大学数学建模竞赛.docx

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大学数学建模竞赛

***大学第五届“新生杯”数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了第五届新生杯数学建模竞赛参赛规则

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权武汉理工大学校数学建模协会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/中选择一项填写）：

B

我们的参赛报名号为：

B015

参赛队员：

1.***

2.***

3.***

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）

日期：

2017年11月20日

（请勿改动此页内容和格式。

此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意纸质版与电子版论文中不得出现此页。

以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）

武汉理工大学第五届“新生杯”数学建模竞赛

编号专用页

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评

阅

人

评

分

备

注

全校统一编号：

全校评阅编号：

（请勿改动此页内容和格式。

此编号专用页仅供评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。

注意纸质档与电子版论文中不得出现此页。

）

关于旅游最优线路规划问题的数学模型

摘要

基于更好地发展武汉旅游文化的目的，本课题研究的问题是如何在武汉市内增设一条旅游专线，既能方便游客的出行，又能增强武汉市内各旅游景点之间的联系。

对于问题一中设计最优环形路线方案的问题，使用线性规划的方法，首先忽略了现实生活中路线弯折的问题，建立了以求出最短环形路线为目标的数学模型。

在此模型的基础上，使用了Lingo软件和CAD辅助绘图软件，求得最短环形路线的具体路径和距离。

具体路径是：

1→7→4→2→3→6→10→13→14→8→9→5→11→12→1，其总里程数是50.74公里。

（用题中所给标号代替各景点，下文遵循同一原则）

对于问题二中短途运输车辆安排方案的问题，基于图论中避圈法的理论，建立了以求出最优短途运输车辆安排方案为目标的数学模型。

该模型的思想是以贪婪算法构建最小生成树，通过Lingo编程实现了该思想，求得了最优方案。

最优方案是：

在9与5，5与11，11与8，11与12，12与10，10与13，13与14，12与1，1与4，4与7，4与2，2与6，2与3之间设立短途运输车辆，在此方案下短途运输车辆数和总里程数同时达到最优，其距离为36.01公里。

对于问题三中应急中心的选址问题，为了简化问题，依据景点的分布特征，人为地将景点划分为三个部分，这三个部分分别对应一个应急中心。

应用线性规划建立以求出最优地址为目标的数学模型。

使用了Lingo和CAD软件，求出了三个应急中心的最优地址。

第一部分为1，5，8，9，11，12，其对应的应急中心的位置距1为3.26公里，距5为1.40公里，距8为1.38公里，距9为2.88公里，距11为0.61公里，距12为1.92公里；第二部分为10，13，14，其对应的应急中心的位置距10为2.33公里，距13为1.38公里,距14为3.13公里；第三部分为2，3，4，6，7，其对应的应急中心的位置距2为1.01公里，距3为3.82公里，距4为2.59公里，距6为3.81公里，距7为3.29公里.（其具体位置见图5-9）

关键词：

线性规划Lingo软件CAD绘图软件避圈法贪婪算法

最小生成树

一、问题重述3

二、问题分析4

三、模型假设5

四、符号说明5

五、模型的建立与求解5

5.1问题一5

5.2问题二9

5.3问题三11

六、模型的结构分析与检验14

七、模型的评价与改进方向15

7.1模型的优点15

7.2模型的缺点15

7.3模型的改进方向15

八、参考文献15

九、附录16

一、问题重述

为了更好地发展武汉旅游文化，现决定在武汉市内增设一条旅游专线，增强武汉旅游景点之间的联系，方便游客的出行。

现在组织上把这个任务交个你，请建立数学模型，帮助解决以下问题。

（1）根据初步拟定的武汉景点名单（见附件），请设计一条环状线，尽可能地减小班车行驶的总里程数。

（2）为了调配各个景点之间的物资，现决定在景点间增设短途运输车辆，每一辆短途运输都只能在规定的两个景点间来回行驶。

为了便于管理，同时减少运输车辆的运营成本，请给你设计一个短途运输车辆安排方案，在保证任意两个景点间可以经过多次运输交换物资的情况下，使得运输车辆总的行驶里程数最小。

