数学一真题答案解析.docx

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数学一真题答案解析

2008年考研数学一试题分析、详解和评注

一、选择题：

（本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设函数f（x）=ò0ln（2+tdt，则）f（x）的零点个数为【¢】

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3．

【答案】应选（B）.

【详解】f¢（x）=ln（2+x2）×2x=2xln（2+x2）．

显然f¢（x）在区间（-¥,+¥）上连续，且f¢（-1）·f¢

（1）=（-2ln3）·（2ln3）<0，由零

点定理，知f¢（x）至少有一个零点．

4x2

又f¢¢（x）=2ln（2+x2）+>0，恒大于零，所以f¢（x）在（-¥,+¥）上是单调递2+x2

增的．又因为f¢（0）=0，根据其单调性可知，f¢（x）至多有一个零点．

故f¢（x）有且只有一个零点．故应选（B）.

（2）函数f（x,y）=arctan

在点（0,1）处的梯度等于【】

（A）i

（B）

-i.（C）

j.（D）

-j.

【答案】应选（A）.

¶fy

-x

y¶fy2-x

【详解】因为=2

¶x1+x

=．=

x2+y2¶yx2

=x2+y2．

所以

（0,1）

=1，

（0,1）

=0，于是gradf（x,y）

（0,1）

=i.故应选（A）.

（3）在下列微分方程中，以y=Cex+Ccos2x+Csin2x（C,C,C为任意的常

数）为通解的是【】

123

（A）

y¢¢¢+y¢¢-4y¢-4y=0.（B）

y¢¢¢+y¢¢+4y¢+4y=0.

（C）

y¢¢¢-y¢¢-4y¢+4y=0.（D）

y¢¢¢-y¢¢+4y¢-4y=0.

【答案】应选（D）.

123

【详解】由y=Cex+Ccos2x+Csin2x，可知其特征根为

l11，l2,3=±2i，故对应的特征值方程为

（1）（l+2）（l-2）=

（1）（2+4）

=l3+4ll2-4

=l3-l2+4l4

所以所求微分方程为y¢-y¢

4y¢

4y=0．应选（D）.

（4）设函数f（x）在（-¥,+¥）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】．

（A）若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛（B）若{xn}单调，则{f（xn）}收敛

（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛.（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛.

【答案】应选（B）.

【详解】若{xn}单调，则由函数f（x）在（-¥,+¥）内单调有界知，若{f（xn）}单调有界，

因此若{f（xn）}收敛．故应选（B）.

（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则【】

则下列结论正确的是：

（A）

（C）

E-A不可逆，则E+A不可逆.（B）

E-A可逆，则E+A可逆.（D）

E-A不可逆，则E+A可逆.E-A可逆，则E+A不可逆.

【答案】应选（C）.

【详解】故应选（C）.

（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，（E+A）（E-A+A2）=E+A3=E．

故E-A，E+A均可逆．故应选（C）.

æxö

（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程（xyz）Açy÷=1在正交变换下的标

ç÷

èø

准方程的图形如图，则A的正特征值个数为【】

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.

【答案】应选（B）.

x2y2+z2

【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为a2-

正特征值个数为1．故应选（B）.

c21．故A的

（7）设随机变量X,Y独立同分布且X的分布函数为F（），则Z=maxX,}的分布

函数为【】

（A）

F2（）.（B）

F（）F（）.（C）

1[-F（）]2.（D）

[1-F（）]

-F（）].

【答案】应选（A）．

【详解】F（）=P（Z£z）=P{

axX,}£}

=P（X£z）（Y£z）=F（）F（）=F2（）．故应选（A）．

（8）设随机变量X:

N（0,1）,

N（1,4）,且相关系数rXY

1，则【】

（A）

P{Y=-2X

1}1

（B）

P{Y=2X

1}1

（C）

P{Y=-2X

1}1

（D）

P{Y=2X

1}1

【答案】应选（D）．

【详解】用排除法．设Y=aX+b．由rXY

1，知X，Y正相关，得a>0．排除

（A）和（C）．由X:

N（0,1），Y:

N（1,4），得

EX=0,EY1,E（aX+b）=aEX+b．

1=a´0+b，b1．从而排除（B）.故应选（D）．

二、填空题：

（9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）

（9）微分方程xy¢+y=0满足条件y

（1）=1的解是y=.

