解：
/>（x）=-.2（-v）=—
XX
=e=-V
方程的通解为：
y=e"**皿（f""曲Q（xMx+C）
-fFixId*,y=』（JejQ{x}dx+c）
=（x+l）'（f—Ly*&l）'dx+c）
=（x+l）'（J（x+l）dx+c）心（址）
2
即：
2尸c（x+l”（x+l）4为方程的通解。
Jx"X
c'nOH寸，方程的通解为
y=x+ln/x/+c
“=1时，方程的通解为
y=cx+xln/x/~l
0,1时，方程的通解为
_a.X1y-cx+_—
l~aa
1C3
10.X—+y=xdx
解:
型=-丄y+x，dxX
P{x）=——，2（x）=x
X
-l-dx
a=e
X
方程的通解为：
y二J叫皿（J0-卩5电（*）必+C）
=—（fx*x^tZv+c）
XJ
x'c
=—+—
4X
即+cy是方程的通解,且y=0也是方程的解。
x'c方程的通解为：
y=-+-
4X
IL—+xv=/v^
■•.
两边除以b
dyT丄3
-rr=F+x
Xdx
—=-2（-xv+x）
（fx
令严=z
-=-2（-xz+?
）
dx
P（x）=2xQx）=-2『
丿％=严=/
方程的通解为：
z=e"⑴仅卜"⑴山0（.丫）办+「）
=e”（|/'（-2x'）（Zv+（*）
=f+"'+1
故方程的通解为：
r{r+c/+0=l,Ky=0也是方程的》
13
2xydy=（2y~-x）（ixdy_2y~-x_y1dx2xyX2y
这是n=・l时的伯努利方程。
两边同除以一＞
V
/3-r_i
dxX2
〃z_2/
dx
p«=-
X
^=2y^dxdx
Q（X）二1
“■A、，，c、Inx1
12.（yInX-2）nZv=xcfy-a-+—+-
由一阶线性方程的求解公式
两边同乘以R
-V"
解竺=巴八空
ilxXX
两边除以y?
ylZvXX
心TinA2y7盂=「~
令=1
dz2inx
—=—z-—
dxXX
P（x）=-,Q{x）=-—
XX
方程的通解为：
z=e""沁
z=（J（-—）（Zx-+c）=■（_
c、\nxi=-x'+—+-
424
方程的通解为:
$（—?
+学+；）H且y=0也是解。
424
f-dxr-f-rft
Z=q_€儿dx+c）
=x+x~c
y"=x+x~c
Vdy（e）•+3"
e—_
dx
-Vdz,
令w=z——=e
dx
升津』+盒这是沪2时
axx~XX"
的伯努利方程。
两边同除以
1dz3I=—+—x・
Vdxxz
dz2y
-2yz-2y'
令一=T
z
dT1d乙
dT-3T
P（y）=・2yQ（y）=_2y
-1
Q（x）=—
A"
由一阶线性方程的求解公式
dx^2dx
P（X）上
X
由一阶线性方程的求解公式
7"=戶（Jp%+c）
Z=丿E（J-2汽J（iy+c）
=严（-J2y0dy+c）
=—y2+l+cC
1_1_3
=一一X+CX
2
——x~e+ce=x
2
—%■+x'e=c
2
15空=—^dxxy+xy
dx33
——=yv+yXJv
这是n=3时的伯努利方程。
F（_y2+i+』）=]
（_y2+]+2・y・）=R・
16J：
dyY（\亍=0+）a）ax
t/vX—=y+e
dx
P（x）=lQ（x）=/由一阶线
性方程的求解公式
尸严（F月怙+c）
=e\je^e~\lx+c）
y=e^（x+c）
（r）厂严十一刁心°
习题2・3
6M_2yCv-y）2一2;/（欠-刃（_1）_2q
并求出方程的解。
1•（X"+y）dx+（x-2y）dy=0
oN_2x（x-y）^-2x~（x-y）_2xy
OX
（A-y/
（兀一刃‘
解:
dx
dM
dy
则6MdN
dydx
则dN
所以此方程是恰当方程。
因此此方程是恰当方程。
dx（x-y）"X
dyy（x-y）2
city~
x~dx-2ydy+（ydx+xdy）=0
得:
+xy-y~=C
on
2.（y-3x"）dx-（4y_x）（fy=0
对
（1）做兀的积分，
dy
OU-（-l）y2+（x-y）2yd0（y）
T1
（x-）丁
3〃（兀分2）+〃（+）+〃（兀3）=0
_2%y+y-[de（y）
（x-y）2dy