（3）为了防止班车出现故障时无人处理，总公司决定在武汉市内设置三个应急中心。

应急中心在接收到班车故障消息后会派出专业人员前往班车所在地点进行维修处理。

请给出每个应急中心的位置，降低公司对于班车故障的响应时间。

附件一：

1．黄鹤楼

2．东湖风景区

3．磨山景区

4．湖北省博物馆

5．归元寺

6．欢乐谷

7．武汉大学

8．汉正街

9．武汉动物园

10．汉口江滩

11．古琴台

12．武昌江滩

13．解放公园

14．武汉博物馆

（具体位置可参考XX地图）

二、问题分析

2.1背景分析

武汉是“中国优秀旅游城市”，每年举办武汉国际旅游节。

市内遍布有名胜古迹339处，革命纪念地103处，全国重点文物保护单位13处，5A级旅游景区3家，4A级景区15家。

武汉自然风光独特，四季气候分明，拥有其他大都市罕有的166个湖泊和众多山峦；武汉的人文景观具有浓郁的楚文化特色。

为了充分开发武汉的旅游资源，促进旅游业的发展，需要通过规划最优旅游线路来方便游客并降低成本。

利用最优短途车辆运输方案，可以达到以最低成本，最短时间使所有景点间的物资得以流通的目的，使管理者能更高效的分配各景点的资源。

为保证班车出现故障时能得到及时处理，降低安全隐患，将应急中心设在最优地址便能很好的达到这一效果。

2.2问题分析

问题一中提到的在所有旅游景点只经过一次并且道路之间不能交叉的前提下，设计一条最优环形路线方案的问题。

其实质就相当于我们要找到一条能一次性穿过所有景点的路径最短的环形路线。

可以理解为求不重复的同向小路径的总和，最后筛选出路径总和最短的那个即可，为此我们选择采用简洁高效的线性规划模型，构建符合条件的Hamilton圈（例图如右所示），进而得到最短路径方案。

Hamilton圈

问题二是为了寻求一个最优短途车辆运输方案，条件是短途运输车辆的运营成本尽可能少，运输车辆总的行驶里程数最小，为了满足这两个条件，于是我们的目标就是要寻求一个能直接或间接地将十四个景点中任意两个景点连接起来地路径总和最短的路线树枝，并且树枝中不存在环。

就是构建最小生成树模型（例图如右所示）。

最小生成树

问题三是应急中心选址问题，最终目标是在班车出现故障时有人去处理的前提下降低公司对于班车故障的响应时间，鉴于此题景点的位置分布情况，初步分析为局部最优问题（例图如右），那么就可以将景点先区域化，然后区域性地优化，从而达成目标，简而言之就是分别让三个分区域内的景点到对应应急中心的距离和最小，最后统计这三个应急中心位置即为所求方案。

三、模型假设

1、忽略现实生活中的路线弯折现象，假设两个景点间可以修建径直路线；

2、假设车辆运行时不受地形影响；

3、假设交通状况不影响路线的制定；

4、假设司机在驾驶车辆途中不会发生其他情况；

5、假设应急中心自身不会出现问题；

6、忽略因自然原因及人为等因素造成的交通堵塞的可能；

四、符号说明

符号

符号解释

D

i、j景点间的距离

Level

访问过的景点

Ui/Uj

约束变量

X

0-1矩阵

i、j

景点序号

U

访问过的景点

五、模型的建立与求解

5.1问题一

5.1.1模型的建立

根据题设要求可知，方案实施后要考虑旅游线路必须是环状的，无子圈，无交叉，同时满足里程最小要求。

我们先把各旅游景点从地图上按照相对位置不变的原则抽象成独立的点，其中点的名称为景点对应的编号，然后用CAD测量出这些点之间按一定比例尺缩小后的虚拟距离，再在线性规划求最优解思想的指导下，列出相应的数学表达式，并通过Lingo编写程序进行运算得出最优解，最后将得出的最小里程数的虚拟数据按原比例尺还原成现实生活中的实际距离。

5.1.2数据的预处理

运用计算机软件的知识，将实际景点分布图转化为简明的平面点集，如下图所示：

图5-1简化后得到的平面点集

再依据该平面点集用CAD测量出各个点之间的虚拟距离，如下图所示：

图5-2虚拟距离表（单位：

mm）

5.1.3问题一的模型建立

模型一：

我们采用线性规划的方法求解

设景点之间距离用矩阵

来表示，

表示景点

与景点

之间的距离。

设0--1矩阵

用来表示经过的各景点之间的路线。

设：

若景点

不到景点

；

若景点i到景点j，且i在j前

考虑每个景点后只有一个景点，则：

考虑每个景点前只有一个景点，则：

；

但仅以上约束条件不能避免在一次遍历中产生多于一个互不连通回路。

为此我们引入额外变量

，附加以下充分约束条件：

；

该约束的解释：

如

与

不会构成回路，若构成回路，有：

，

，则：

，

，从而有：

，导致矛盾。

如

，

与

不会构成回路，若构成回路，有：

，

，

则：

，

，

从而有：

，导致矛盾。

其它情况以此类推。

于是我们可以得到如下的Lingo代码：

（见附录一）

5.1.4模型的求解:

模型一:

运用Lingo软件进行编程运行结果如下:

