相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案.docx
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相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形性质与判定的综合运用
一、解答题
1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点©处，点D落在点2处，交线段AE于点G.
D
（1）求证：
ABC^F^^AGC^
（2）若Ci是AB的中点，AB=6,BC=9、求AG的长.
2.已知：
如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE丄AP.DF丄AP.垂足
分别是点匚F.
（1）求证：
EF=AE-BE.
（2）连接BF,如果冷=务，求证：
EF=EP.
3.如图，四边形ABCD.CDEF、EFGH都是正方形.
⑴△MCF与△力CG相似吗？
说说你的理由.
（2）求Z1+Z2的度数・
4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A^AE丄BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且乙=・
⑴求证：
'ADFfDEC；
（2）若力3=&AD=6晶AF=4^，求AE的长.
AD
5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯人，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G,DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身髙为1・7米，求路灯A离地而的高度.
6.已知：
如图，'ABC为等腰直角三角形，^ACB=90%点E、F是AB边所在直线
上的两点，且ZECF=135°.
⑴求证：
'ECAs'CFB；
（2）若SE=3,设AB=x.BF=y,求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值
范困.
如怪I,四边形ABCD中，AC平分乙ZL4B,乙ADC=
LACB=90%E为AB的中点，
（1）求证：
AC2=AB力D；
（2）求证：
\AFD7CFE・
8.如图，在四边形ABCD中ME//DC,BC>AD,乙D=90。
，4C丄3C,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以lcm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为/秒（0VtV5）.
（1）求证：
AACD^ABAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：
'BEF可以为等腰三角形吗？
若能，求/的值；若不能，请说明理由.
（4）
1若BC=12,求线段BE的长；
2若"FC的而积是20,求△加C的面积.
10.小玲用下而的方法来测量学校教学大楼AB的髙度：
如图，在水平地面上放一面平而镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面髙度DC=1.6米.请你帮助小玲讣算出教学大楼的髙度AB是多少米？
・
答案和解析
1.【答案】解：
⑴证明：
由题意可知"=乙8=ZGC1F=90°,
・•・乙BFC±+乙BC[F=90°,MC±G+ZBQF=90°,
•"-乙BFGl=GiG、
・•・△BC'Fs、AGC^・
（2）・・・6\是AB的中点，AB=6.
••-AC^=BC]=3,
•・・CF=C]F,・•・C1F=BC-BF=9-BF,
・・・乙B=90°,・・・BF2+BCf=ClF2,
RPBF2+32=（9-FF）2,解得BF=4,
由
（1）得△AGCl^Abc±f,
AG_AClAG3
…iq_bF*•••V—
解得4G=?
.
4
【解析】本题考查相似三角形的判泄与性质、矩形的性质、翻折变化.解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答.
（1）根据题意和图形可以找岀△BC\F7力GC1的条件，从而可以解答本题：
（2）根据勾股定理和
（1）中的结论可以求得AG的长.
2.【答案】证明：
（1）•••四边形ABCD为正方形，
aAB=AD.乙BAD=90。
.
・・・BE丄AP.DF丄AP9
・・・£.BEA=£AFD=90°.
•・・乙1+乙2=90。
，乙2+乙3=90°,
・•・Z1=乙3.
Z.BEA=乙AFD,
Z1=Z3,
AB=DA9
在△力EEH】2\ZL4F中，
MABEW'DAF,
・•・BE=AF.
・•・EF=AE-AF=AE-BE.
筈=务而肋=EE・
BE_DF
BFAD
BE_BF"DFAD
・•・Rt△BEF^Rt△DFA.
・•・乙4=乙3・•・•Z1=乙3,・•・Z4=Zl.
•・・乙5=Zl,・•・乙4=Z.5.
即BE平分,而BE丄EP,
【解析】本题主要考査了相似三角形的判左与性质：
在判泄两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.也考査了全等三角形的判肚与性质和正方形的性质.
（1）利用正方形的性质^AB=AD,/.BAD=90°，根据等角的余角相等得到Z1=Z3,则可判断△朋陀△»，，则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论：
（2）利用竺=氏和MF=8E得到生=—,则可判泄肮△BEF^Rt△DF4所以乙4=乙3,
vzBFADDFAD
再证明乙4=乙5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.
3.【答案】解：
⑴相似.
理由：
设正方形的边长为心
AC=\fa2+a2=>/2a，
••耸=警=晶4去=晶
ACCG
•••五=药'
・・・MCF=乙ACF,
・•・△ACF^LGCA；
（2）r\ACF~\GCA、
・•・Z1=乙CAF,
・・・ZC>1F+Z2=45%
・・・Z.l+Z2=45°.
【解析】
（1）设正方形的边长为“，求出AC的长为返a，再求出△力CF与厶GC4中夹"CF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判ACF与AGCA相似：
（2）根据相似三角形的对应角相等可得乙1=乙G4F,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，乙2+乙C4F="C8=45。
，所以乙1+乙2=45。
・
本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判左和相似三角形对应角相等
的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键.
4.【答案】
（1）证明：
•••四边形ABCD是平行四边形,.-.AB//CD,AD//BC,
・•・乙C+乙3=180°,Z-ADF=厶DEC.
・・•ZJ1FD+£AFE=180%£AFE=乙3,
・••£AFD=乙C・
・•・△ADF^ADEC・
（2）解：
・••四边形ABCD是平行四边形,••・CD=AB=&由⑴知△仙25DEC,
AD_AF
DE—CD
...D*讐二辔在中，由勾股泄理得：
AE=pDE2_AD2=6・
【解析】
（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：
HADF7DEC；
⑵由bADFs'DEC,得比例，求出DE的长.利用勾股立理求出AE的长.
