八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案新版新人教版.docx

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八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案新版新人教版

第十四章　整式的乘法与因式分解

14．1　整式的乘法

14．1.1　同底数幂的乘法

1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．

重点

正确理解同底数幂的乘法法则．

难点

正确理解和应用同底数幂的乘法法则．

一、提出问题，创设情境

复习an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．

（出示投影片）

提出问题：

（出示投影片）

问题：

一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？

[生]运算次数＝运算速度×工作时间，

所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：

1015×103.

[师]1015×103如何计算呢？

[生]根据乘方的意义可知

1015×103＝（10×10×…×10）15个10×（10×10×10）＝（10×10×…×10）18个10＝1018.

[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．

二、探究新知

1．做一做

（出示投影片）

计算下列各式：

（1）25×22；

（2）a3·a2；

（3）5m·5n.（m，n都是正整数）

你发现了什么？

注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．

[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．

[生]

（1）25×22＝（2×2×2×2×2）×（2×2）

＝27＝25＋2.

因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得

a3·a2＝（a·a·a）（a·a）＝a5＝a3＋2.

5m·5n＝（5×5·…·5）,\s\do4（m个5））×（5×5·…·5）,\s\do4（n个5））＝5m＋n.

[生]我们可以发现下列规律：

am·an等于什么（m，n都是正整数）？

为什么？

（1）这三个式子都是底数相同的幂相乘；

（2）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

2．议一议

（出示投影片）

[师生共析]

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

am·an＝（a×a·…·a）m个a·（a×a·…·a）n个a＝a·a·…·a（m＋n）个a＝am＋n

于是有am·an＝am＋n（m，n都是正整数），用语言来描述此法则即为：

“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．

[生]am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m＋n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an＝am＋n.

[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．

3．例题讲解

出示投影片

[例1]计算：

（1）x2·x5;

（2）a·a6；

（3）2×24×23;（4）xm·x3m＋1.

[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？

[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？

[生1]

（1），

（2），（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．

[生2]（3）也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．

[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．

生板演：

（1）解：

x2·x5＝x2＋5＝x7；

（2）解：

a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；

（3）解：

2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；

（4）解：

xm·x3m＋1＝xm＋（3m＋1）＝x4m＋1.

[师]接下来我们来看例2.受（3）的启发，能自己解决吗？

与同伴交流一下解题方法．

解法一：

am·an·ap＝（am·an）·ap

＝am＋n·ap＝am＋n＋p；

解法二：

：

am·an·ap＝am·（an·ap）＝am·an＋p＝am＋n＋p；

解法三：

am·an·ap＝（a·a…a）m个a·（a·a…a）n个a·（a·a…a）p个a＝am＋n＋p

归纳：

解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．

[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．

[师]是的，能不能用符号表示出来呢？

[生]am1·am2·am3·…amn＝am1＋m2＋m3＋…mn.

[师]鼓励学生．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．

2×24×23＝21＋4＋3＝28.

三、随堂练习

1．m14可以写成（　　）

A．m7＋m7B．m7·m7

C．m2·m7D．m·m14

2．若xm＝2，xn＝5，则xm＋n的值为（　　）

A．7B．10C．25D．52

3．计算：

－22×（－2）2＝________；

（－x）（－x2）（－x3）（－x4）＝________．

4．计算：

（1）（－3）2×（－3）5；

（2）106·105·10；

（3）x2·（－x）5；

（4）（a＋b）2·（a＋b）6.

四、课堂小结

[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？

[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．

[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：

一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n（m，n是正整数）．

五、课后作业

教材第96页练习．

本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．

14．1.2　幂的乘方

1．知道幂的乘方的意义．

2．会进行幂的乘方计算．

重点

会进行幂的乘方的运算．

难点

幂的乘方法则的总结及运用．

一、复习引入

（1）叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：

（2）计算：

①a2·a5·an；②a4·a4·a4.

二、自主探究

1．思考：

根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：

（1）（32）3＝32×32×32＝3（　　）；

（2）（a2）3＝a2·a2·a2＝a（　　）；

（3）（am）3＝am·am·am＝a（　　）．（m是正整数）

2．小组讨论

对正整数n，你认识（am）n等于什么？

能对你的猜想给出验证过程吗？

幂的乘方（am）n＝am·am·am…amn个

　　　　　　＝am＋m＋m＋…m,\s\up6（n个m））

　　　　　　＝amn

字母表示：

（am）n＝amn（m，n都是正整数）

语言叙述：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

注意：

幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把（a5）2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.

三、巩固练习

1．下列各式的计算中，正确的是（　　）

A．（x3）2＝x5　　　　　　B．（x3）2＝x6

C．（xn＋1）2＝x2n＋1　　　　D．x3·x2＝x6

2．计算：

（1）（103）5;

（2）（a4）4；

（3）（am）2;（4）－（x4）3.

四、归纳小结

幂的乘方的意义：

（am）n＝amn.（m，n都是正整数）

五、布置作业

教材第97页练习．

运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．

14．1.3　积的乘方

1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．

2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．

重点

积的乘方运算法则及其应用．

难点

幂的运算法则的灵活运用．

一、问题导入

[师]　提出的问题：

若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

[生]　它的体积应是V＝（1.1×103）3cm3.

[师]　这个结果是幂的乘方形式吗？

[生]　不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．

[师]　积的乘方如何运算呢？

能不能找到一个运算法则？

用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．

二、探索新知

老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．

（出示投影片）

1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？

（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（a·a）·（b·b）＝a（　　）b（　　）；

（2）（ab）3＝________＝________＝a（　　）b（　　）；

（3）（ab）n＝________＝________＝a（　　）b（　　）．（n是正整数）

2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．

3．解决前面提到的正方体体积计算问题．

4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？

请验证你的想法．

5．完成教材第97页例3.

学生探究的经过：

1．

（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（a·a）·（b·b）＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出

（2），（3）题；

（2）（ab）3＝（ab）·（ab）·（ab）

＝（a·a·a）·（b·b·b）＝a3b3；

（3）（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）n个ab

＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝anbn.

2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．

用符号语言叙述便是：

（ab）n＝an·bn.（n是正整数）

3．正方体的V＝（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：

V＝（1.1×103）3＝1.13×（103）3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109（cm3）．

通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：

（ab）n＝an·bn.（n为正整数）

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

再考虑如下问题：

（abc）n如何计算？

是不是也有类似的规律？

3个以上的因式呢？

学生讨论后得出结论：

三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即（abc）n＝an·bn·cn.（n为正整数）

4．积的乘方法则可以进行逆运算．即an·bn＝（ab）n.（n为正整数）

分析这个等式：

左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：

同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．

看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．

对于an·bn＝（a·b）n（n为正整数）的证明如下：

an·bn＝（a×a×…×a）n个a（b×b×…×b）n个b——幂的意义

＝（ab）（ab）（ab）（ab）…（ab）n个（ab）——乘法交换律、结合律

＝（a·b）n——乘方的意义

5．[例3]

（1）（2a）3＝23·a3＝8a3；

（2）（－5b）3＝（－5）3·b3＝－1