拓扑学第四章紧致性.docx
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拓扑学第四章紧致性
第四章紧致性
紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）
§4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）
定义1设A是（X,d）的一个子集。
如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A
是相对列紧的；
如果A中每个收敛子列的极限点都属于A，则称A是列紧的；
如果（X,d）本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：
这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
•下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）
（1）有限子集总是列紧的。
（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3）若A是（X,d）的列紧子集，则A是（X,d）的有界闭集。
（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（X,d）是列紧空间，则
A列紧A是闭集。
（5）列紧的度量空间必是可分的。
•进一步分析：
列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2设A是（X,d）的一个子集。
U是X的一族开集，满足UUA，则称U为A在X
UU
中的开覆盖；
若U中只有有限个子集，称U为有限开覆盖；
若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间（有的书成为紧空间）
★理论上可以证明：
对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间紧致空间
（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2拓扑空间的紧性
在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间［a,b］具有某些极好的性质，它对于证明极
大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为［a,b］上这个特性取决于［a,b］上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。
因此，列紧性并未触及到问题的本质。
进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。
并且从实分析理论中知道：
“实数空间R
的子集为有界闭集它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。
这种描述的优点：
①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。
解释：
为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？
定义3设X为拓扑空间，如果X的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧致空间。
★显然，每一紧致空间也都是Lindel?
f空间（X的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。
定义4设A为拓扑空间X的非空子集，若A作为X的子空间是紧致的，则称A为X的紧致
子集。
例1实数集R不是紧致空间。
因为A{（n,n）nN}为R的开覆盖，但是A中任何有限子集族
{（n1,n1）,（n2,r）2）,L,（%nJ}
的并集为（max{n^n?
丄，nk},max{n^n?
丄，nk}），它不能覆盖R，即A没有有限子覆盖（解释：
要覆盖R只有n。
但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。
例2R的开区间（0,1）不是紧致的。
因为开区间族A:
111
（-,1）,（-,1）,L,（-,1）
23n
是（0,1）的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖（0,1）。
1
例3R的子空间A{0}{-|nN}（N为正整数集）是紧致的。
n
因为，任给A的一个开覆盖A，A中有一个成员包含0,记这个成员为U（开区间）。
于是，
一1一
开区间U除了有限个“一”外，它要包含A的所有其余的点，因此，对于A中的每一个U未包含
n
的点，从A中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。
例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。
•重新看一下定义4:
说A为拓扑空间X的紧致子集，是指A中的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：
每一X的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖。
因此，下面的定理是必要的。
定理1拓扑空间X的子集A是X的紧致子集每一由X的开集构成的A的覆盖都有有限
子覆盖。
证明：
（）假设A是紧致的。
令A{B}是由X的开集组成的A的一个覆盖，那么，{BA}就是A中开集所组成的A的一个开覆盖。
由于A是紧致的，从而有一个有限子族
{BiA,B2A,L,BmA}
可以覆盖A，即它就是A的一个覆盖A的有限族。
（）反之，设A的每一由X的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。
设A{U|}为A的
由X的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为
{U1，U2，L,Un}
而
（U1A）（U2A）L（UnA）A
故A是X的紧致子集。
定理2设B为拓扑空间X的基，若由B的成员构成的X的每一覆盖（自然是开的）都有有
限子覆盖，则X为紧致空间。
证明：
设A是X的任一开集。
对于AA，则A是开集，故存在B的子族BA，使得
AUB。
令
BBa
