最小生成树的两种构造方法.docx
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最小生成树的两种构造方法
离散数学大作业
---最小生成树
姓名：
陈强
学号：
辅导老师：
李阳阳
一、最小生成树的概念：
给定一个连通图，要求构造具有最小代价的生成树时，也即使生成树各边的权值总和达到最小。
把生成树各边的权值总和定义为生成树的权，那么具有最小权值的生成树就构成了连通图的最小生成树，最小生成树可简记为MST。
二、构造无向连通图的最小生成树的方法：
1.Prim（普里姆）算法
算法:
假设G（V,E）是有n个顶点的无向连通图，用T（U,TE）表示要构造的最小生成树，其中U为顶点集合，TE为边的集合。
（1）初始化：
令V={
},TE={
}。
从V中取一个顶点u0放入生成树的顶点集U中，作为第一个顶点，此时T=（{u0}，{
}）；
（2）从
的边（u,v）中找一条代价最小的边
，将其放入TE中，并将
放入U中。
（3）重复步骤
（2），直至U=V为止。
此时TE集合中必有n-1条边，T即为所要构造的最小生成树。
特殊处理：
如果两个顶点之间没有直接相连的边，权值置为一个max的数
自身和自身的权值置为MAX的值
代码：
function[T]=Prim（i,G_dist）
%Prim.m实现了普里姆的方法生成无向连通图G的最小生成树
%T是返回的最小生成树
%i为输入的为最小生成树选定的第一个顶点
%G_dist是待输入的数据，是图G边（u,v）的权值矩阵
[m,n]=size（G_dist）;%读入无向图的顶点数目为m=n
v=i;%将选定的顶点放入中间变量v中
T=zeros（3,m-1）;%最小生成树有（m-1）条边。
第一行存放边的起点，第二行存放边的终点，第三行存放边的权值
%%
%初始化最小生成树的矩阵
forj=1:
m-1
T（1,j）=v;%将第一个顶点放入最小生成树的矩阵中
ifj>=v
T（2,j）=j+1;
T（3,j）=G_dist（v,j+1）;
else
T（2,j）=j;
T（3,j）=G_dist（v,j）;
end
end
%%
%求第k条边
fork=1:
（n-1）
min=10000;%初始化一个最小的权值
%找出最短边，并将最短变的下标记录在mid中
forj=k:
（n-1）
ifT（3,j）min=T（3,j）;
mid=j;
end
end
e=T（:
mid）;T（:
mid）=T（:
k）;T（:
k）=e;%将最短的边所在的一列和第k列交换
v=T（2,k）;%v中存放新找到的最短边在V-U中的顶点
forj=（k+1）:
（n-1）%修改所存储的最小边集
d=G_dist（v,T（2,j））;
ifdT（3,j）=d;T（1,j）=v;
end
end
end
DG=sparse（T（1,:
）,T（2,:
）,T（3,:
）,m,m）;%用稀疏矩阵
view（biograph（DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'））;%画图
调用函数
G=[10000,10,3,10000,10000,10000;10,10000,5,8,6,10000;3,5,10000,10000,2,10000;10000,8,10000,10000,7,11;10000,6,2,7,10000,17;10000,10000,10000,11,17,10000;];
%G表示图G的各边权值，自身到自身的权值和不直接相连的顶点的权值设为10000
i=1;
T1=[1,2,1,3,2,2,4,4,5;3,3,2,5,5,4,5,6,6;3,5,10,2,6,8,7,11,17;0,0,0,0,0,0,0,0,0];
%T1表示图G的边的信息，第一行是边的起始点，第二行是边的终点，第三行是边的权重，第四行表示对边的选择
T=T1（1:
3,:
）;
DG=sparse（T1（1,:
）,T1（2,:
）,T1（3,:
）,m,m）;%用稀疏矩阵
view（biograph（DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'））;%画图
Prim（i,G）;
结果：
图G：
Prim生成的最小生成树：
2.Kruskal（克鲁斯卡尔）算法
算法：
假设G（V,E）是有n个顶点的无向连通图。
（1）初始化：
设置最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无任何边的非连通图T（V,{
}）。
（2）依次选择E中的最小代价边，若该代价边依附于T中两个不同的连通分量，则将该边加入TE中。
否则，舍去此边而选择下一条代价最小的边。
（3）重复步骤
（2）直到所有顶点都在同意连通分量上为止。
这时T就是G的一棵最小生成树。
代码：
function[T]=Kruscal（T1,e,m）
%Kruscal.m实现了克鲁斯克尔的方法生成无向连通图G的最小生成树
%T是返回的最小生成树
%T1是图G的边信息
%e表示的是图G中的边的数目
%m是图G的顶点数目
%%
%初始化存放顶点连通信息的矩阵GG
GG=zeros（1,m）;
fori=1:
m
GG（i）=i;
end
%%
j=0;
%直到选够（m-1）条边即可结束程序
%whilejfori=1:
e
ifT1（4,i）==0
k=T1（1,i）;l=T1（2,i）;T1（4,i）=1;%更新最小代价值，将改变标记为已经选择过的边
end
ifGG（k）==GG（l）
T1（4,i）=2;%标记为2的边为舍去的边
else
j=j+1;
%将最短边的两个顶点并入同一分量
L=GG（l）;
fort=1:
m
ifGG（t）==L;
GG（t）=GG（k）;
end
end
end
ifj>=m-1
break;
end
end
fori=1:
e
ifT1（4,i）==2||T1（4,i）==0
T1（:
i）=[0;0;0;0];
end
end
T1=T1（:
any（T1））;
T=T1（1:
3,:
）;
DG=sparse（T1（1,:
）,T1（2,:
）,T1（3,:
）,m,m）;%用稀疏矩阵
view（biograph（DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'））;%画图
调用函数
e=9;%图G的边的数目
m=6;%图G的顶点数目
T1=[1,2,1,3,2,2,4,4,5;3,3,2,5,5,4,5,6,6;3,5,10,2,6,8,7,11,17;0,0,0,0,0,0,0,0,0];
%T1表示图G的边的信息，第一行是边的起始点，第二行是边的终点，第三行是边的权重，第四行表示对边的选择
T=T1（1:
3,:
）;
DG=sparse（T1（1,:
）,T1（2,:
）,T1（3,:
）,m,m）;%用稀疏矩阵
view（biograph（DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'））;%画图
T1=T1';
T1=sortrows（T1,3）;%将T1的转置按照权值生序排列
T1=T1';%转置回来
Kruscal（T1,e,m）;
结果：
图G：
Kruscal最小生成树：
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