此题考査了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判立与性质是解本题的关键.
5.【答案】解：
•••CD//AB.
・•・△ECDt
CD
AB
・・・FG//AB.
・•・△HFGs'HAB,
FG
■―■
■■——
AB
f即朋BQ+5+4②'
由①②得岛=缶，解得BD",
L7・•・—=AB
=—,解得月3=10.2.15+3
答：
路灯A离地而的髙度为10・2m・
【解析】根据相似三角形的判迄由CD//AB得厶EAB7ECD,利用相似比有三=虫亍
AB3+3D同理可得器=莎鼻，然后解关于AB和BD的方程组求出AB即可.
本题考査了相似三角形的应用：
利用影长测量物体的髙度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物髙与影长的比相等”的原理解决.
6.【答案】
（1）证明:
沁ABC为等腰直角三角形，MCB=90。
・・・AC=BC.
・・・Z.CAB=乙CBA=45%
・・・ZLCAE=180°-45°=135°,
同理乙CEF=135%
・•・乙C4E=厶CBF,
•・・乙ECF=135%MCB=90°,
・・・LECA+乙BCF=45%
•・・乙ECA+Z.E=乙CAB=45°,
・•・乙E=乙BCF,
•・・Z.CAE=乙CBF,・•・△ECA®、CFB\
（2）解：
-AB=x,ZLCAB=45°,乙ACB=90。
AC=BC.
.・•sin45°=吕
・・•由
（1）^IAECAfCFB,
12
・・*=严
x的取值范用是尤＞0,
即y与兀之间的函数关系式是y二土疋.x的取值范围是兀＞0.
【解析】
（1）根据等腰直角三角形性质求岀^CAE=乙CBF=135%求出乙EC4+乙BCF=
45%乙E+乙力CE=45。
，推岀厶E=/BCF,即可推出两三角形相似：
（2）根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数左义求岀AC和BC长，根拯两时间相似得出比例式，代入即可求岀答案.
本题考査了相似三角形的性质和判左，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的左义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力.
7.【答案】⑴证明:
'：
AC平分乙DAB,
乙DAC=厶CAB»
・・•£ADC=MCB=90。
，
・•・△ADC^AACB,
・•・AD：
AC=AC：
AB.
aAC2=AB•力D；
（2）证明：
•••£为AB的中点，
・・・CE=BE=AE.
・••乙EAC=厶ECA,
・・•乙DAC=乙CAB,
・•・乙DAC=乙ECA,
・••CE//AD,
・•・△AFD^CFE・
【解析】
（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE,根据等腰三角形的性质得到^EAC=
乙EG4,推出AD//CE即可解决问题；
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判左，掌握相似三角形的判左立理和性质左理是解题的关键.
8.【答案】
（1）证明：
•••CD/A48,
Z.BAC=Z.DCA
又4C丄BC,Z.ACB=90°,
Z.D=Z.ACB=90°,
ACD^-^BAC:
（2）解：
在△力3C中，AC=y/AB2-BC2=8^
由
（1）知，4ACD7BAC,
，.兰=竺,
ACBA
即兰=
8
解得：
DC=6.4；
（3）能・由运动知，BF=2t,BE=t,
"FB若为等腰三角形，可分如下三种情况：
1当BF=BE时，10-2t=t,解得七二牛秒.
2
当EF=EB时，如图，过点E作的垂线,为G,
贝IJBG=^BF=^（10一2。
•此时△BEGs\BAC・••竺=竺,即匸-抽0-2»
ABBCiq6
@2
解得：
t=f：
3当FB=FE时，如图2,过点F作AB的垂线，垂足为H
则=-BE=坯•此时△BFHfBAC
22
・BF=叩10-2t_士
••ABBC‘」=
解得：
心菩综上所述：
当、EFB为等腰三角形时，『的值为丰秒或罟秒或菩秒.
【解析】⑴利用平行线判断出乙BAC=2CA,即可得岀结论；
（2）先根据勾股左理求出M=8,由⑴知，得岀靠=缶，即可得岀结论：
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得岀比例式建立方程求解即可得岀结论.
此题是相似形综合题，主要考査了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键.
9.【答案】
（1）证明:
•:
DE11AC、•••Z.DEB=乙FCE,
・・・EF//AB.
・•・乙DBE=厶FEC,・•・△BDEs\EFC；
（2）解：
①•••EF/A48,
BEAF1
■——
■■———,ECFC2
・・・EC=BC-BE=12—BE,
BE1
:
•=_>
12-BE2
解得：
BE=4;
②喰
FC2
・・•EF//AB,・•・△EFCs\BAC9
••鬻=倉弋）=,
S^ABC=
99
=4EFC=tX20=45.
【解析】
（1）由平行线的性质得出厶DEB="CE,厶DBE="EC,即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出篇=等=扌，即可得岀结果；
②先求出务=p易证△EFC7BAC,由相似三角形的而积比等于相似比的平方即可得岀结果.
本题考査了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识：
熟练掌握相似三角形的判
定与性质是解题的关键.
10.【答案】解：
根据题意可得：
乙AEB="ED,乙BAE=ZDCE=90。
・•・△ABEs△CDE,
ABAE
:
■=t
CDCE
AB_21
-eL6~2S*
・・•AB=13.44（米）・
答：
教学大楼的髙度AB是13.44米.
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