A=UBa（即，覆盖A中所有成员A的B中集族）
AA
由
UBU（UB）UAX
BAAABBaAA
即，A是B中成员构成的X的覆盖。
如果A有有限子覆盖，不妨设为{Bi,B2丄,Bn}.BiA。
故存在AA，使得BiB^，
从而BiA。
于是，A的有限子集族{人，民丄，代}一定是X的子覆盖。
所以，X为紧致空间。
定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。
证明：
设A是紧致空间X的闭子集，于是AC是X的一个开集。
如果A是X的任一开覆盖，不难看出{AC,A}构成X的一个开覆盖。
又因为X是紧致的，故{AC,A}中存在有限集族{Ui,U2,L,Um,Ac}是X的有限子覆盖，而{Ui,U2丄,Um}是A的一个有限子覆盖，即闭集A的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A是紧
致的。
•下面的几个定理不加以证明的给出。
定理4每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。
定理5若Xi,X2,L,Xn均为紧致空间，则积空间XiX2LXn为紧致空间。
定理6设f:
XY是从拓扑空间X到Y的连续映射,若A是X的紧致子集，贝yf（A）是Y
的紧致子集。
上述定理的解释：
▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间,
并将这个紧致空间称为原空间的
加一点的紧致化。
n
实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点N）;
22
R的单点紧致化同胚于球面S。
同时，从定理4又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。
即，紧致性不是可遗传性质。
▲定理6说明：
紧致集在连续映射下的象也是紧致集。
▲从前面的定义知：
紧致性是用一族开集的并运算定义的（开覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律，“开集的并运算”与“闭集的交运算”是对偶的。
所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义。
（尽管这种
定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）
定义5令X为任意非空集合，A是X的任一子集族。
如果A的每一有限子集族的交集都是非空的，则称A具有有限交性质。
定理7拓扑空间X是紧致的X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交。
关于定理7的注释（不证明）：
关于“X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是：
设｛A｝是X上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限交性质的。
则应由|A，即，闭集族｛A｝都必含有某个相同元素。
§4-3紧致性与分离公理（Hausdorff空间的紧致子集）
本节讨论紧致空间和t2公理共同作用下得到的拓扑空间性质。
定理8设A是Hausdorff空间X的紧致子集，若xA，则x与A有不相交的邻域。
证明：
对于yA，则yx。
由于X是T2空间，则有x和y的开邻域Uy,Vy（注：
下标均为y，表示这两个邻域与y的选择有关），且UyVy。
当y取遍A时，有｛VyyA｝构成A的开覆盖。
又由于A是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为｛Vy1,Vy2,L,Vyn｝。
令
VVy1Vy2LVynUUy’Uy?
LUy.
则V是A的开邻域，U是x的开邻域。
又，对于任意Vyi（i1,2,L,n）均有UVy。
所以,
UV
证毕。
定理9Hausdo市空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。
证明方法与定理8雷同，证略。
它的意义如右图所示。
由定理8和定理9，可以得到如下的推论。
推论1Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集
另外，由定理9，我们得到如下结论。
推论3每一紧致的Hausdorff空间都是T4空间。
注释：
根据紧致Hausdorff空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。
则由定理9，
交邻域，则是T4空间。
推论4每一紧致的Hausdorff空间都是T3空间。
注释：
由紧致Hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8，则是T3空间。
于是，我们又推出如下关系：
★对于紧致空间：
Hausdorff空间正则空间正规空间
广注：
已知：
正规空间正则空间Hausdorff空间（）
Y又，紧致空间是Lindel?
f空间，而对Lindel?
f空间有T3T4，于是
正则空间正规空间
又由推论3和4，故有（）成立。
定理10从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射必为闭映射。
证明：
设X为紧致空间，Y为Hausdorff空间。
f:
XY为连续映射。
设A是X的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3），贝Uf（A）是丫的紧致子集（由定理
由推论1,f（A）是闭集。
故f为闭映射。
定理11X为紧致空间，Y为Hausdo市空间，f:
XY是在上的一一连续映射，贝同胚。
证明：
（提示：
只要证明f1:
丫X是连续的）
在第二章§2-5“连续映射与同胚”中定理1（3）已有结论：
“F:
UV，若V的闭集在F下的原象是闭的，贝UF连续”
11
在此，记Ff,UY,VX;于是利用定理10,有f是连续的。
故f是同胚。
有不相
6）。
f是
★关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看
§4-4几种紧致性的关系（简介）
在微积分学中，实数空间R的子集A上，下述命题是等价的：
（1）A是有界闭集；
（2）A的每一开覆盖都有有限子覆盖；
（3）A中每一无限子集都有聚点在A中；
（4）A中每一序列都有收敛的子序列收敛于A中的点；
★同时，
（2）可以写成
（5）A的每一可数开覆盖都有有限子覆盖
（注：
由（5）不能推出
（2）!
