二次函数解析式.docx
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二次函数解析式
二次函数解析式的确定
适用学科
数学
适用年级
初中三年级
适用区域
全国
课时时长(分钟)
60
知识点
解方程组、二次函数解析式的确定
教学目标
1.让学生掌握用一般式,顶点式,双根式来求二次函数解析式
2通过练习培养学生的归纳总结能力
3.情感态度与价值观:
通过对比探究锻炼孩子的总结归纳能力,提升学习方法。
不断的找到学习函数的规律和技巧。
教学重点
会用“待定系数法”确定二次函数的解析式。
教学难点
根据题意选择相对应函数形式的解设,进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式。
教学过程
一、复习预习
我们在学二次函数之前就学过一次函数和反比例函数,这两种函数确定解析式的方法都是:
待定系数法,那二次函数是否也可以用这种方法呢?
可以试一试,再试之前不如先来回忆一下待定系数法---先解设解析式,然后有几个系数需要确定就准备好几个点坐标,最后把点带入所设解析式求出系数,达到确定解析式的目的。
二、知识讲解
考点/易错点1:
二次函数解析式的形式
1、一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0)
2、顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0)
顶点坐标(h,k)
直线x=h为对称轴,k为顶点坐标的纵坐标,也是二次函数的最值
3、双根式:
y=a(x-
)(x-
)(a≠0)(
是抛物线与x轴交点的横坐标)
并不是什么时候都能用双根式,当抛物线与x轴有交点时才行
4、顶点在原点:
5、过原点:
6、顶点在y轴:
考点/易错点2:
待定系数法
先设出二次函数的表达式,其中自变量的系数和常数项用表示常数的字母代替,然后根据题目中的已知条件求出字母常数的值,则求出二次函数的表达式。
易错点:
表达式形式的选择
在求二次函数表达式时,要根据题目中不同的已知条件,灵活的选用不同函数表达式以有效地减小运算量,但注意所求函数的最后形式必须是一般式。
三、例题精析
【例题1】
【题干】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(-2,-1),且与y轴交于点C(0,3)。
求该抛物线的函数关系式。
【答案】
解:
(1)∵抛物线的顶点为Q(-2,-1),
∴设抛物线的函数关系式为
.
将C(0,3)代入上式,得
.
.
∴
,即
【解析】顶点式:
y=a(x-h)
+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.
【例题2】
【题干】已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( )
A.y=2(x+1)
+8B.y=18(x+1)
-8
C.y=
(x-1)2+8D.y=2(x-1)2-8
【答案】D
【解析】顶点式:
y=a(x-h)
+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.
【例题3】
【题干】抛物线以x=3为对称轴,在y轴截距为-4,且最大值为-1,求该抛物线的函数关系式。
【答案】解:
∵抛物线对称轴为x=3,最大值为-1
∴抛物线顶点为(3,-1)
∴设函数解析式为y=a(x-3)2-1(a≠0)
∵抛物线过(0,-4)点
∴代入有-4=9a-1
∴a=-
∴y=-
(x-3)2-1
∴y=-
x2+2x-4
【解析】在y轴截距是指与y轴交点的纵坐标,由在y轴截距为-4,我们知道了抛物线过(0,-4)这个点。
我们又知道了抛物线的对称轴和顶点,也就是知道了抛物线的顶点坐标是(3,-1),知道顶点坐标求函数解析式应用顶点式最为简单。
【例题4】
【题干】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,求这个二次函数的解析式.
【答案】设二次函数的解析式为:
y=a(x-h)
+k
由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是(1,-1),
与x轴的交点坐标是(0,0)和(2,0)
把顶点坐标(1,-1),代入解析式得:
y=a(x-1)
-1,
把坐标(0,0)代入解析式得:
a(0-1)
-1=0
解之得:
a=1
∴二次函数的解析式为y=x
-2x.
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标是(1,-1),设抛物线解析式的顶点式y=a(x-1)
-1,再将点(0,0)代入求a即可.
