全国卷Ⅲ理科.docx
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全国卷Ⅲ理科
全国卷Ⅲ（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．3 B．2
C．1D．0
解析：
A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
答案：
B
2．设复数z满足（1＋i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A．1,2B．2,2
C．2D．2
解析：
z＝2i,1＋i＝2i（1－i）,（1＋i）（1－i）＝i（1－i）＝1＋i，所以|z|＝2.
答案：
C
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析：
根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误．
答案：
A
4．（x＋y）（2x－y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．－80B．－40
C．40D．80
解析：
当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C35（2x）2（－y）3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C25（2x）3（－y）2，所以x3y3的系数为C25×23－C35×22＝10×（8－4）＝40.
答案：
C
5．已知双曲线C：
x2,a2－y2,b2＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝5,2x，且与椭圆x2,12＋y2,3＝1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．x2,8－y2,10＝1B．x2,4－y2,5＝1
C．x2,5－y2,4＝1D．x2,4－y2,3＝1
解析：
根据双曲线C的渐近线方程为y＝5,2x，可知b,a＝5,2 ①，又椭圆x2,12＋y2,3＝1的焦点坐标为（3,0）和（－3,0），所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
答案：
B
6．设函数f（x）＝cosx＋π,3，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为－2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝8π,3对称
C．f（x＋π）的一个零点为x＝π,6
D．f（x）在π,2，π单调递减
解析：
根据函数解析式可知函数f（x）的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝8π,3时，x＋π,3＝3π，所以cosx＋π,3＝－1，所以B正确；f（x＋π）＝cosx＋π＋π,3＝cosx＋4π,3，当x＝π,6时，x＋4π,3＝3π,2，所以f（x＋π）＝0，所以C正确；函数f（x）＝cosx＋π,3在π,2，2,3π上单调递减，在2,3π，π上单调递增，故D不正确．所以选D.
答案：
D
7．执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5B．4
C．3D．2
解析：
S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2,100>91；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3,90<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2，故选D.
答案：
D
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．πB．3π,4
C．π,2D．π,4
解析：
设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－1,22＝3,4，所以，圆柱的体积V＝3,4π×1＝3π,4，故选B.
答案：
B
9．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
解析：
设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即（a1＋d）（a1＋5d）＝（a1＋2d）2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，则d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6项的和S6＝1－9,2×6＝－24，故选A.
答案：
A
10．已知椭圆C：
x2,a2＋y2,b2＝1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（ ）
A．6,3B．3,3
C．2,3D．1,3
解析：
以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2ab,b2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2,a2＝6,3，选A.
答案：
A
11．已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（ ）
A．－1,2B．1,3
C．1,2D．1
解析：
由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），得f（2－x）＝（2－x）2－2（2－x）＋a[e2－x－1＋e－（2－x）＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a（e1－x＋ex－1）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），所以f（2－x）＝f（x），即x＝1为f（x）图象的对称轴．由题意，f（x）有唯一零点，所以f（x）的零点只能为x＝1，即f
（1）＝12－2×1＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝1,2.故选C.
答案：
C
12．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为（ ）
A．3B．22
C．5D．2
解析：
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0,0），B（1,0），C（1,2），D（0,2），可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为2,12＋22＝2,5，圆C：
（x－1）2＋（y－2）2＝4,5，因为P在圆C上，所以P1＋25,5cosθ，2＋25,5sinθ，AB＝（1,0），AD＝（0,2），AP＝λAB＋μAD＝（λ，2μ），所以1＋25,5cosθ＝λ，
2＋25,5sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋25,5cosθ＋5,5sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3，tanφ＝2，选A.
答案：
A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若x，y满足约束条件x－y≥0，
x＋y－2≤0，
y≥0，则z＝3x－4y的最小值为__________．
解析：
作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：
3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A（1,1）时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1.
答案：
－1
14．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝__________.
解析：
设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1（1＋q）＝－1，a1－a3＝a1（1－q2）＝－3，两式相除，得1＋q,1－q2＝1,3，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8.
答案：
－8
15．设函数f（x）＝x＋1，x≤0，
2x，x>0，则满足f（x）＋fx－1,2>1的x的取值范围是__________．
解析：
当x>0时，f（x）＝2x>1恒成立，当x－1,2>0，即x>1,2时，fx－1,2＝2x－1,2>1，当x－1,2≤0，即01,2，则不等式f（x）＋fx－1,2>1恒成立．当x≤0时，f（x）＋fx－1,2＝x＋1＋x＋1,2＝2x＋3,2>1，所以－1,4答案：
－1,4，＋∞
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）
解析：
法一：
由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体的棱长为1，
则AC＝1，AB＝2，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
以C为坐标原点，以CD的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，
CA的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．
则D（1,0,0），A（0,0,1），
直线a的单位方向向量a＝（0,1,0），|a|＝1.
B点起始坐标为（0,1,0），
直线b的单位方向向量b＝（1,0,0），|b|＝1.
设B点在运动过程中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为CB′与CD的夹角，θ∈[0,2π）．
那么AB′在运动过程中的向量AB′＝（cosθ，sinθ，－1），|AB′|＝2.
设直线AB′与a所成的夹角为α∈0，π,2，
cosα＝|（cosθ，sinθ，－1）·（0,1,0）|,|a||AB′|＝2,2|sinθ|∈0，2,2.
