA1B1中，A1B1＝AB1＝2，
∴S△AA1B1＝.
∴d＝，
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.
（14分）
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