6xy~（lx+4”厶+6x~ydy+3y~Jy=0
得:
+3x"y"+〉》=C
5.（-sin--cos—+l）dx+（-
yyx~XX
y（x-y）-
cos丄-二sin-+A）dy=0
y"yy-
COS丄+斗sin丄
XXX
2（3xy"+2x^}dx+3{2x~y+y~）dy=0
为恰当方程
讐=12心，
6
6M_6N
dydx
则此方程为恰当方程。
d（-cos
即d（x2y+y）=O故方程的解为x'y+y=C
求下列方程的解:
9\ydx-xdy=（x"+y"加
6.2x（y0「-1）dx+dy=O
解：
两边同除以x'+r得
dy
2xe
Jx/
dx
即，darctg—
Iy）
=dx
所以,
GM'N、故原方程
dydx
故方程的通解为
为恰当方程
又2xydx-2xdx+0"dy=O所以，d（y/・x2）=O故所求的解为y/川乂
X
arg/g-
\yj
10\ydx-（X+y'）c/y=0解！
方程可化为！
M严〉=）、心
7・（ex+3y2）dx+2xydy=0
解：
e”dx+3y2dx+2xydy=O
即，j=ydy
故方程的通解为：
—=—y~+c即！
2x=y（y~+cy2
eXX2dx+3x2y-dx+2x'ydy=O所以，deK（x2-2x+2）+d（x'y2）=O
即d[e^（x--2x+2）+]=O
同时，y=O也是方程的解0
故方程的解为eyX'-2x+2）+
11\（y-1-xy）（lx+xdy=0
ydx+xdy=（1+xy）dx
〃（Q）=（1+xy）dx即:
即:
疋+3x">'=c
i+xy
故方程的通解为：
Inl+Q，=x+c
14
12\（y--V"）c/x-xdy=0
[xcos（x+y）+5111（%+y）]cZv+xcos（x+y）cly=0
解：
方程可化为：
凹凸=必
M=%cos（%+y）+sin（x+y）,=xcos（x+y）
故方程的通解为
—=c-x即！
y=x（c-X）
13\（X+2y）clx+xdy=0
dydx
。
川=心（龙+小畑（卄刃
解！
这里M=x+2y,N=x
故方程的通解为:
dydx
Ixcoi（j+y）+S!
n（A+v）]1k+jxcos（j+v）jxcos（x+}j+sin（i+y）]t£v酉=c
6MdN
方程有积
即：
xsiH（x+y）=c
分因子“=丿少=x
15
（ycosjv+jfsiiix）cix+（ysinx+xcosx）cfy=o
两边乘以〃得：
方程
x{x+2y）clx+x'dy=0是恰当方
故方程的通解为：
M=ycQsx—xsinx,N=ysinx+xcos%
ydx-xdy
dMdN
子：
“=』=R两边乘以“
解：
两边同除以X,得
K（ycosx-xsinx»/x+Q（ysinx+xcosx）r/y=0
为恰当方程
x（^ydx+2xdy）+）』{3ydx+5xdy）=0
另外y=0也是方程的解。
解！
两边同乘以x'y得:
（4力2办+2xSy/v）+（3F）%+5i-n/v）=0
6・{xy+1）ydx-xdy=0
〃（・丹2）+〃（大3）,5）=0
解：
ydx-xdy+xydx=0
故方程的通解为：
4*11S
Xy~+xy=c
习题2.5
2.ydx-xdy=x~ydy
yj
——X"+c
2
liP—+—X"=cy2
另外y=0也是方程的解。
&=h
（lxXx'
解:
则
dychi1->
—=u+X——=u+—irdxdxX
（hi1—=—«dxX得到理=4irX-
dx
故丄=
即1=£+-LyXx~
另外y=0也是方程的解。
、2
解：
令4=p
dx
z/y
而=p故两边积分得到
dx
v=—-Inp+c
•2
因此原方程的解
则1+型=竺
dxdx
（lxdx即空=xdx
.=1±Z.y=ir-lnb|p2'
12.Q（d+l]=xK
I厶丿
令x+y=u
—e"=—X"+c
2
故方程的解为
dv
14・—=x+y+\dx
解J令x+y+\=It
则1+红竺
（lxdx
那么
dxdx
（ht,=ax
求得Jln（"+l）=x+c
故方程的解
ln（x+y+l）=x+c
X+y+i=ce
y=-]nn
或可写
+1=2八
16.
