线性代数同济第三版答案.docx

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线性代数同济第三版答案

线性代数同济第三版习题答案

习题一答案（1-16）

习题二答案（17-37）

习题三答案（38-58）

习题四答案（59-86）

1利用对角线法则计算下列三阶行列式

201

（1）141

183

201

解141

183

2（4）30

（1）

（1）118

0132

（1）81（4）

（1）

2481644

abc

（2）bca

cab

abc

解bca

cab

acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

2

ba

2

caa

xyxy

（4）yxyx

xyxy

xyxy

解yxyx

xyxy

ooo

x（xy）yyx（xy）（xy）yxy（xy）3x33xy（xy）y33x2yx3y3x3

2（x3y3）

2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序

数

（1）1234

解逆序数为0

（2）4132

解逆序数为4

41434232

32314241,21

214143

解逆序数为n（;°

32（1个）

5254（2个）

727476（3个）

（2n1）2（2n1）4（2n1）6

（2n1）（2n2）（n1个）

（6）13（2n1）（2n）（2n2）2

解逆序数为n（n1）

32（1个）

（2n1）（2n2）（n1个）

5254（2个）

（2n1）2（2n1）4（2n1）6

42（1个）

6264（2个）

（2n）2（2n）4（2n）6（2n）（2n2）（n1个）

3写出四阶行列式中含有因子ana23的项

解含因子ana23的项的一般形式为

（1）tana23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42

所以含因子ana23的项分别是

3

4

2

1）aiia23a34a42aiia23a34a42

（1）taiia23a34a42（

4计算下列各行列式

4207

2021

1251

41wo

102M

123

41

o

X—

o4

1210

2021

123041100q7742072021125141100

o

024

didi

9O17

90仃

024didi

123

4’

1122

4236

1120

2315

2）

o200

4234

1121

2312

q

nr

0202

4236

1120

2315

6

q

1122

4236

1120

2315

角

0200

4230

1120

2310

aedeef

gcdf

acc

bJJad

cc

bbb

f

ad

aedeef

ac

1

adfbce1

1

4abcdef

OO1d

O1c1

1b1oa1oo

oo1da1C1b

ab1OO1oo

a

oo1d

O1C1

1b1Oa1oo

角

1aba

（1）

（1）211c

01

°3dc21abaad

1c1cd010

（1）

（1）321

abad

11cd

abcdabcdad1

5证明:

a2abb2

（1）2aab2b（ab）3;

111

证明

a2abb2

2aab2b

111

c2

c3

c1

c1

a

2a

1

aba2

ba

0

b2a2

2b2a

0

a22a

b22b

（ba）（ba）?

