（2）{（x，y）|x<0，且y>0}．
（3）{x|x＝3n＋1，n∈N}．（4）{（x，y）|y＝x2＋2x，x>0且y>0}．
变式训练3：
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）集合0∈{x|x>1}．（ ）
（2）集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．（ ）
（3）集合{（1,2）}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．（ ）
（4）集合{x|y＝x2＋1}={y|y＝x2＋1}．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）×（4）×
2．用列举法表示下列集合：
（1）{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
（2）{（x，y）|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
（3）{方程组
的解}；
（4）
．
答案：
（1）{2,5,6}
（2）{（0,6），（1,5），（2,2）}．
（3）{（4，－2）}（4）{0,2,3,4,5}
考点四集合表示方法的综合应用
【例4】1．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
答案：
{1,3}
2．若集合{1，a＋b，a}＝{0，
，b}，则a＝____，b＝_____.
答案：
a＝－1，b＝0
3．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求集合A及实数k的值.
答案：
（1）当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，此时集合A＝{2}，满足题意；
（2）当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只集合A＝{2}，有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上，当k＝0时，集合A＝{2}；当k＝1时，集合A＝{2}，．
变式训练4：
1．若集合A＝{x|x2＋mx＋n＝0}＝{2}，则m＝－4，n＝4.
2．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：
当a＝0时，A＝
，满足题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－
.
故所求的a的取值范围是a≤－
或a＝0.
课后学业分层测评（限时：
40分钟）
[学业达标]
1．下列对象能构成集合的是（ ）
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；
②所有的钝角三角形；
③2020年诺贝尔经济学奖得主；
④大于等于0的整数；
⑤我校所有聪明的学生．
A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④
答案：
D
2．下列说法正确的是（ ）
A．0∉NB．
∈QC．π∉R D．
∈Z
答案：
D
3．如果A＝{x|x>－1}，那么（ ）
A．－2∈AB．1∉AC．－3∈AD．0∈A
答案：
D
4．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为（ ）
A．{x＝1，x＝2}B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0}D．{1,2}
答案：
D
5．下列集合的表示方法正确的是（ ）
A．第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
答案：
D
6．用列举法表示集合
=.
答案：
{（2,3）}
7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.
答案：
{－3,1}
8．若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________.
答案：
{a|a≤2}
9．若－3∈{a－3，2a－1，a2＋1}，求实数a的值.
解：
∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，
∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，
解得a＝0，或a＝－1，
当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性；
当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性；
∴a＝0或－1.
10．用适当的方法表示下列集合：
（1）二元方程x2＋y2＝0的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；
（3）全体整数；
（4）二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
解：
（1）{（0，0）}．
（2）{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1000}．
（3）Z；
（4）{（x，y）|y＝x2－10}．
[能力提升]
11．若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝（ ）
A．1B．2C．0D．0或1
答案：
D
12．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，C＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．11D．12
答案：
C
13．将集合B＝{x∈Z|
∈N}用列举法表示为__________.
答案：
{－1，0,1,4}
14．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A=B，则实数a＝________.
答案：
1
15．设集合A=R，且满足：
若a∈A，则
∈A（a≠1）．求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
【证明】
（1）若a∈A，则
∈A.
又∵2∈A，∴
＝－1∈A.
∵－1∈A，∴
＝
∈A.
∵
∈A，∴
＝2∈A.
∴A中还有另外两个元素为－1，
.
（2）若A为单元素集，则a＝
，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠
，∴集合A不可能是单元素集．
§1.2集合间的基本关系
※知识要点
教材整理1 子集与真子集
1．子集：
（1）定义：
一般的，对于两个集合A，B，如果对任意x∈A，都有x∈B，则称集合A为集合B的子集，记作：
A⊆B或B⊇A，读作：
A包含于B或B包含A；
（2）图示：
如图1Venn图所示，则集合A、B的关系是A⊆B.
或
2．真子集图1图2
（1）定义：
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作：
A
B或BA，读作：
A真包含于B或B真包含A；
（2）图示：
如图2Venn图所示，则集合A、B的关系是A
B.
注意：
A
B首先要满足A⊆B，其次要满足A≠B.
教材整理2 空集
1．定义：
不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø.
2．规定：
空集是任何集合的子集；
注意：
空集是任何非空集合的真子集．
教材整理3 子集的性质与结论
（1）性质：
①Ø⊆A，A⊆A；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
③若A⊆B，B⊆A，则A＝B.
（2）结论：
若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
※题型讲练
考点一集合之间关系的判断
（一）
【例1】1．下列各式中，正确的个数是（ ）
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③Ø⊆{0,1,2}；
④Ø＝{0}；⑤{0,1}＝{（0,1）}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2C．3D．4
2．设集合A＝{（x，y）|x＋y＝2，x∈N*，y∈N}．
（1）写出集合A的所有的子集；
（2）用适当的符号填空：
0A，ØA，（0,2）A，{（0,2）}A．
解：
（1）集合A＝{（1,1），（2,0）}．
所以A的子集有：
Ø，{（1,1）}，{（2,0）}，{（1,1），（2,0）}．
（2）∉
∈
变式训练1：
1．下列关系中正确的个数为（ ）
①0∈{0}；②Ø⊆{0}；③{0,1}⊆{（0,1）}；④{（a，b）}＝{（b，a）}．
A．1B．2C．3D．4
答案：
B
2．用Venn图表示下列集合之间的关系：
A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，
C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
答案：
考点二集合之间关系的判断
（二）
【例2】1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）0⊆{x|x<5，x∈N}．（ ）
（2）设A是一个集合，则A
A.（ ）
（3）若集合A中有3个元素，则集合A共有7个真子集．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√
2．判断下列集合之间的关系：
（1）A＝{x∈N|2x－1<4}，B＝{x|x2－x=0}；
（2）A＝{x|y＝
}，B＝{y|y＝
}；
（3）A＝{a,b,c}，B＝{x|x⊆A}；
（4）A＝{x|x=
n，n∈Z}，B＝{x|x=
+n，n∈Z}．
答案：
（1）B
A．
（2）A
B．（3）A∈B；（4）B
A．
变式训练2：
1．下列四个集合中，没有真子集的是（ ）
A．{0}B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}
答案：
B
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k＋3，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是（ ）
A．A⊆BB．A⊇BC．A
BD．B
A
答案：
D
考点三集合子集的个数计算
【例3】1．已知集合A＝{x|0≤x＜4，x∈N}，则集合A的子集共有个，其中含有元素0的子集共有个．
答案：
16 8
2．写出满足条件Ø
M⊆{0,1,2}的所有集合M．
解：
M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}
变式训练3：
1．若A＝{x∈N|x＝－m2＋6，m∈N}，则集合A的真子集的个数是________.
