常用逻辑用语知识点.docx

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常用逻辑用语知识点

常用逻辑用语知识点

精解常用逻辑用语

目标认知：

T

考试大纲要求：

恵

1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系•

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：

商充分条件与必要条件的判定

难点：

根据命题关系或充分（或必要）条件进行逻辑推理。

知识要点梳理：

奩

知识点一：

命题：

n

1.定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

（1）命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理

等都是真命题

（3）命题“”的真假判定方式：

1若要判断命题“丫”是一个真命题，需要严

格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定"能帮助判断。

如：

/一定推出:

.

2若要判断命题“是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：

「不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

2.逻辑联结词：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.

（2）复合命题的构成形式：

①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）

（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：

1当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；

2当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情

况时为假，可简称为“一假必假”

3“非P”与p的真假相反•

注意：

（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：

一是p成立

且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“：

」或―”.

（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p或q”的否定是“「p且「q”；“p且q”的否

疋是-p或-q•

（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

典型例题

°1•判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真

假，若不是，说明理由。

（1）矩形难道不是平行四边形吗？

（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（3）求证:

XR，方程X2X1=0无实根.

（4）x5

（5）人类在2020年登上火星.

（江西卷）下列命题是真命题的为（）

1_1A•若厂几则x曲B.若X2’则x=i

C若xy则"JD•若xy,则X2：

」2

°3（广东）已知命题p：

所有有理数都是实数，命题q：

正数的对数都是负数，

则下列命题中为真命题的是（）

A.（-p）qB.pqC.（—p）（—q）D.（—p）（—q）

&4（北京）若p是真命题，q是假命题，则（）

（A）pq是真命题（B）pq是假命题

（C）-p是真命题（D）-q是真命题

知识点二：

四种命题商

1.四种命题的形式：

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用-p和-q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：

原命题：

若p则q;逆命题：

若q则p;否命题：

若p则q;逆否命题：

若q则p.

2.四种命题的关系:

①原命题；逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题

转化的依据和途径之一.

②逆命题；否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

四种命题及其关系：

关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：

第一：

交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；

第二：

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；

第三：

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；

°5.写出"若x=2或x=3，则x2-5x6=0"的逆命题、否命题、逆否命题及

命题的否定，并判其真假。

解：

逆命题：

若x2-5x6=0，则x=2或x=3，是真命

题；

否命题：

若x=2且x=3，则x2-5x6=0，是真命题；逆否命题：

若x2-5x6=0，则x=2且x=3，是真命题。

命题的否定：

若x=2或x=3，则x2-5x6=0，是假命题。

知识点三：

充分条件与必要条件：

偏

1.定义：

对于“若p则q”形式的命题：

1若p;q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

2若pq,但q1p,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

3若既有pq，又有q；p，记作pq,则p是q的充分必要条件（充要条件）.

2.理解认知：

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，

再用结论推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.

“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.

3.判断命题充要条件的三种方法

（1）定义法：

（2）等价法：

由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原

命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断•即利用

」=与-：

」；r—与］1与」的等价关系，

对于

条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运

用等价法.

（3）禾U用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB;A=B可判断为AB,且

BA，即AB.

如图：

u“工占力訂，且UxE』是圧月的充分不必要条件•

丄,”J—1—”」是.一的充分必要条件•

°6（2011安徽）下列选项中，p是q的必要不充

08（2011福建）.若a€R,则“a=1”是“|a|=1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必

要条件

09（2012江西）“"y”是“"丫”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

知识点四：

全称量词与存在量词：

1.全称量词与存在量词：

商

全称量词及表示：

表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题"对M中任意一个x，有p（x）成立”可表示为“宀―：

”，其中M为给定的集合，p（x）是关于x的命题.

（II）存在量词及表示：

表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”，“存在一个”，

“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号

“匚”表示，读作“存在”。

含有

存在量词的命题，叫做特称命题特称命题"存在M

中的一个x，使p（x）成立”可表示

为其中M为给定的集合，p（x）是关于x的命题.