【答案】应填y=．

dyydydx

【详解】由

=-，得=-．两边积分，得ln|y|=-ln|x|+C．

dxxyx

代入条件y

（1）=1，得C=0．所以y=1．

（10）曲线sin（xy）+ln（y-x）=x在点（0,1）的切线方程为.

【答案】应填y=x+1．

【详解】设F（x,y）=sin（xy）+ln（y-x）-x，则

F（x,y）=ycos（xy）+-1-1，F（x,y）=xcos（xy）+1，

xy-xx

F¢（0,1）

y-x

F（0,1）=-1，F（0,1）=1．于是斜率k=-x=1．

xyF¢（0,1）

故所求得切线方程为y=x+1．

（11）

已知幂级数åa（x+2）n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数

n=0

åa（x-2）n的收敛域为.

n=0

【答案】

（1,5]．

¥¥

【详解】由题意，知åa（x+2）n的收敛域为（-4,0]，则åaxn的收敛域为（-2,2]

n=0

．所以åa（x-2）n的收敛域为（1,5]．

n=0

（12）设曲面S是z=

的上侧，则òxydydz+xdzdx+x2dxdy=.

【答案】

4p．

【详解】作辅助面S1:

z=0取下侧．则由高斯公式，有

òxydydz+xdzdx+x2dxdy

=Òòxydydz+xdzdx+x2dxdy-òòxydydz+xdzdx+x2dxdy

åå1

=òydV+

x2+y24

x2dxdy．

=0+1ò

（2+y2）dxdy=1ò2pò22

4p．

22+y24

200

r·rdr=pg

（13）设A为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量，Aa1=0，Aa2=2a1+a2

．则A的非零特征值为.

【答案】应填1．

æ02ö

【详解】根据题设条件，得A（a1,a2）=（Aa1,Aa2）=（0,2a1+a2）=（a1,a2）ç01÷．

记P=（a1,a2），因a1,a2线性无关，故P=（a1,a2）是可逆矩阵．因此

æ02ö

1æ02ö

æ02ö

AP=Pç01÷，从而PAP=ç01÷．记B=ç01÷，则A与B相似，从而有

èèè

相同的特征值．

l-2

因为|lE-B|

（1），l=0，l

1．故A的非零特征值为1．

（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX}．

【答案】应填.

【详解】因为X服从参数为1的泊松分布，所以EX=DX

1．从而由

DX=EX2-（EX）2得EX2=2．故P{X=EX}P{X=}=．

三、解答题：

（15－23小题，共94分.）

（15）（本题满分10分）

[

求极限lim

®0

nx-sn（snx）]nx

【详解1】lim

®0

[inx-sin（sinx）]inxx4

[

lim

®0

nx-sin（snx）]

