初中数学动点问题例题集.docx
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初中数学动点问题例题集
动点问题专题训练
1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
解：
（1）①∵秒，
∴厘米，
∵厘米，点为的中点，
∴厘米．
又∵厘米，
∴厘米，
∴．
又∵，
∴，
∴．（4分）
②∵，∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒．（7分）
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇．（12分）
2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
解
（1）A（8，0）B（0，6）1分
（2）
点由到的时间是（秒）
点的速度是（单位/秒）1分
当在线段上运动（或0）时，
1分
当在线段上运动（或）时，,
如图，作于点，由，得，1分
1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）1分
3分
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
解：
（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），
与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8.
由题意，OP=－k，
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2，
∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，
∴PE=.
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，
∴
∴，
∴，
∴.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P（0,－－8），
∴k=－－8，
∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
解：
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？
若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
解：
（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
∴，
即．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即．解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP ∽△ABC，得，
即．解得．
（4）或．
①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，．
由，得，解得．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，】
6如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；
②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
解
（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.
∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形.……………………6分
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2.
∴AO==.……………………8分
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形……………………10分
7如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
（3）试探究：
为何值时，为等腰三角形．
解：
（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形
∴1分
在中，
2分
在中，由勾股定理得，
∴3分
（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴4分
由题意知，当、运动到秒时，
∵
∴
又
∴
∴5分
即
解得，6分
（3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即
∴7分
②当时，如图④，过作于
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
在中，
又在中，
∴
解得8分
解法二：
∵
∴
∴
即
∴8分
③当时，如图⑤，过作于点.
解法一：
（方法同②中解法一）
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
解得
解法二：
∵
∴
∴
即
∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形9分
8如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？
若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？
若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
解
（1）如图1，过点作于点1分
∵为的中点，
∴
在中，∴2分
∴
即点到的距离为3分
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，
同理4分
如图2，过点作于，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在中，
∴的周长=6分
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，
∴7分
∵是等边三角形，∴
此时，8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
当时，如图4，这时
此时，
当时，如图5，
则又
∴
因此点与重合，为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形．10分
9如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在
（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
解：
（1）（1，0）1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．2分
（2）过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．
∴．
在Rt△AFB中，3分
过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．
∵∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴所求C点的坐标为（14，12）．4分
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴．．
∴．∴．
设△OPQ的面积为（平方单位）
∴（0≤≤10）5分
说明:
未注明自变量的取值范围不扣分．
∵<0∴当时，△OPQ的面积最大．6分
此时P的坐标为（，）．7分
（4）当或时，OP与PQ相等．9分
10数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：
AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：
（1）正确．（1分）
证明：
在上取一点，使，连接．（2分）
．，．
是外角平分线，
，
．
．
，，
．
（ASA）．（5分）
．（6分）
（2）正确．（7分）
证明：
在的延长线上取一点．
使，连接．（8分）
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
（ASA
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