_（x+1）1^=2h-1
IIdx
—77
u（2it-1）
2u—1
X+1
dx
+c
ux+r
即方程的解为
2xdp
另笛泸•"煜馳加求导叽◎鸳万歹石
2"
R（x+y）=2x+c
18
1£-丄>-亡-空>空・上-2）办煮三-空>和・0・"、-4p）rfv+<-,xp'+4对妙-0
2P2P・4y2P2p・
pip'-4tdx—x{p^-4）dp4rK/wfv-xdp•U.芳p*■制彳y•±2a-''^ipdx—xdp•dfj.
■-—N.vc•r'.v
■
4x~y~（lx+2（A?
y-l）t/y=0
解：
将方程变形后得
20・b1-（欽-I
dy
4Fy2
dx2x^y-\
rfv
sind
dd
（ff：
令色•p・sn6・则yh-（$in0〉'l-hV
dx
A-f—+c-fscc^^5+r-/j?
5+r所以方程的解为f-（.wV+1•另外|hp・O得》.±1Jcos'eJ
・必■空-竺j-
psindsindcos'5cos
dx2x^-1X
21.（1+e'）4¥+r"ll-l）rfv-0
y
W：
令一-;则并.$Y+y纟方程为（Ze：
My-（z-1）护办.
ydydy
2v
4;vy
rft（z-l）rW+2-二
dyl+e'
l+r-
2+e'd：
l+d,dv
z■・•z+yr«C•—
\+eayz+r'y
ln|n卜-ln|>|.y“+ey-c・y（—）-<■所以方桂的解为x+>L22二亦—严dy.O
、dxx'
*dy~2y4y^
dz3z
dy
=|ry3
方程的解
x'=
|小
19・X（d）2-2y（d）+4x=0
dxdx
+（-3A^R/y-0
ON
业-2儿竺•亠.
6-dv
上所以方程彳痒!
分Wf丿*
2xy-2xyy
壮3.：
IR1
2q心十"二-胁・・arf2-d丄-0所以方程的解为d-丄-dipH-F-c
yyyy>•
23A'rfx-（I+x+y'）rfv-U
W：
辭—trfv-d+'Z）饥两边M除以〉2WMy：
E'・匕二dy・dt
y・y・yy-
所以方W的解为丄+¥*（・即-y（y+rJ外y-0也解.
yy
24,卜-A（x'4-y^）]-Arf>-0
«：
方程可化为■呼•皿血只"--皿所以方W的解为drag二•二Y
Ji'-^yyy2
W：
令色•p•/.X-/+e1hrfv-/wiv阳、••ffO+e*）rff+c•i—+eH-e'+cax丿2
所以方程的解加+Y
■
I4»
25•竺+眉-zOdx
解：
令^=p=/WiJa=/+Z由的v=hUFMf+f・L+e"-e'+《・dx丿2
所以方程的解为：
jc=/+e\y=Jf（l-bf'>rff+c=+<■
2y（d）fd）2+43「肉
（ixdx
2+4x
26・3+x^y+y>dx+（a-+）dy=0
2（$）
dx
cMSN
解:
翌.2卄•宀尹雲.2儿刊宁"所以方tt有枳分因帀方程两边同赋得
6Sx,v"+y'
d3r\r\+*分所以方程的解为3r\v'y+r'>^=<-
27Jy_2x+3y+4
dx4x+6y+5
令it=2x+3y
dv
■
dx
7"+22
iitf
dx2i（+5
1—ce
tr
即
如丄d“=dY
7"+22
223
9In2x+3y+—=14（3y-—x）+c
22
即为方程的通解。
22
另外，7“+22=0,HP2x+3y+y=0也
是方程的解.
28・x—-y=2x）（y2一“）dx
解：
两边同除以X,方程可化为:
Jvyc"Js亍=-+2小
axX
令-=«r则
X
x—+ti=it+2ux~（u"X"-X"）dx
即
—=2x^（u^—u）,
dx
（hl
=2rdv
"-H
——-\加2册
?