b2a（ab）3

xyz

（a3b3）yzx

zxy

axbyaybzazbx

（2）aybzazbxaxbyazbxaxbyaybz

证明

axbyaybzazbx

aybzazbxaxby

azbxaxbyaybz

xay

bzaz

bx

yaz

bxax

by

bz

ybz

ay

az

bz

az

bx

ax

by

ay

xaybzz

yzazbx

yazbxx

b2

zxaxby

zaxbyy

xyaybz

byay

zax

ax

x

a2

xyz

yzx

a3

yzx

b3

zxy

zxy

xyz

xyz

xyz

a3

yzx

b3

yzx

zxy

zxy

xyz

（a3b3）yzx

zxy

abed

/（%

2222

x\7

1111

2222abed

cc

abed

r—l

abed

2222x\7x\71111

2222abed

a）

1dbb）（dba）

1

ba）d（dba）

8

8

5555

2a2b2c2d

3333

2a2b2c2d

1111

abcd

2222

2222abcd

o

2222

2222

1111abed

2222

2222abed

・241ddd1cc24c1b4

【24

1aaa

24

1ddd

1cc24

1bb2b4

11

0ba

1ca

1da

0b（ba）

c（ca）

d（da）

0b（ba）e

（ca）

d（da）

1

1

（ba）（ca）（d

a）b

c

b（b

a）c（ca

1

1

（ba）（ca）（d

a）0

cb

0c（c

b）（cb

a）d（d

（b

a）（c

a）（d

a）（cb）（db）

c（c

d2（d

=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abed）

xo

oo

oo

xnaixn1

an1Xan

证明

oan

oan

X2a

T—

用数学归纳法证明

当n2时D2

x1

a2xa1

x2a1x

a2命题成立

假设对于（n1）阶行列式命题成立

an2X

an1

Dn1xn1a1xn2

则Dn按第一列展开有

DnXDn1an

（1）n1

oo

oo

an

1Xan

xDn1anxna1Xn1

因此对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式D

det（aj）,把D上下翻转、或逆时针旋转

90、或依副对角线翻转

an1

ann

a1n

ann

ann

ain

D2

D3

a11

ain

a11

an1

an1

ai1

依次得

D1

n（n1）

证明D1D2

（1）丁DD3D

证明因为Ddet（aij）所以

an1

ann

a11

aln

D1

（1）n1

an1

ann

a11

a1n

a21

a2n

al1a21an1

a1na2nann

1）n2

1）n1（

1）12

（n2）（n

1）D

a3n

n（n1）

丁D

（1）

同理可证

D2（

n（n1）

1）2

aii

n（n1）

1）丁dt

n（n1）

（1）丁D

ain

ann

D3（

n（n1）

1）丁D2

n（n1）

1）丁（

n（n1）

1）丁D

（1）n（n1）DD

7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）

（1）Dn

a

1

1a

其中对角线上元素都是a未写出的元素

都是0

解

0

a

Dn

0

a

（按第n行展开）

0

0

0

a0

1

0

0

0a

0

0

（1）n1

a

0

（1）2na

a

0

a

a

0

0

0

a0

（n1）（n1）

（n1）（n1）

a

（1）n1（

1）n

ananan2an2（a2

1）

（n2）（n2）

xa

（2）DnaX

aa

a

aoo

X

o

a

aoo

X

a

aoo

X

XXX

X

aaa

解将第一行乘

（1）分别加到其余各行得

再将各列都加到第一列上得

nOO

aao

XaaoXa

aOO

[X（n1）a]（xa）n1

000xa

an（a1）n

an1（a1）n1

（an）n

（an）n1

⑶Dn1

解根据第6题结果有

n（n1）

Dn1

（1）2

an1an

此行列式为范德蒙德行列式

n（n1）

1）丁

n1i

n（n1）

1）丁

n1

n（n1）

1）丁

Dn1（

（i

j1

j）

an

⑷D2n

an

D2n

a1

q

c1

（a

（a

[（a

j1

1）n1

1）n

i1）

[（i

j1

n（n1）1

1）—2

j）]

bn

dn

bn

dn

（a

（a

（a

n）n1

n）n

j1）]

（ij）

j1

（按第1行展开）

an

cn1

0

qbi

Cidi

dn10

0dn

0dn1

bn1

a1b1

（1）2nhC1d1

dn1

0

Cn1

Cn

再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bnCnD2n2即D2n（andnbnCn）D2n2

于是

D2n

n

（期bC）D2

i2

而

D2

a1$C1d1

a〔d1b|C[

n

所以D2n（晌bc）

i1

（5）Ddet（aij）其中aj|ij|;解aj|ij|

d

n

D

1234nnnn3210210110120123

n1n2n3n4

1111o

X—

X—X—X—

X—X—X—X—

4

n

3

n

2

n

X—

oooo

n

ooo

0022

0222T—T—T—T—

5

2n

4

n

2

3

n

2

X—

n

n

）2

T—

n

n

a

T—

T—

2

a

T—

a1

T—

T—

T—

T—

25—

ooo

n

a

T—

T—

oooaao

n

a

1003300

03233oo

1a—ooo

1503

qc2

n

1

0

0

0

0

aj

1

1

0

0

0

a?

1

0

1

1

0

0

a?

1

0

0

0

1

1

an11

0

0

0

0

1

1an1

a

an

0

0

1

0

00q1

00a21

00a31

01an11

n

001ai

i1

尿3.）（1

8用克莱姆法则解下列方程组

X!

（1）2；

3为

x2

X3

2x2

3x2

X2

x45

X3

X3

2x3

4x4

5x4

11x4

解因为

142

14

51

X—

1123

5

1

1

5

1

1

3

4

5

142D2

4

5

0

1

11

0

11

D1

42

5220

X—

12

X—

1123

426

14

51

X—

5220

T—

2D

X4

D33D

X4

rd

X4

dID

T—

5

4

X—

X—

00065

00651

06510

10001

51000

00065

10001

06510

65100

51000

66

X4

6冷

5

2）

00065

00651

06510

65100

51000

为

因D

07

50006500651065106510010001

03

O0065

O0651

10001

65100

51000

2

X—

2

1OOO1

00651

06510

65100

51000

所以

X1145

X2665

703X3X4

3665M

395

665

212X4

4665

X

X2X30

9问

取何值时

齐次线性方程组

X]

x2x30有非

X!

