CRC 校验码的计算方法.docx
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CRC校验码的计算方法
CRC校验码的计算方法
CRC从原理到实现===============
作者：
SparkHuang（hcpp@）
日期：
2004/12/8
摘要：
CRC（CyclicRedundancyCheck）被广泛用于数据通信过程中的差错检测，具有很强的
检错能力。
本文详细介绍了CRC的基本原理，并且按照解释通行的查表算法的由来的思路介绍
了各种具体的实现方法。
1.差错检测
数据通信中，接收端需要检测在传输过程中是否发生差错，常用的技术有奇偶校验（Parity
Check），校验和（Checksum）和CRC（CyclicRedundancyCheck）。
它们都是发送端对消息按照
某种算法计算出校验码，然后将校验码和消息一起发送到接收端。
接收端对接收到的消息按
照相同算法得出校验码，再与接收到的校验码比较，以判断接收到消息是否正确。
奇偶校验只需要1位校验码，其计算方法也很简单。
以奇检验为例，发送端只需要对所有消息
位进行异或运算，得出的值如果是0，则校验码为1，否则为0。
接收端可以对消息进行相同计
算，然后比较校验码。
也可以对消息连同校验码一起计算，若值是0则有差错，否则校验通过。
通常说奇偶校验可以检测出1位差错，实际上它可以检测出任何奇数位差错。
校验和的思想也很简单，将传输的消息当成8位（或16/32位）整数的序列，将这些整数加起来
而得出校验码，该校验码也叫校验和。
校验和被用在IP协议中，按照16位整数运算，而且其
MSB（MostSignificantBit）的进位被加到结果中。
显然，奇偶校验和校验和都有明显的不足。
奇偶校验不能检测出偶数位差错。
对于校验和，
如果整数序列中有两个整数出错，一个增加了一定的值，另一个减小了相同的值，这种差错
就检测不出来。
2.CRC算法的基本原理-------------------
CRC算法的是以GF
（2）（2元素伽罗瓦域）多项式算术为数学基础的，听起来很恐怖，但实际上它
的主要特点和运算规则是很好理解的。
GF
（2）多项式中只有一个变量x，其系数也只有0和1，如：
1*x^7+0*x^6+1*x^5+0*x^4+0*x^3+1*x^2+1*x^1+1*x^0
即：
x^7+x^5+x^2 +x+1
（x^n表示x的n次幂）
GF
（2）多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减，模2就是加减时不考虑进位和借位，
即：
0+0=0 0-0=0
0+1=1 0-1=1
1+0=1 1-0=1
1+1=0 1-1=0
显然，加和减是一样的效果（故在GF
（2）多项式中一般不出现"-"号），都等同于异或运算。
例
如P1=x^3 +x^2+1，P2=x^3 +x^1+1，P1+P2为：
x^3 +x^2 +1
+x^3 +x+1
------------------
x^2+x
GF
（2）多项式乘法和一般多项式乘法基本一样，只是在各项相加的时候按模2算术进行，例如
P1*P2为：
（x^3+x^2+1）（x^3+x^1+1）
=（x^6+x^4+x^3
+x^5+x^3+x^2
+x^3+x+1）
=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
GF
（2）多项式除法也和一般多项式除法基本一样，只是在各项相减的时候按模2算术进行，例
如P3=x^7+x^6+x^5+x^2+x，P3/P2为：
x^4+x^3 +1
------------------------------------------
x^3+x+1）x^7+x^6+x^5+ x^2+x
x^7 +x^5+x^4
---------------------
x^6 +x^4
x^6 +x^4+x^3
---------------------
x^3+x^2+x
x^3 +x+1
-----------------
x^2 +1
CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF
（2）多项式M，比如对于8位消息11100110，如果先传输
MSB，则它对应的多项式为x^7+x^6+x^5+x^2+x。
发送端和接收端约定一个次数为r的
GF
（2）多项式G，称为生成多项式，比如x^3+x+1，r=3。
在消息后面加上r个0对应的多
项式为M'，显然有M'=Mx^r。
用M'除以G将得到一个次数等于或小于r-1的余数多项式R，
其对应的r位数值则为校验码。
如下所示：
11001100
-------------
1011）11100110000
1011.......
----.......
1010......
1011......
----......
1110...
1011...
----...
1010..
1011..