（时1）2（a-l）If
为方程的解。
冬+上=严
dxX
29・
解:
那
1duInliInm:
+
MXax%'即
（h（,
ir
两
丄宀严=C
2
即为方程的解。
Inuy=—
Inww（lx
X'
ac"y_4x'-2q'+2x
・^"3x-y--6/+3r
方程可
（4兀'-2xy^+2x）clx-（3x~y~-6y^+3y~）dy=Q
d（/+j'）-（y\fx~+x'dy^）+t/（/-/）=0
兀4+牙2+y6_y3_牙2y3=c
兀4+^6+C=（牙2+1）（），3_[）
为方程的解。
31・y~（xdx+yJy）+x（ydx一xdy）=0
方程可化
再由d（xy）=xdy+ydx»可知
y~xdx+y^dy+xydx-x~（ly=0
（**）
（**
皿+皿+班曲：
皿）=0
（i（x+y）_xy（x+y）
d（xy）x'y~
—d（x~+>■"）+%—=0
2dy
令x=Qcos&.y=psin&,则
pdp+pcos0dcfg8=0
〃sin&
pdP-—^=Q
Sin&
两边
•将sin^
=-代入得，y
p=-—+cy
即
du_UV
dvV'一1
整
duV,
—=———av
UV"-1两边
Vv"-1=cu
c（x+y）=
另外，x+y=0也是方程的解。
33・摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇
的速度减至v,=3Wo确定发动机停止2
p\y+\y=c-y-
dv
解：
—0,又Fw，由此
分钟后艇的速度•假水的阻力与艇的运动速度成正比例。
13
fc=—In-,c=In5205
从而方程
3—
卩=5〒严
守+M）船+・z”（g加）
（1）
当『=2x60=120
v（20）=5x
（1）^=0.23328米/秒
萨+⑷（f）科+•••+“"（》=人w
（2）
R卩为所求的确世发动机停止2分钟后艇的速的解，则%,（/）+x,{t}是方程
d"Xf\dfz\打\
丽+仙（f）科+•••+©（》=办（f）+
1.设兀“）和y（f）是区间a）«）在区间a学+响常+…+仇（小左卜川）
证明：
假设在天“），y（f）在区间a（3）
线形柑关
£^¥也+训卑畀+...+训训+训卜
/|Q）+/2（O
显然--为常数.与题矛甌即假
X]（0+兀2（f）是方程是
册（f）,分别是非齐线形方程
3.试验证^-A=0的基本解组为
（If-
（J.XtdxdP\-tdt
兀=0得:
if-r
"，并求方程__“COS『的通
d'ttdt
解。
证明：
由题将*代入方程匕7=0得:
d广
即I为该方程的解
同理K也是该方程的解，又显然b
八小=0出卩£丿是该方程的解,
£'线形无关，故-R是方程
同理求得0■'也是该方程的解
d~xtdx
dr1-f（It
/=0的基本解组
又显然线形无关，故
由题可设所求通解为
是^-x=0的基本解组。
dr
x（f）=Ci（f）r+6（少"，则有:
//
C,00—©2（"t=cost
由题可设所求通解为：
/
口（J+G
+C2（f”f=0（W=f—
旳）=5（少'+6（少・'’则有:
勺«）=7+仃心«）=-（2・'
+厂）+©2
故所求通解为
jv（z）=c,r+-（/+1）"
c,（r）=--£F（cosr-smf）+c;&（f）=--F（cosf+sin/）+G
44・
5.以知方程害十。
的基本解组为
故所求通解为
心7•求此方程适合初始条件
x^t）=c^e^cost
2
%（0）=1,巩0）=0及Ho）=0,巩0）=I
4.试验证心E
dr+1-曲
的基本解组（称为标准基本解组，即有
n<0）=l）并求出方程的适合初始条件
基本解组I,并求方程
x（O）=Xo，x'（O）=Xo的解。
解：
由题将I代入方程
组，故存在常数勺心使得:
x（0）=ty（0）=0,于是有:
C”+c^e^
1.解下列方程
（1）兀⑷一5兀"+4%=0
方程适合初始条件的基本解组为:
特征方程
才-3“兄2+3"2/1—"3=0
而此方程同时满足初始条件
有三重根2=n•故通解为
重根A=0＞易=2,4=・2
故Hf）=匹如”+卫二巴
-f
满足要求的解。
9/J）/9
X二C^"+（2厂+（3厂+邙+（5
（4）F+2V+10x=0
解：
特征方程才+2几+10=0有
方程解得z,=-^r^=-
62
故通解为S=Ci+cf■丄心+3）
6
复数根人=-1+31,71,=-l-3i
（7）x"-4x^+5x'-2x=2t+3
解：
特征方程A'-4/1-+51-2=0
X=仔7cos3f+02水'sin3r
有根人=2俩重根几=1
（5）x"+x+x=0
解：
特征方程才+2+1=0有复
齐线性方程的通解为
数根易=宁皆斗
又因为几=0不是特征根，故可以取特解行如壬=4+/代
入原方程解得A=-4»B=-l
丄73丄73
x=c.e2cos—t+c.e2sin—tI2-2
X=C|e"'+C2R+c^te^-4-t
（6）$"-几=/+1解:
特征方程才一/=0有根
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