中考真题二次函数综合压轴题60题.docx
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中考真题二次函数综合压轴题60题
2013年中考二次函数综合题
2关于直线x1对称，与坐标轴交于A、B、C
1、（2013潍坊）如图，抛物线yaxbxc
三点，且AB4,点
3
D在抛物线上，直线是一次函数ykx2k0的图象，点O
2，
2
是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两
点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y
轴对称？
若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
2、（2013绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于
A、B两点，其中A（-1，0），直线l：
x=m（m＞1）与x轴交于D。
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
y
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、
D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形
相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第
一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰
直角三角形？
如果存在，请求出点Q的坐标；如果不
存在，请说明理由。
xAB
OD
C
l
3、（2013昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点
C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两
点，直线AC交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平
行四边形？
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4、（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）
y
两点．
（1）写出这个二次函数的对称轴；
3
2
1
-2
Ox
-1123
-1
（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，
它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，
当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。
5、（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线
y
1
2
2
xbxc（b,c为常数）的顶
点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4,3），直角顶点B
在第四象限。
（1）如图，若该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式；
（2）平
（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.
i）若点M在直线AC下方，且为平移前
（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q三点
为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；
ii）取BC的中点N,连接NP,BQ。
试探究
PQ
NPBQ
是否存在最大值？
若存在，求
出该最大值；所不存在，请说明理由。
6、（2013山西）综合与探究：
如图,抛物线
13
2
y=x-x-4与x轴交于A,B两点（点B在
42
点A的右侧）与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x
轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C的坐标。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。
试探究m为何值时，
四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直
接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
7、（2013内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，
将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与
8、（2013新疆）如图，已知抛物线y=ax
抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在
（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？
若存在，求出点
D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是
（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大
面积及E点的坐标．
2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，
9、（2013凉山州）如图，抛物线y=ax
0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交
CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表
示PM的长；
（3）在
（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得
以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？
若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM
的形状；若不存在，请说明理由．
10、（2013曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两
点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x
轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？
若存在，求此点D坐标；若不
存在，说明理由．
11、（2013临沂）如图，抛物线经过
（1）求抛物线的解析式；
5
A（1,0）,B（5,0）,C（0,）三点.
2
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为
平行四边形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.
y
O
A
B
x
C
（第26题图）
12、（2013宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点
B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交
于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点
F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：
∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：
点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条
直角边之比为2：
1？
如果存在，求出此时点P的坐标：
如果不存在，请说明理由．
2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点
13、（2013南充）如图，二次函数y=x
B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于
点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.
2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物
14、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x
线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．
（1）请直接写出抛物线y2的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大
值？
若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．
15、（2013丽水）如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB
的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，
过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，
BC，CD，设点A的横坐标为t
（1）当t2时，求CF的长；
（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上？
②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿x轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，
C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且
无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。
16、（2013自贡）如图，已知抛物线y=ax
2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交
于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形
BMCA面积的最大值；
（3）在
（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线
上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？
若存在，求出圆心Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
17、（2013自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，
∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1
与BC的交点，求证：
CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE
面积的最大值．
18、（2013广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax
已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
2+bx+c经过A、B、C三点，
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，
垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位
置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结
果保留根号）
19、（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上
一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC
成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：
∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
20、（2013衢州）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形
OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿
射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设
移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时
刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？
若存在，求出
t的值；若不存在，请说明理由．
21、（2013绍兴）抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与
y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐
标．
2﹣m2+m的顶点为22、（2013嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）
A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，
连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，
与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶
点的四边形是平行四边形？
23、（2013巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点
坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为
（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
24、（2013烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函
数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣
以0C为直径作半圆，圆心为D．
2
3
，0），
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：
直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C
不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的
面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？
若
存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
25、（2013菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函
数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图
象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P
运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？
此时四边形PDCQ的面积是多少？
2﹣3x﹣的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点
26、（2013包头）已知抛物线y=x
A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（﹣，0）和点F（0，﹣），直线l经过E、F两点，点G是线段BD中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？
若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
27、（2013株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下
平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、
D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：
tan∠EDF
﹣tan∠ECP=．
28、（2013娄底）已知：
一元二次方程x2+kx+k﹣=0．
（1）求证：
不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，
求此二次函数的解析式；
（3）在
（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，
当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
29、（2013张家界）如图，抛物线y=ax
2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，
3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：
△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：
在P
点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存
在，请说明理由．
30、（2013衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从
M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段
AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？
若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
31、（2013郴州）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，
以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在
线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，
OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t
为何值时，PB∥OD？
32、（2013常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为
直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：
以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？
若存在，请求出所有符合
条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
33、（2013孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，
且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述
你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？
请给出证明；
2+x+1上，②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x
求此时点F的坐标．
34、（2013咸宁）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕
点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是线段AD的长等于；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在
（2）中的抛物
线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？
若存在，请求出该菱形的
周长l；若不存在，请说明理由．
35、（2013十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物
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