四、课堂运用
【基础】
1、已知二次函数的图象经(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么这个二次函数的解析式是_____________.
【答案】y=-x
+3x.
【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax
+bx+c(a≠0),把(0,0),(1,2),(-1,-4)代入得:
c=0a+b+c=2a−b+c=−4,
解之得a=−1b=3c=0;
所以该函数的解析式为:
y=-x
+3x.
2、抛物线有最小值为-1,当x=1时,y=1,且当x≥2时,y随x的增大而增大。
求这个二次函数的解析式.
【答案】解:
∵抛物线对称轴为x=2,最大值为-1。
∴抛物线顶点为(2,-1)
∴设函数解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0)
∵抛物线过(1,1)点
∴代入有1=a-1,∴a=2,∴y=2(x-2)2-1
∴y=2x2-8x+7
【解析】由x≥2时,y随x的增大而增大这个条件,可知抛物线的对称轴为x=2,知道抛物线的对称轴和最小值,即知道抛物线顶点坐标为(2,-1),应用顶点式最为简单,又知道抛物线上一点(1,1),代入即可求二次函数解析式
【巩固】
1、已知二次函数图象经过(0,1)(1,0)(3,0),求此二次函数的解析式.
【答案】解:
设抛物线的解析式为y=ax
+bx+c,
把(0,1),(1,0),(3,0)分别代入得:
c=1,
a+b+c=0,9a+3b+c=0
解得:
c=1
∴二次函数的解析式为:
【解析】设抛物线的解析式为y=ax
+bx+c,把(0,1)(1,0)(3,0)分别代入求出a,b,c即可.
【拔高】
1、以直线x=1为对称轴,在y轴截距为-6,与x轴两个交点间距离为4,求此二次函数的解析式.
【答案】解∵抛物线与x轴两个交点间距离为4,对称轴为x=1
∴抛物线与x轴两个交点为(-1,0)(3,0)
∴可设双根式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0)
∵抛物线过点(0,-6)
∴代入有-6=-3a
∴a=2
∴y=2(x+1)(x-3)
∴y=2x2-4x-6
【解析】.由于抛物线的对称性,知道了对称轴和与x轴两交点间距离,就可以得出抛物线在x轴上的交点坐标,所以最简单的是用双根式,之后由在y轴截距为-6,可以得出抛物线过(0,-6)点,代入可求出解析式
五、课程小结
在利用待定系数法求二次函数解析式时,为使运算简便,应注意:
①当已知抛物线经过三点或二次函数的三组对应值时,常设函数式为一般式;②当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设函数式为顶点式;③当已知抛物线与x轴的两个交点时,常设函数式为两点式。
六、课后作业
【基础】
1、如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
求此抛物线的解析式。
【答案】解:
(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c得
,
解得
,所以y=x2﹣2x
【解析】.根据题意把(0,0),(2,0)代入即可。
【巩固】
1、抛物线过(3,2)(0,5)两点,且以直线x=2为对称轴,求此抛物线的解析式。
【答案】解
(一):
∵抛物线对称轴为x=2,
∴抛物线顶点为(2,k)
∴设函数解析式为y=a(x-2)2+k(a≠0)
∵抛物线过(3,2)(0,5)点
∴代入有
∴
∴y=(x-2)2+1
∴y=x2-4x+5
【解析】.分析:
这题和上一题很像,可以还用双根式吗?
(不能)为什么,应用什么形式解析式来解这道题,可以用两种方法解答,一是用一般式,直接根据条件代入求,二是虽然是给出对称轴,没给出顶点纵坐标,我们同样也可以用顶点式来解,此时顶点坐标为(2,k),有两个待定系数,只要再知道抛物线上两个点坐标就可以求出函数解析式。
【拔高】
1、如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
【答案】解:
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(﹣1,0),B′(0,2).设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A′、B′、B,
∴
,解得:
,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.
【解析】.根据题意找出A′、B′的坐标,把A′(﹣1,0),B′(0,2).B(2,0)代入即可。