即，（5）不是
（1）〜（4）的等价命题）
定义6设X为拓扑空间，如果X的每一可数开覆盖都有有限子覆盖，则称X为可数紧致空
间。
•下面的命题都是显然的。
命题1每一紧致空间都是可数紧致空间。
命题2每一Lindel?
f的可数紧致空间都是紧致空间。
注释：
Lindel?
f空间一一每一开覆盖有可数子覆盖。
如果它又是可数紧致空间，则每个可数子覆盖都有有限子覆盖，则X每个开覆盖都有有限子覆盖，故X是紧致空间。
•前面介绍了度量空间的列紧性，列紧性也可以移植到拓扑空间中。
定义7设X为拓扑空间，如果X的每一无限子集都有聚点，则称X为列紧空间。
（说明：
许多书对列紧的定义不一致）
定理12每一可数紧致空间都是列紧空间。
（不证明）
定义8设X为拓扑空间，如果X中每一序列都有收敛的子序列，则称X为序列紧致空间。
定理13每一序列紧致空间都是可数紧致空间。
每一满足第一可数公理C1的可数紧致空间都是序列紧致空间。
•由上述定理，我们可归纳出如下关系:
§4-5局部紧致与仿紧
紧致性是一种很好的拓扑性质，如，紧致空间上的函数有界，并且达到最大、最小值。
但是，紧致性的条件太强，以至于n维欧氏空间En也不是紧致的（En的闭子集是紧致的）。
本节介绍紧致性的两个方面推广一一局部紧致和仿紧的。
定义9设X为拓扑空间，如果X的每一点xX都有一个紧致的邻域，则称X为局部紧致空间。
注释：
“xX，都有一个紧致的邻域”，表示至少存在一个，并不是说x的所有邻域都是紧致的。
★由定义9不难看出：
1紧致空间一定是局部紧致的。
因为xX，若X是紧致的，则其闭子集也是紧致的，只要取包含X的闭集V作为x的邻域即可；另外，X本身就是每一x的邻域。
2n维欧氏空间En是局部紧致空间。
因为欧氏空间上的闭子集是紧致的，于是En的球形邻域的闭包是紧致的。
•下面讨论局部紧致性与T2公理（Hausdorff空间）配合的结果。
定理14设X是局部紧致的Hausdorff空间，则
（1）X满足T3公理。
（2）xX，x的紧致邻域构成它的邻域基（也称局部基）。
（3）X的开子集也是局部紧致的。
证明：
（1）证明思路：
由§3-4节命题5，有
“X是T3xX和它的开邻域U，存在x的开邻域V，使得VU”。
于是，设xX，U是x的开邻域，仅证存在x的开邻域V，使得VU。
设X是局部紧致的Hausdorff空间，xX，U是x的开邻域。
x有一紧致邻域D。
根据§4-3中推论1“Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集”，贝UD是X的闭集。
又由推论4“每一紧致的Hausdorff空间都是T3空间”，则D作为子空间是T3空间。
令WUintD，则W是x在D中的开邻域；由于D是T3空间，则有x在D中的开邻域V,使得VWU。
以为W是X的开集，D是X的闭子空间，V是D中闭包，也是X中闭包。
综上所述：
xX,x在X中的开邻域V，满足VU，即X是T3空间。
（2）证明思路：
根据x的局部基定义，只要证明对于x的任一开邻域U，存在x的一个紧致邻域C,使得CU。
对于xX，设D是x的一个紧致邻域，则DU也是x的邻域。
又根据
（1）知，X满足T3公理，于是，存在x的邻域V，满足VDUU。
取CV，它是紧致空间D的闭集，故V也是紧致的。
（3）可由
（2）直接推出。
•在定义仿紧性之前，先给出两个概念：
1设A是拓扑空间X的一个覆盖，如果对于任一xX,x有一邻域V,V仅与A中有限个成员相交，则称A为X的局部有限覆盖。
易知，有限覆盖当然是局部有限覆盖。
2设A和A都是X的覆盖，若A的每一成员都包含在A的某个成员中，则称A是A的加细。
若A是开覆盖，则称A是A的开加细。
易知，A是A的子覆盖，则A是A的加细。
（A中成员的测度都比A中成员的测度小，故而称加细。
）
例：
在实数空间R中，令
A{（n1,n1）nZ},A{（n,n）nN}（Z为整数集，N为自然数集）
A和A都是R的覆盖，A是A的加细；并且A是局部有限的覆盖，而A不是。
分析：
J在A中，成员为（1,1）,（2,2）,（3,3）丄，（n,n）丄
1■■在A中，成员为L（5,3）,（4,2）,（3,1）,（2,0）,（1,1）,（0,2）,（1,3）,（2,4）L
定义10拓扑空间X称为仿紧的，若X的每个开覆盖都有局部有限的开加细（也称X是仿紧
致空间）
•下面仅给出一些有关仿紧性的结论，不做证明。
1紧致空间是仿紧的。
2仿紧的Hausdoff空间满足T4公理。
3局部仿紧并满足C2公理的Hausdoff空间是仿紧的，从而En是仿紧的。
4度量空间是仿紧的。
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