图5-3Lingo运行结果分析图

具体路径：

1→7→4→2→3→6→10→13→14→8→9→5→11→12→1

按原比例尺还原后得到实际最小里程数：

50.74公里

其具体路径平面图形式如下图所示：

图5-4分析得到的最优环状路径图

5.2问题二

5.2.1模型的建立

根据题设要求可知，方案的实施必须满足两个要求，一是车辆数最少；二是总里程数最小。

简言之就是求一个线路方案，能直接或间接地沟通十四个景点中任意两个景点。

为了使车辆数最少，则路线不能成环，为了使总里程数最小，则短途运输车辆起点对应的终点必为距离该起点最近的景点，抽象为数学模型即求最小生成树模型。

在prim算法的思想指导下，用Lingo软件编写程序进行运算得出最优解。

5.2.2数据的预处理

各景点间的虚拟距离参照图5-2

5.2.3问题二的模型的建立

模型二：

结合图论知识中prim算法构建最小生成树模型。

即依次找当前加入最小生成树的景点的周围最近景点，倘若发现互为最近点，则转换视角，找距离最小生成树最近的新的点，直到最小生成树触及到每一个景点为止。

即完成

最小生成树的构建。

于是我们可以得到如下的Lingo运算代码：

（见附录二）

5.2.4模型的求解：

模型二:

运用Lingo软件进行编程运行结果如图所示:

图5-5Lingo运行程序结果分析图

具体短途运输车辆方案：

在9与5，5与11，11与8，11与12，12与10，10与13，13与14，12与1，1与4，4与7，4与2，2与6，2与3之间设立短

途运输车辆，在此方案下短途运输车辆数和总里程数同时达到最优，其距离为36.01公里。

其具体路径平面图形式如下图所示：

图5-6分析得到的最小生成树模型

5.3问题三

5.3.1模型的建立

根据题设的要求知，方案的实施必须满足一个要求，即每一个应急中心到其对应部分各景点的距离之和最小，为了简化问题，同时结合各景点的地理位置分布情况，我们将十四个景点分为三个部分，每个部分对应一个应急中心。

再在线性规划求最优解思想的指导下，列出相应的数学表达式，并通过Lingo编写程序进行运算得出最优解。

5.3.2数据的预处理

各景点间的虚拟距离参照图5-2，应急中心到景点的距离通过同样的比例尺缩小为虚拟距离。

各景点的虚拟坐标如下图所示：

图5-7各景点的虚拟坐标

5.3.3问题三的模型的建立

模型三：

在线性规划求最优解思想的指导下，我们依次将单独的一个部分作为研究对象并将其抽象为简明的数学模型：

已知平面上n个点Pi（xi,yi）（i=1,2……，n）,各点Pi的“权重”为Wi，试确定一点P（x,y）,使它到已知n个点的加权距离最小。

数学表达式如下所示：

minC（x,y）=min

于是我们可以得到如下的Lingo代码：

（见附录三）

5.3.4模型的求解

模型三:

运用Lingo软件进行编程运行结果如下:

图5-8

（1）Lingo运行程序结果分析图组一

分析结果知在平面点集中第一部分（1，5，8，9，11，12）选取对应应急中心点的虚拟坐标为（2927，1196），并依据缩小比例还原为实际距离得出如下实际数据：

第一部分对应的应急中心的位置距1为3.26公里，距5为1.40公里，距8为1.38公里，距9为2.88公里，距11为0.61公里，距12为1.92公里。

图5-8

（2）Lingo运行程序结果分析图组二

分析结果知在平面点集中第二部分（10，13，14）选取对应应急中心点的虚拟坐标为（3359，2553），并依据缩小比例还原为实际距离得出如下实际数据：

第二部分对应的应急中心的位置距10为2.33公里，距13为1.38公里,距14为3.13公里；

图5-8（3）Lingo运行程序结果分析图组三

分析结果知在平面点集中第三部分（2,3,4,6,7）选取对应应急中心点的虚拟坐标为（5756，1479）,并依据缩小比例还原为实际距离得出如下实际数据：

第三部分对应的应急中心的位置距2为1.01公里，距3为3.82公里，距4为2.59公里，距6为3.81公里，距7为3.29公里。

整合Lingo运行得到得数据并结合CAD绘图软件得到三个应急中心得最优地址如下图所示:

图5-9整合虚拟数据得到的三个应急中心同景点相对位置图

六、模型的结构分析与检验

针对问题一，我们建立了线性归化模型，将求最短环形路径问题转化为计算同向不重复路径求和最小值的问题，期间为了防止路径成环，我们专门设立Ui变量对最终结果进行约束，进而求得符合题目要求的最优解。