2.对含有一个量词的命题进行否定：

（I）对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p：

宀「「心：

，他的否定全称命题的否定是特称命题。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p：

羔，他的否定T，：

八,」T，：

：

「特称命题的

否定是全称命题。

注意：

（1）命题的否定与命题的否命题是不同的•命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一

次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

（2）—些常见的词的否定：

正

等

大

小

是

都是

一疋

至少

至多

面

于

于

于

是

一个

一个

词

否

不

不

不

不

不都

一疋

一个

至少

疋

等

大

小

是

是

不是

也没

两个

词

于

于

于

有

规律方法指导：

碣

1.解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真

假性一致•

2.要注意区分命题的否定与否命题.

3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”

“交”“补”是相关的，将二

者相互对照可加深认识和理解.

4.处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。

对于充要条件的证明，必须证明充分

性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：

用集合的观点、用定义和利用命

题的等价性；求充要条件的思路是：

先求必要条件，再

证明这个必要条件是充分条件.

5.特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

总结升华：

1.判断复合命题的真假的步骤：

1确定复合命题的构成形式；

2判断其中简单命题p和q的真假；

3根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.

2.条件“」或■”是“或"的关系，否定时要注意.

类型二：

四种命题及其关系：

启

010.写出命题"已知，'是实数，若ab=O,则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

解析：

逆命题：

已知「是实数，若a=0或b=0,则ab=0,真命题；

否命题：

已知血是实数，若abM0，贝UaM0且bM0,真命题；

逆否命题：

已知"』是实数，若aM0且bM0，则abM0,真命题。

总结升华：

1.“已知；'是实数"为命题的大前提，写命题时不应

该忽略；

2.互为逆否命题的两个命题同真假；

3.注意区分命题的否定和否命题.

类型三：

全称命题与特称命题真假的判断：

孟

总结升华：

1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素：

，验证一成立；

要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个使心不成立可；

2.要判断一个特称命题的真假，依据：

只要在限定集合M中，至少能找到一个=:

：

，使

成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

类型四：

充要条件的判断：

奁

总结升华：

1.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；

2.正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是：

与.'关系.

类型五：

求参数的取值范围：

忘

总结升华：

由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论.

11.已知p：

4xm：

0，q:

x2-x-2•0，若p是q的一个充分不必要条件，求m

的取值范围.

12.命题P：

关于x的不等式x22ax40对任意xR恒成立;

命题q：

函数y=（a-1）x•b在R上递增

若pq为真，而pq为假，求实数a的取值范围。

总结升华：

从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。

类型六：

证明：

亦

总结升华：

1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）

从这个假设出发，经过推理论证，

得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，

或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是

比原命题更具体更容易研究的命题.

2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题.

总结升华：

1.对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什

么，结论是什么。

2.充分性：

由条件：

二结论f;必要性：

由结论：

二条件*.

2.叙述方式的变化（比如」是：

的充分不必要条件”等价于“丿的充分不必要要条件是？

”）.

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1.（2008年湖北卷2）若非空集合A,B,C满足AUB二C，且B不是A的子集，

则（）

A“C”是“xA”的充分条件但不是必要条件

B.“C”是“xA”的必要条件但不是充分条件

C.“x•C”是“x•A”的充要条件

D.“C”既不是“x•A”的充分条件也不是“A”必要条件

答案B

2.（2008年湖南卷2）“X-1v2成立”是“x（x-3）<0成立”的（）

A.充分不必要条件B必要不充分条件

C.充分必要条件D既不充分也不必要条件

答案B

3.（2007全国I）设f（x）,g（x）是定义在R上的函数，h（xHf（x）g（x），贝U“f（x）,

g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）

A.充要条件B.充分而不

必要的条件

C.必要而不充分的条件D.既不充分

也不必要的条件

答案B

4.（2007宁夏）已知命题p:

-XR,sinx^1，则（）

答案D

6.（2007山东）命题“对任意的xr,x3—x2tm”的否定是

答案B

2

8.（2006年山东卷）设p：

x2-x-20>0,q：

杀<0,则p

是q的（）

A充分不必要条件B.必要

不充分条件

D.既不

C充要条件

—2或一1x1或x2，借助图形知选A.

9.（2005年北京卷）

（2）“m=£”是“直线（n+2）x+3my+1=0

与直线（m—2）x+（m+2）y—3=0

相互垂直”的

（）

A.充分必要条件B.充分而不必

要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不

必要条件

答案B

10.（2005年湖北卷）对任意实数a,b,c,给出下列命题：

①“a=b”是“ac=bc”充要条件；②“a5是无理

数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.

其中真命题的个数是

A．1B．2C．3

（）

D．4

答案B