故α∈π,4，π,2，所以③正确，④错误．
设直线AB′与b所成的夹角为β，则β∈0，π,2，
cosβ＝|AB′·b|,|b||AB′|
＝|（cosθ，sinθ，－1）·（1,0,0）|,|b||AB′|
＝2,2|cosθ|.
当AB′与a成60°角时，α＝π,3，
|sinθ|＝2cosα＝2cosπ,3＝2×1,2＝2,2.
因为cos2θ＋sin2θ＝1，
所以|cosθ|＝2,2.
所以cosβ＝2,2|cosθ|＝1,2.
因为β∈0，π,2，
所以β＝π,3，此时AB′与b成60°角．
所以②正确，①错误．
法二：
由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝2，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝2，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
答案：
②③
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解析：
（1）由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π,3.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π,3，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6（舍去），c＝4.
（2）由题设可得∠CAD＝π,2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π,6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为1,2AB·AD·sinπ,6,1,2AC·AD＝1.
又△ABC的面积为1,2×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.
18．（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频率分布表：
最高气温
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
[35,40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
解析：
（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P（X＝200）＝2＋16,90＝0.2，P（X＝300）＝36,90＝0.4，P（X＝500）＝25＋7＋4,90＝0.4.
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20,25），则Y＝6×300＋2（n－300）－4n＝1200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×0.4＋（1200－2n）×0.4＋（800－2n）×0.2＝640－0.4n.
当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×（0.4＋0.4）＋（800－2n）×0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
19.
（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值．
解析：
（1）证明：
由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC.
又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC.
所以∠DOB为二面角DACB的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，所以
BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及
（1）知，OA，OB，OD两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A（1,0,0），B（0，3,0），C（－1,0,0），D（0,0,1）．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的1,2，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的1,2，即E为DB的中点，得E0，3,2，1,2.故AD＝（－1,0,1），AC＝（－2,0,0），AE＝－1，3,2，1,2.
设n＝（x，y，z）是平面DAE的法向量，则n·AD＝0，
n·AE＝0，
即－x＋z＝0，
－x＋3,2y＋1,2z＝0.
可取n＝1，3,3,1.
设m是平面AEC的法向量，则m·AC＝0，
m·AE＝0.同理可取m＝（0，－1，3）．
则cos〈n，m〉＝n·m,|n||m|＝7,7.
所以二面角DAEC的余弦值为7,7.
20．（本小题满分12分）已知抛物线C：
y2＝2x，过点（2,0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，－2），求直线l与圆M的方程．
解析：
（1）证明：
设A（x1，y1），B（x2，y2），l：
x＝my＋2.
由x＝my＋2，
y2＝2x可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝y21,2，x2＝y22,2，故x1x2＝（y1y2）2,4＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1,x1·y2,x2＝－4,4＝－1，所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
（2）由
（1）可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为（m2＋2，m），圆M的半径r＝（m2＋2）2＋m2.
由于圆M过点P（4，－2），因此AP·BP＝0，
故（x1－4）（x2－4）＋（y1＋2）（y2＋2）＝0，
即x1x2－4（x1＋x2）＋y1y2＋2（y1＋y2）＋20＝0.
由
（1）可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－1,2.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为10，圆M的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝10.
当m＝－1,2时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为9,4，－1,2，
圆M的半径为85,4，圆M的方程为x－9,42＋y＋1,22＝85,16.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x－1－alnx.
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，1＋1,21＋1,22·…·1＋1,2n解析：
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）．
①若a≤0，因为f1,2＝－1,2＋aln2<0，
所以不满足题意；
②若a>0，由f′（x）＝1－a,x＝x－a,x知，当x∈（0，a）时，f′（x）<0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0.
所以f（x）在（0，a）单调递减，在（a，＋∞）单调递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）的唯一最小值点．
由于f
（1）＝0，所以当且仅当a＝1时，f（x）≥0.
故a＝1.
（2）由
（1）知当x∈（1，＋∞）时，x－1－lnx>0.
令x＝1＋1,2n得ln1＋1,2n<1,2n.从而
ln1＋1,2＋ln1＋1,22＋…＋ln1＋1,2n<1,2＋1,22＋…＋1,2n＝1－1,2n<1.
故1＋1,21＋1,22…1＋1,2n而1＋1,21＋1,221＋1,23>2，所以m的最小值为3.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4 4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，
y＝kt（t为参数），直线l2的参数方程为x＝－2＋m，
y＝m,k（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解析：
（1）消去参数t得l1的普通方程l1：
y＝k（x－2）；消去参数m得l2的普通方程l2：
y＝1,k（x＋2）．
设P（x，y），由题设得y＝k（x－2），
y＝1,k（x＋2），消去k得x2－y2＝4（y≠0）．
所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0）．
（2）C的极坐标方程为ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4（0<θ<2π，θ≠π）．
联立ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，
ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0得cosθ－sinθ＝2（cosθ＋sinθ）．
故tanθ＝－1,3，从而cos2θ＝9,10，sin2θ＝1,10.
代入ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.
23．（本小题满分10分）选修4 5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解析：
（1）f（x）＝－3，x<－1，
2x－1，－1≤x≤2，
3，x>2.
当x<－1时，f（x）≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f（x）≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x>2时，由f（x）≥1解得x>2.
所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）由f（x）≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－|x|－3,22＋5,4
≤5,4，
且当x＝3,2时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝5,4.
故m的取值范围为－∞，5,4.
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