----
100 <---校验码
发送端将m位消息连同r位校验码（也就是M'+R）一起发送出去，接收端按同样的方法算出收
到的m位消息的校验码，再与收到的校验码比较。
接收端也可以用收到的全部m+r位除以生
成多项式，再判断余数是否为0。
这是因为，M'+R=（QG+R）+R=QG，这里Q是商。
显
然，它也可以像发送端一样，在全部m+r后再增加r个0，再除以生成多项式，如果没有差错
发生，余数仍然为0。
3.生成多项式的选择
------------------
很明显，不同的生成多项式，其检错能力是不同的。
如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论，这里只从一些侧面作些分析。
显然，要使用r位校验码，生成多项式的次数应为
r。
生成多项式应该包含项"1"，否则校验码的LSB（LeastSignificantBit）将始终为0。
如果
消息（包括校验码）T在传输过程中产生了差错，则接收端收到的消息可以表示为T+E。
若E不
能被生成多项式G除尽，则该差错可以被检测出。
考虑以下几种情况：
1）1位差错，即E=x^n=100...00，n>=0。
只要G至少有2位1，E就不能被G除尽。
这
是因为Gx^k相当于将G左移k位，对任意多项式Q，QG相当于将多个不同的G的左移相加。
如果G至少有两位1，它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。
2）奇数位差错，只要G含有因子F=x+1，E就不能被G除尽。
这是因为QG=Q'F，由1）
的分析，F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。
3）爆炸性差错，即E=（x^n+...+1）x^m=1...100...00，n>=1，m>=0，显然只
要G包含项"1"，且次数大于n，就不能除尽E。
4）2位差错，即E=（x^n+1）x^m=100...00100...00，n>=0。
设x^n+1=QG+R，
则E=QGx^m+Rx^m，由3）可知E能被G除尽当且仅当R为0。
因此只需分析x^n+1，根
据[3]，对于次数r，总存在一个生成多项式G，使得n最小为2^r-1时，才能除尽x^n
+1。
称该生成多项式是原始的（primitive），它提供了在该次数上检测2位差错的最高
能力，因为当n=2^r-1时，x^n+1能被任何r次多项式除尽。
[3]同时指出，原始
生成多项式是不可约分的，但不可约分的的多项式并不一定是原始的，因此对于某些
奇数位差错，原始生成多项式是检测不出来的。
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式：
标准 多项式 16进制表示
---------------------------------------------------------------------------
CRC12 x^12+x^11+x^3+x^2+x+1 80F
CRC16 x^16+x^15+x^2+1 8005
CRC16-CCITT x^16+x^12+x^5+1 1021
CRC32 x^32+x^26+x^23+x^22+x^16+x^12+x^11 04C11DB7
+x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x^2+x+1
16进制表示去掉了最高次项，CCITT在1993年改名为ITU-T。
CRC12用于6位字节，其它用于8位
字节。
CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。
CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM,X.25和SDLC等通信
协议。
而以太网和FDDI则使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件压缩中。
在这些生成多项式
中，CRC32是原始的，而其它3个都含有因子x+1。
4.CRC算法的实现
---------------
要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M=11100110，G=1011，
其系数r为3
11001100 11100110000
------------- 1011
1011）11100110000 -----------
1011....... 1010110000
----....... 1010110000
1010...... 1011
1011...... ===> -----------
----...... 001110000
1110... 1110000
1011... 1011
----... -----------
1010.. 101000
1011.. 101000
---- 1011
100 <---校验码 -----------
00100
100 <---校验码
程序可以如下实现：
1）将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器；
2）如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位（将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB），
再与G的后r位异或，否则仅将寄存器左移1位（将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB）；
3）重复第2步，直到M全部Mx^r移入寄存器；
4）寄存器中的值则为校验码。
用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021，其C代码（本文所有代码假定系统为32位，且都在VC6上
编译通过）如下：
unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）
{
inti,j;
unsignedshortcrc_reg;
crc_reg=（message[0]<<8）+message[1];
for（i=0;i {
if（i for（j=0;j<=7;j++）
{
if（（short）crc_reg<0）
crc_reg=（（crc_reg<<1）+（message[i+2]>>（7-i）））^0x1021;
else
crc_reg=（crc_reg<<1）+（message[i+2]>>（7-i））;
}
else
for（j=0;j<=7;j++）
{
if（（short）crc_reg<0）
crc_reg=（crc_reg<<1）^0x1021;
else
crc_reg<<=1;
}
}
returncrc_reg;
}
显然，每次内循环的行为取决于寄存器首位。
由于异或运算满足交换率和结合律，以及与0异
或无影响，消息可以不移入寄存器，而在每次内循环的时候，寄存器首位再与对应的消息位
异或。
改进的代码如下：
unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）
{
inti,j;
unsignedshortcrc_reg=0;
unsignedshortcurrent;
for（i=0;i {
current=message[i]<<8;
for（j=0;j<8;j++）
{
if（（short）（crc_reg^current）<0）
crc_reg=（crc_reg<<1）^0x1021;
else
crc_reg<<=1;
current<<=1;
}
}
returncrc_reg;
}
以上的讨论中，消息的每个字节都是先传输MSB，CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB，消息
右移进寄存器来计算的。
只需将代码改成判断寄存器的LSB，将0x1021按位颠倒后（0x8408）与
寄存器异或即可，如下所示：
unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）
{
inti,j;
unsignedshortcrc_reg=0;
unsignedshortcurrent;
for（i=0;i {
current=message[i];
for（j=0;j<8;j++）
{
if（（crc_reg^current）&0x0001）
crc_reg=（crc_reg>>1）^0x8408;
else
crc_reg>>=1;
current>>=1;
}
}
returncrc_reg;
}
该算法使用了两层循环，对消息逐位进行处理，这样效率是很低的。
为了提高时间效率，通
常的思想是以空间换时间。
考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关，对该
算法做以下等效转换：
unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）
{
inti,j;
unsignedshortcrc_reg=0;
unsignedchar index;
unsignedshortto_xor;
for（i=0;i {
index=（crc_reg^message[i]）&0xff;
to_xor=index;
for（j=0;j<8;j++）
{
if（to_xor&0x0001）
to_xor=（to_xor>>1）^0x8408;
else
to_xor>>=1;
}
crc_reg=（crc_reg>>8）^to_xor;
}
returncrc_reg;
}
现在内循环只与index相关了，可以事先以数组形式生成一个表crc16_ccitt_table，使得
to_xor=crc16_ccitt_table[index]，于是可以简化为：
unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）
{
unsignedshortcrc_reg=0;
while（len--）
crc_reg=（crc_reg>>8）^crc16_ccitt_table[（crc_reg^*message++）&0xff];
returncrc_reg;
}
crc16_ccitt_table通过以下代码生成：
intmain（）
{
unsignedcharindex=0;
unsignedshortto_xor;
inti;
printf（"unsignedshortcrc16_ccitt_table[256]=\n{"）;
while
（1）
{
if（!
（index%8））
printf（"\n"）;
to_xor=index;
for（i=0;i<8;i++）
{
if（to_xor&0x0001）
to_xor=（to_xor>>1
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