答案：
7
2．满足{1,2,3,4}⊆M
{x∈N|x－5<4}的集合M有个.
答案：
31
3．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}恰好有两个子集，则实数
a＝________.
答案：
4
考点四集合间基本关系的综合应用
【例4】1．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}
答案：
D
2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值是________．
答案：
0或2
3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，集合B＝{x|2m－1答案：
∵B⊆A，
（1）当B＝Ø时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
（2）当B≠Ø时，有
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
变式训练4：
1．设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.
答案：
0或－2
2．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的取值是________．
答案：
0或±1
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，集合B＝{x|x2＋x＋a＝0}．
（1）若Ø
B，求实数a的取值范围．
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：
（1）∵Ø
B，∴B≠Ø，∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤
（2）由题意得：
A＝{－3,2}．
∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：
①若B＝Ø，即方程无解，Δ＝1－4a＜0，∴a＞
②若B＝{－3}或B＝{2}．
∴Δ＝1－4a=0，∴a=
③若B＝{－3，2}．
∴a=－6
综上，a=－6或a≥
课后学业分层测评（限时：
40分钟）
[学业达标]
1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有（ ）
A．1∉AB．0⊆AC．Ø⊆AD．{0}⊆A
答案：
C
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是（ ）
A．B．C．D．
答案：
B
3．已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝（ ）
A．2B．－1C．2或－1D．4
答案：
C
4．已知集合M＝{x|－
，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为（ ）
A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－π，x∈N}
答案：
D
5．已知集合M＝{x|x=
＋
，k∈Z}，N＝{x|x=k＋
，k∈Z}，则集合M与N之间最适合的关系（ ）
A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M
N
答案：
C
6．已知集合A＝{x|a＋1答案：
a≤1
7．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.
答案：
1
8．已知集合A＝{x∈R|x<－1或x≥2}，B＝{x|2x－a≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是___________．
答案：
a<－3
9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.
解：
由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．
∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：
①若B＝Ø，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
②若B≠Ø，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A⊇B，求m的取值范围．
解：
化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．
（1）∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254（个）．
（2）①当m≤－2时，B＝Ø⊆A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要B⊆A，
则只要
⇒－1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
[能力提升]
11．已知Ø
{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是______．
答案：
a≤
12．已知集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x⊆A}，请用列举法表示集合B＝_____________.
答案：
{Ø，{0}，{1}，{0,1}}
13．设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝
，则集合A，B的关系是________．
答案：
B
A
14．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，
S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
答案：
S⊆P＝M.
15．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：
A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
∵B⊆A，
∴B＝Ø或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
（1）当B＝Ø时，
方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实根，
则Δ<0，即4（a＋1）2－4（a2－1）<0.
∴a<－1.
（2）当B＝{0}时，
有
∴a＝－1.
（3）当B＝{－4}时，有
无解．
（4）当B＝{0，－4}时，由韦达定理得a＝1.
综上所述，a＝1或a≤－1.
§
1.3.1集合的基本运算：
并集与交集
※知识要点
教材整理1 并集
1．并集的定义
（1）自然语言：
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作：
A∪B；
（2）符号语言：
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
（3）图形语言：
2．并集的性质
（1）A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪Ø＝A，A⊆A∪B；
（2）A∪B＝A⇔B⊆A.
教材整理2 交集
1．交集的定义
（1）自然语言：
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的交集，记作：
A∩B；
（2）符号语言：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
（3）图形语言：
2．交集的性质
（1）A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩Ø＝Ø，A∩B⊆A.
（2）A∩B＝A⇔A⊆B.
※题型讲练
考点一求并集运算
【例1】1．若M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝（ ）
A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}
答案：
D
2．已知P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝（ ）
A．{x|－1≤x<3}B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}
答案：
C
变式训练1：
1．已知集合P＝{x|－1A．{x|－1C．{x|－1答案：
A
2．已知集合A＝{1,3,4,7}，集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：
6
3．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，则
A∪B=．
答案：
{x|x≥－3}
考点二求交集运算
【例2】1．已知A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝（ ）
A．{3}B．{5}
C．{3,5}D．{1,2,3,4,5,7}
答案：
C
2．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝_______.
答案：
{1,2}
变式训练2：
1．若A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝（ ）
A．{x|－3≤x≤5}B．{x|－2≤x＜4}
C．{x|－2≤x≤5}D．{x|－3≤x＜4}
答案：
B
2．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝________.
答案：
{－1}
3．已知集合A＝{（x,y）|y＝x＋2}，集合B＝{（x,y）|y＝x2}，则集合A∩B=．
答案：
{（2，4）,（－
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