二次函数解析式.docx

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二次函数解析式

二次函数解析式的确定

适用学科

数学

适用年级

初中三年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60

知识点

解方程组、二次函数解析式的确定

教学目标

1.让学生掌握用一般式，顶点式，双根式来求二次函数解析式

2通过练习培养学生的归纳总结能力

3.情感态度与价值观：

通过对比探究锻炼孩子的总结归纳能力，提升学习方法。

不断的找到学习函数的规律和技巧。

教学重点

会用“待定系数法”确定二次函数的解析式。

教学难点

根据题意选择相对应函数形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式。

教学过程

一、复习预习

我们在学二次函数之前就学过一次函数和反比例函数，这两种函数确定解析式的方法都是：

待定系数法，那二次函数是否也可以用这种方法呢？

可以试一试，再试之前不如先来回忆一下待定系数法---先解设解析式，然后有几个系数需要确定就准备好几个点坐标，最后把点带入所设解析式求出系数，达到确定解析式的目的。

二、知识讲解

考点/易错点1：

二次函数解析式的形式

1、一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0）

2、顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0）

顶点坐标（h，k）

直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值

3、双根式：

y=a（x-

）（x-

）（a≠0）（

是抛物线与x轴交点的横坐标）

并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行

4、顶点在原点：

5、过原点：

6、顶点在y轴：

考点/易错点2：

待定系数法

先设出二次函数的表达式，其中自变量的系数和常数项用表示常数的字母代替，然后根据题目中的已知条件求出字母常数的值，则求出二次函数的表达式。

易错点：

表达式形式的选择

在求二次函数表达式时，要根据题目中不同的已知条件，灵活的选用不同函数表达式以有效地减小运算量，但注意所求函数的最后形式必须是一般式。

三、例题精析

【例题1】

【题干】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（-2，-1），且与y轴交于点C（0，3）。

求该抛物线的函数关系式。

【答案】

解：

（1）∵抛物线的顶点为Q（-2，－1），

∴设抛物线的函数关系式为

.

将C（0，3）代入上式，得

.

.

∴

，即

【解析】顶点式：

y=a（x-h）

+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．

【例题2】

【题干】已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）

A．y=2（x+1）

+8B．y=18（x+1）

-8

C．y=

（x-1）2+8D．y=2（x-1）2-8

【答案】D

【解析】顶点式：

y=a（x-h）

+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．

【例题3】

【题干】抛物线以x=3为对称轴，在y轴截距为-4，且最大值为-1，求该抛物线的函数关系式。

【答案】解：

∵抛物线对称轴为x=3，最大值为-1

∴抛物线顶点为（3，-1）

∴设函数解析式为y=a（x-3）2-1（a≠0）

∵抛物线过（0，-4）点

∴代入有-4=9a-1

∴a=-

∴y=-

（x-3）2-1

∴y=-

x2+2x-4

【解析】在y轴截距是指与y轴交点的纵坐标，由在y轴截距为-4，我们知道了抛物线过（0，-4）这个点。

我们又知道了抛物线的对称轴和顶点，也就是知道了抛物线的顶点坐标是（3，-1），知道顶点坐标求函数解析式应用顶点式最为简单。

【例题4】

【题干】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．

【答案】设二次函数的解析式为：

y=a（x-h）

+k

由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1），

与x轴的交点坐标是（0，0）和（2，0）

把顶点坐标（1，-1），代入解析式得：

y=a（x-1）

-1，

把坐标（0，0）代入解析式得：

a（0-1）

-1=0

解之得：

a=1

∴二次函数的解析式为y=x

-2x．

【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1），设抛物线解析式的顶点式y=a（x-1）

-1，再将点（0，0）代入求a即可．

四、课堂运用

【基础】

1、已知二次函数的图象经（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，那么这个二次函数的解析式是_____________．