＝lim

x®0

cosx-cos（snx）cosx

3x2

lim

®0

1-cs（snx）3x2

=lim

®0

sn（nx）cosx

（或

lim

®0

1（n）2

2，或

3x2

lim

®0

1sn2x+o（sn2x）

2）

3x2

=1．

[

nx-sn（snx）]nx

[nx-sn（snx）]nx

【详解2】lim

®0x4

=lim

®0

sn4x

t-snt

＝lim3

lim

1-cst

lim

2（或

lim

snt

）

0t0303

06t

=1．

（16）（本题满分9分）

计算曲线积分sin2xdx+2（x2-1）ydy，其中L是曲线y=sinx上从（0,0）到

（p,0）

的一段．

【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．

sin2xdx+2（x2-1）ydy

=òp[sin2xdx+2（x2-1）sinxcosx]dx=òpx2sin2xdx

2p2

=-xcos2x

+òpxcos2xdx=-p

+òxcos2xdx

p2xsin2xpsin2x

=-+2

-ò0dx

=-．

【详解2】添加辅助线，按照Green公式进行计算．

设L1为x轴上从点（p,0）到（0,0）的直线段．D是L1与L围成的区域

òL+L

sin2xdx+2（x2-1）ydy

é¶（2（x2-1）y¶sin2xù

=-òê

¶x¶y

údxdy=-òò4xydxdy

DëûD

psinx

=-004xydydx=-0

2xsin2

xdx=-ò0

x（1-cos2x）dx

pp2

=-+òxcos2xdx=-

xsin2xp

psin2x

=-．

因为òsin2xdx+2（x2-1）ydy=ò0sin2xdx=0

L1p

故sin2xdx+2（x2-1）ydy=-p

【详解3】令I=sin2xdx+2（x2-1）ydy

òL12

对于I1，记P=sin2x,

Q=-2y．因为

¶P=¶P=0，故I与积分路径无关．

¶y¶x1

I1=ò0sin2xdx=0．对于I2，

I2=

2x2ydy=

p2x2sinxcosxdx=

px2sin2xdx

=-xcos2x

+ò0xcos2xdx

=-2+ò0xcos2xdx

p2xsin2xpsin2x

=-+2

-ò0dx

=-．

故

sin2xdx+2（x2-1）ydy=-p

ìx2+y2-2

17（本题满分11分）已知曲线C:

2=0,

求C上距离xoy面最远的点和最近

的点．

îx+y+3z=5,

【详解1】点（x,y,）到xoy面的距离为||，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点

的坐标等价于求函数H=z2在条件x2+y2-22=0,x+y+3z=5下的最大值点和最小

值点．

构造拉格朗日函数

L（x,y,z,l,m）=z2+l（x2+y2-2

2）+m（x+y+3z-5），

ìLx¢=2lx+2m=0,

ïL¢=2ly+m=0,

ïy

由¢

íLz=2z-4lz+3m=0,

ïx2+y2-2z2=0,

ïîx+y+3z=5.

得x=y，

ì2x2-2z2=0,

ìx=-5,

ìx=1,

从而í

解得íy=-5,或íy=1,

î2x+3z=5.

ïz=5.ïz=1.

根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为

（5,-5,5）和（1,1,1）．

【详解2】点（x,y,）到xoy面的距离为||，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点

æx+y-5ö2

的坐标等价于求函数H=x2+y2在条件x2+y2-2ç÷

=0下的最大值点和最

小值点．

构造拉格朗日函数

æ222

è3ø

2ö

L（x,y,z,l）=x+y+lçx+y-（x+y-5）÷，

èø

ì¢æ4ö

ïLx=2x+lç2x-9（x+y-5）÷=0,

ïèø

由ï¢æ4ö

íLy=2y+lç2y-9（x+y-5）÷=0,

ïèø

ïæx+y-5ö2

ïx2+y2-2ç÷=0.

îïè3ø

得x=y，从而解得

2x2-

2（2x-5）2

=0．

ìx=-5,ìx=1,

ïy=-5,或ïy=1,

íí

ïz=5.ïz=1.

根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为

（5,-5,5）和（1,1,1）．

【详解3】由x2+y2-2z2=0得

ìïx=íïîy=

2zcosq,2zsinq.

代入x+y+3z=5，得

z=5

所以只要求z=z（）的最值．

令z（）==0，得csq=snq，解得q=

p5p

．从而

（+2（csq+snq）44

ìx=-5,ìx=1,

ïy=-5,或ïy=1,

íí

ïz=5.ïz=1.