其他解均因不符合要求而被舍掉。

针对问题二，我们用构建最小生成树模型的方法来解决问题，结合prim算法的思想用Lingo进行编程运算，得出短途车辆运输的最优线路解。

经检验知其他方案均不是最短路线方案。

针对问题三，我们巧妙的依据景点的分布特点，将其划分为三个区域，分属三个应急中心的响应范围，由此将整体最优问题转化为局部最优问题，再借助于Lingo软件进而快速求解。

经检验得知由于特殊分布的原因，该局部最优能促成整体最优，而其他选址方案均不能满足最优要求。

七、模型的评价与改进方向

7.1模型的优点：

模型一：

1、求出的最优解切合实际。

2、将实际景点抽象成平面点集，大大减少了思维量，使对对象进行数学处理变得容易，过程结果也都更加直观。

3、充分利用计算机进行复杂的计算和绘图，可以快速的得到准确结果。

模型二：

1、采用的prim算法构建生成最小树模型，与题目的对应性十分好，为问题二的解法提供了有力的理论依据。

2、操作简便，只用一个程序便可直接求出最优解，无需大量的人工处理。

3、求出的最优解切合实际。

模型三：

1、将一个难题分解为三个较简单的小题，降低了难度。

2、通用性强，类似的选址问题皆可参考此模型。

3、充分利用计算机进行复杂的计算和绘图，提高了效率。

7.2模型的缺点：

模型一：

1、处理数据时需要大量的人工处理，费时费力。

2、得到的数据需经历多次放缩，步骤繁多。

模型二：

1、程序编写难度较大。

2、难以用数学表达式来表达该模型。

模型三：

1、需对三个部分各求解一次，过程繁复。

2、所得最优解在实际生活中不一定适用。

7.3模型的改进方向：

模型一：

简化步骤，减少人工处理的比重，提高效率。

模型二：

进一步优化程序，以更多的数学理论做依据。

模型三：

将更多的实际情况纳入模型的考量范围，使最优解更切合实际。

八、参考文献

【1】姜启源、叶俊、谢金星，数学建模高等教育出版社2011年1月第4版

【2】胡运权、郭耀煌，运筹学教程清华大学出版社1998ISBN7-302-02922-9

【3】运筹学——数据模型决策科学出版社徐玖平胡知能2006年3月第一版

【4】戴宗瑞.TSP问题在物流配送车辆运行路线中的应用分析【J】软件导刊，2101，11（6）：

93-95.

【5】谢金星，薛毅，优化建模与Lindo/Lingo软件【M】，北京：

清华大学出版社,2005.

九、附录

附录一：

!

TSPquesion;

MODEL:

SETS:

city/1..14/:

u;link（city,city）:

d,x;

ENDSETS

DATA:

d=020802957146610892750149110501466118795051417162092

20800112568731167839512870349519212883232022343230

29571125015084043129814973876442230273853330033594347

146668715080254214593692371292216442346179320882966

1089311640432542037222580520380164632782219791748

2750783129814593722017323404409223043456290224573508

149195114973692580173202481295519072424189623803205

1050287038762371520340424810771120022158414741273

14663495442229223804092295577101963647119022381833

118719213027164416462304190712001963013279115491329

950288338532346327345624242216471327056316531493

514232033001793822290218965841190911563013671590

1716223433592088197924572380147422385491653136701054

20923230434729661748350832051273183313291493159010540;

ENDDATA

MIN=@SUM（link:

d*x）;

@for（city（j）:

@sum（city（i）|j#ne#i:

x（i,j））=1）;!

³ÇÊÐjÇ°ÓÐÒ»¸ö³ÇÊÐÏàÁ¬;

@for（city（i）:

@sum（city（j）|j#ne#i:

x（i,j））=1）;!

³ÇÊÐiºóÇ°ÓÐÒ»¸ö³ÇÊÐÏàÁ¬;

@for（link（i,j）|i#NE#j#and#i#gt#1:

u（i）-u（j）+14*x（i,j）<=13）;

@FOR（link:

@BIN（x））;

END

附录二：

model:

sets:

cities/1..14/:

level;

link（cities,cities）:

distance,x;

endsets

data:

distance=020802957146610892750149110501466118795051417162092

20800112568731167839512870349519212883232022343230

29571125015084043129814973876442230273853330033594347

146668715080254214593692371292216442346179320882966

1089311640432542037222580520380164632782219791748

2750783129814593722017323404409223043456290224573508

149195114973692580173202481295519072424189623803205

1050287038762371520340424810771120022158414741273

14663495442229223804092295577101963647119022381833

118719213027164416462304190712001963013279115491329

950288338532346327345624242216471327056316531493

514232033001793822290218965841190911563013671590

1716223433592088197924572380147422385491653136701054

209232304347296617483508320512731833132