【答案】y=-x

+3x．

【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax

+bx+c（a≠0），把（0，0），（1，2），（-1，-4）代入得：

c＝0a+b+c＝2a−b+c＝−4，

解之得a＝−1b＝3c＝0；

所以该函数的解析式为：

y=-x

+3x．

2、抛物线有最小值为-1，当x=1时，y=1，且当x≥2时，y随x的增大而增大。

求这个二次函数的解析式．

【答案】解：

∵抛物线对称轴为x=2，最大值为-1。

∴抛物线顶点为（2，-1）

∴设函数解析式为y=a（x-2）2-1（a≠0）

∵抛物线过（1,1）点

∴代入有1=a-1，∴a=2，∴y=2（x-2）2-1

∴y=2x2-8x+7

【解析】由x≥2时，y随x的增大而增大这个条件，可知抛物线的对称轴为x=2,知道抛物线的对称轴和最小值，即知道抛物线顶点坐标为（2，-1），应用顶点式最为简单，又知道抛物线上一点（1,1），代入即可求二次函数解析式

【巩固】

1、已知二次函数图象经过（0，1）（1，0）（3，0），求此二次函数的解析式．

【答案】解：

设抛物线的解析式为y=ax

+bx+c，

把（0，1），（1，0），（3，0）分别代入得：

c＝1,

a+b+c＝0，9a+3b+c＝0

解得：

c＝1

∴二次函数的解析式为：

【解析】设抛物线的解析式为y=ax

+bx+c，把（0，1）（1，0）（3，0）分别代入求出a，b，c即可．

【拔高】

1、以直线x=1为对称轴，在y轴截距为-6，与x轴两个交点间距离为4，求此二次函数的解析式．

【答案】解∵抛物线与x轴两个交点间距离为4，对称轴为x=1

∴抛物线与x轴两个交点为（-1,0）（3,0）

∴可设双根式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0）

∵抛物线过点（0，-6）

∴代入有-6=-3a

∴a=2

∴y=2（x+1）（x-3）

∴y=2x2-4x-6

【解析】．由于抛物线的对称性，知道了对称轴和与x轴两交点间距离，就可以得出抛物线在x轴上的交点坐标，所以最简单的是用双根式，之后由在y轴截距为-6，可以得出抛物线过（0，-6）点，代入可求出解析式

五、课程小结

在利用待定系数法求二次函数解析式时，为使运算简便，应注意：

①当已知抛物线经过三点或二次函数的三组对应值时，常设函数式为一般式；②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设函数式为顶点式；③当已知抛物线与x轴的两个交点时，常设函数式为两点式。

六、课后作业

【基础】

1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

求此抛物线的解析式。

【答案】解：

（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得

，

解得

，所以y=x2﹣2x

【解析】．根据题意把（0，0），（2，0）代入即可。

【巩固】

1、抛物线过（3,2）（0,5）两点，且以直线x=2为对称轴，求此抛物线的解析式。

【答案】解

（一）：

∵抛物线对称轴为x=2，

∴抛物线顶点为（2，k）

∴设函数解析式为y=a（x-2）2+k（a≠0）

∵抛物线过（3,2）（0,5）点

∴代入有

∴

∴y=（x-2）2+1

∴y=x2-4x+5

【解析】．分析：

这题和上一题很像，可以还用双根式吗？

（不能）为什么，应用什么形式解析式来解这道题，可以用两种方法解答，一是用一般式，直接根据条件代入求，二是虽然是给出对称轴，没给出顶点纵坐标，我们同样也可以用顶点式来解，此时顶点坐标为（2，k），有两个待定系数，只要再知道抛物线上两个点坐标就可以求出函数解析式。

【拔高】

1、如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

【答案】解：

（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），

∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c（a≠0），

∵抛物线经过点A′、B′、B，

∴

，解得：

，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

【解析】．根据题意找出A′、B′的坐标，把A′（﹣1，0），B′（0，2）．B（2，0）代入即可。