根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为

（5,-5,5）和（1,1,1）．

（18）（本题满分10分）

设f（）是连续函数，

（I）

利用定义证明函数F（）=ò0

f（）dt可导，且F¢（）=

f（）；

（II）当f（）是以2为周期的周期函数时，证明函数

G（）=2ò0

f（）dt-xò0

f（）dt也是以2为周期的周期函数．

x+Dxx

（I）【证明】F¢（）lim

Dx®0

F（x+Dx）-F（）

limò0

Dx®0

f（）dt-ò0

f（）dt

=lim

x+Dxx

f（）dt

=lim

f（x）Dx

=lim

f（）=

f（）

Dx®0Dx

Dx®0

x+Dxx

f（）dtf（x+Dx）

【注】不能利用L’Hospital法则得到limlim．

（II）【证法1】根据题设，有

G（x+2）=é2òx+2

Dx®0Dx

Dx®0

òf（）dt，

f（）dt-（x+2）

f（）dt

=f（x+2）-

G（）=é2òxò¢

òf（）dt．

f（）dt-x

f（）dt

=2f（）-

当f（）是以2为周期的周期函数时，f（x+2）=f（）．

从而G（x+2）=G（）．因而

G（x+2）-G（）=C．

取x=0得，C=G（0+2）-G（0）=0，故G（x+2）-G（）=0．

即G（）=2ò0

f（）dt-xò0

f（）dt是以2为周期的周期函数．

【证法2】根据题设，有

x+22

G（x+2）2ò0f（）dt-（x+2）ò0

f（）dt，

2x+222

=2ò0f（）dt+xò2f（）dt-xò0f（）dt-2ò0

f（）dt．

x+2

对于2

f（）dt，作换元t=u+2，并注意到f（u+2）=

f（），则有

x+2xxx

ò2f（）dt=ò0fu+

（2）du=ò0f（）du=ò0

f（）dt，

x+22

因而xò2f（）dt-xò0

于是

f（）dt=0．

G（x+2）=2ò0

f（）dt-xò0

f（）dt=G（）．

即G（）=2ò0

f（）dt-xò0

f（）dt是以2为周期的周期函数

【证法3】根据题设，有

x+22

G（x+2）=2ò0f（）dt-（x+2）ò0

f（）dt，

xx+222

=2ò0f（）dt+2òxf（）dt-xò0f（）dt-2ò0

f（）dt

x2x+22

=2ò0f（）dt-xò0f（）dt+2òxf（）dt-2ò0

f（）dt

=G（）+

x+22

f（）dt-0

f（））．

当f（）是以2为周期的周期函数时，必有

事实上

x+2

x+22

òò

xf（）dt=0

f（）dt．

d（ò2

所以

f（）dt）

x+2

f（x+2）-f（）=0，

ò2f（）dtºC．

022

取x=0得，Cºò2f（）dt=ò2

所以

f（）dt．

G（x+2）2ò0

f（）dt-xò0

f（）dt=G（）．

即G（）=2ò0

f（）dt-xò0

f（）dt是以2为周期的周期函数

（19）（本题满分11分）

（1）1

将函数f（）1-x2（0£x£p）展开成余弦级数，并求级数å

n=1

的和．

【详解】将f（）作偶周期延拓，则有bn=0,n

1,2,L．

2pæp2ö

0pò0

è3ø

a=2pf（）cosnxdx

npò0

2éppùp

=êòcsnxdx-òx2cosnxdxú

pë00û0

p2p

=2é0-p2

ù=-2éxsnnx

p2snnxù

pêò0xcosnxdxú

pên

-ò0

ndxú

ëû0ë0û

（1）n-14

（1）1

==．

pn2n2

a¥p2¥

（1）n-1

所以f（）1-x2=0+

2n=1

ancsnx

1-+4

n=1n

csnx，0£x£p．

令x=0，有f（0）1-p

n=1

（1）n1

又f（0）1，所以å

n=1

（1）n1p2

=．

n212

（20）（本题满分10分）

设a,b为3维列向量，矩阵A=aaT+bbT，其中aT,bT分别是a,b得转置．证明：

（I）秩r（）£2；

（II）若a,b线性相关，则秩r（）<2．

【详解】（I）【证法1】r（A）=r（aaT+bbT）£r（aaT）+r（bbT）£r（a）+r（b）£2．

【证法2】因为A=aaT+bbT，A为33矩阵，所以r（A）£3．

因为a,b为3维列向量，所以存在向量x¹0，使得

aTx=0,bTx=0

于是Ax=aaTx+bbTx=0

所以Ax=0有非零解，从而r（）£2．

【证法3】因为A=aaT+bbT，所以A为33矩阵．

æaTö

又因为TT

çT÷

A=aa+bb

=（ab

0）çb÷，

ç0÷

所以|A||ab

èø

0|bT=0

故r（A）£2．

（II）【证法】由a,b线性相关，不妨设a=kb．于是

r（A）=r（aaT+bbT）=

（1+k2）bbT）

r（）1<2．

（21）（本题满分12分）．

设n元线性方程组Ax=b，其中

æ2a1

ça22a1

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