2x2X30

零解？

解系数行列式为

11

D11

121

令DO得

0或1

于是当0或

1时该齐次线性方程组有非零解

（1）x12x24x30

10问取何值时齐次线性方程组2x1（3）x2X30

NX2

（1）X30

有非零解？

解系数行列式为

1

2

4

1

3

4

D

3

1

2

1

1

1

1

1

0

1

（1）3（3）4

（1）2

（1）（3）

（1）32

（1）23

令D0得

于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解

1已知线性变换

x12y12y2y3

x23y1y25y3

x33y12y23y3

求从变量xiX2X3到变量yiy2y3的线性变换

解由已知

12y1y2y

43

12y1yy153212233

x1x2x

153

212

233

x1x2x3y1y2y

x1x2x

y

y1y12y24

z2z33z

3zz1z

2

y1y2y

y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x3

求从Z1Z2Z3到X1X2X3的线性变换

解由已知

1

1

1

1

23

3

设A1

1

1

B1

24

求

3AB

2A及AtB

1

1

1

0

51

1

11

1

23

11

1

解

3AB2A

31

11

1

24

2

11

1

1

11

0

51

11

1

0

5

8

111

2

13

22

30

5

62

11

1

2

17

20

2

9

0

111

4

29

2

1

11

12

3

0

5

8

ATB

1

11

12

4

0

5

6

1

11

05

1

2

9

0

4

计算下列

乘积

431

7

f

（1）

123

2

570

1

43

1

7

47

3

21

1

35

解

12

3

2

17（

2）

23

1

6

57

0

1

57

7

20

1

49

z1z2z

12

03

y1y2y

125

031

224

x1x2x3

z1z2z

39

4

3z39z316

3

z24z2z

zz1z10621

1

x1x2x

3

（2）（123）2

1

解

（123）2

（1

32

23

1）

（10）

1

2

（3）

1（12）

3

2

2

（1）

22

24

解

1（12）

1

（1）

12

12

3

3

（1）

32

36

1

3

1

（A\

21400

1

2

（4）

11341

3

1

4

0

2

1

31

解

2140

0

12

6

78

解

1134

1

31

20

56

4

0

2

a11

a12

a13

x1

（5）（x1x2x3）a12

a22

a23

x2

a13

a23

a33

x3

解

a11a12

a13x1

（x1

x2x3）a12a22

a2

x2

a13a23

a33x3

（a11x1a12x2a13x3

a12x1

a22x2a23x3a13x1

x1

a23x2a33x3）x2

222a11x1a22x2a33x3

2a12x1x22a13x1x3

2a23x2x3

5设A1123B1120问

（1）ABBA吗?

解ABBA

因为AB4364BA1382所以ABBA

（2）（AB）2A22ABB2吗?

解（AB）2A22ABB2

因为AB22

（AB）2225222251841249

A22ABB243181

68101016

812341527

所以（AB）2A22ABB2

（A

B）（A

B）

而

A2

B2

38

411

（3）（AB）（AB）A2B2吗?

解（AB）（AB）A2B2因为AB2225AB22

25

10

34

故（AB）（AB）A2B2

6举反列说明下列命题是错误的

（1）若A20则A0

解取A0001则A20但A0

（2）若A2A则A0或AE

解取A0101则A2A但A0且AE

（3）若AXAY且A0则XY

解取

A

10

X

11

11

Y11

00

11

01

则AXAY且A0

但X

Y

7设A

10

1

求A2A3

Ak

解A2

10

1

10

1

10

21

A3

A2A

10

21

10

1

10

31

Ak

1k

0

1

10

8设A

0

1求Ak

0

0

解首先观察

1

0

1

0

221

A2

0

1

0

1

022

0

0

00

002

3

32

3

A

A2

A

0

3

32

0

0

3

4

43

62

A4

A

A

0

4

43

0

0

4

5

54

103

A

A4

A

0

5

54

0

0

5

k（k1）k2

Ak

用数学归纳法证明

当k2时显然成立

假设k时成立，则k1时，

kkk1k（k〔）k2

Ak1AkA

2

0kkk1

00k

k1（k1）k1

（k1）kk1

2

0

k1

（k1）k1

0

0

k1

由数学归纳法原理知

k（k1）k2

Ak

9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是对称矩阵

证明因为ata所以

（BtAB）tBt（BtA）tbtatbbtab

从而btab是对称矩阵

10设aB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分

必要条件是abba

证明充分性因为atabtb且abba所以

（AB）t（BA）tatbtab

即ab是对称矩阵

必要性因为AtaBtB且（AB）tab所以

ab（AB）tbtatba

11求下列矩阵的逆矩阵

（1）

解a12|A|1故a1存在因为

a*

A11A21

A12A22

故

A1

丄A*

52

|A|

21

（2）

cos

sin

sin

cos

解

A

cos

sin

Al

10故A1存在因为

sin

cos

A

AnA

21

cos

sin

A2A22

sin

cos

所以

A1

丄A*

cossin

|A|

sincos

12

1

⑶

34

2

54

1

12

1