新北师大版八年级数学下册第二章教学设计.docx

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新北师大版八年级数学下册第二章教学设计

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

2.1不等关系

一、教学目标

1.知识与技能:

理解不等式的意义;能根据条件列出不等式.

2.过程与方法:

通过列不等式,训练学生的分析判断能力和逻辑推能力.

3.情感态度与价值观:

通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.

二、教学重难点

1.重点:

用不等关系解决实际问题.

2.难点:

正确理解题意列出不等式.

三、教学课时:

1课时

四、教法与学法:

讨论探索法

五、教具准备:

多媒体课件

六、教学过程

(一)创设问题情境,引入新课

我们学过等式,知道利用等式可以解决许多问题.同时,我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系,利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系,以及不等关系的应用.

(二)新课讲授

既然不等关系在现实生活中并不少见,大家肯定接触过不少,能举出例子吗?

那么,如何用式子表示不等关系呢?

请看例题.(课件)

例1:

用两根长度均为lcm的绳子,分别围成一个正方形和圆.

(1)如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?

(2)如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?

(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?

l=12呢?

(4)你能得到什么猜想?

改变l的取值,再试一试.

本题中大家首先要弄明白两个问题,一个是正方形和圆的面积计算公式,另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.两数比较有大于、等于、小于三种情况,“不大于”就是等于或小于.

下面请大家互相讨论,按照题中的要求进行解答.

猜想:

用长度均为lcm的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即

.

做一做:

课件

通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位,某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约为3cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m?

(只列关系式).

[师]请大家互相讨论后列出关系式.

议一议:

观察由上述问题得到的关系式,它们有什么共同特点?

一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.

[例]用不等式表示

(1)a是正数;

(2)a是负数;(3)a与6的和小于5;

(4)x与2的差小于-1;(5)x的4倍大于7;(6)y的一半小于3.

(三)随堂练习

当x=2时,不等式x+3>4成立吗?

当x=1.5时,成立吗?

当x=-1呢?

(四)课时小结

能根据题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解.通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.

(五)课后作业:

习题1.1第1题,第2题,第3题,第4题.

(六)板书设计:

2.1不等关系

不等式:

用来表示不等关系的式子叫不等式。

用符号>、<、

连接的式子叫不等式。

(七)课后反思

 

2.2不等式的基本性质

一、教学目标

1.知识与技能:

探索并掌握不等式的基本性质;理解不等式与等式性质的联系与区别.

2.过程与方法:

通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提高大家的辨别能力.

3.情感态度与价值观:

通过大家对不等式性质的探索,培养大家的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与交流.

二、教学重难点

1.重点:

探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用.

2.难点:

能根据不等式的基本性质进行化简.

三、教学方法:

类推探究法

四、教具准备:

粉笔,三角板

五、教学课时:

1课时

六、教学过程

(一)创设问题情境,引入新课

我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗?

等式的基本性质1:

在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.

基本性质2:

在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.

不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?

本节课我们将加以验证.

(二)新课讲授

1.不等式基本性质的推导

等式的性质我们已经掌握了,那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢?

请大家探索后发表自己的看法.

3<5∴3+2<5+23-2<5-23+a<5+a3-a<5-a

有以上推理你可以得到什么猜想?

不等式性质1:

在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.

∵3<5∴3×2<5×23×

<5×

.

[师]同学们又可以得到什么猜想?

结论:

在不等式的两边都乘以同一个数,不等号的方向不变.

不对,如3<5,3×(-2)>5×(-2)

所以上面的总结是错的.

看来大家有不同意见,请互相讨论后举例说明.

如3<43×3<4×33×

<4×

3×(-3)>4×(-3)

3×(-

)>4×(-

)3×(-5)>4×(-5)

不等式性质2:

在不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变.

[师]非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?

请大家用类似的方法进行推导.

不等式性质3:

当不等式的两边同时除以一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同时除以一个负数时,不等号的方向改变.

2.用不等式的基本性质解释

的正确性

[师]在上节课中,我们知道周长为l的圆和正方形,它们的面积分别为

,且有

存在,你能用不等式的基本性质来解释吗?

3.例题讲解

[例]将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.

(1)x-5>-1;

(2)-2x>3;(3)3x<-9.

说明:

在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时,要注意数的正、负,从而决定不等号方向的改变与否.

4.议一议(小黑板)

讨论下列式子的正确与错误.

(1)如果a<b,那么a+c<b+c;

(2)如果a<b,那么a-c<b-c;

(3)如果a<b,那么ac<bc;(4)如果a<b,且c≠0,那么

.

在上面的例题中,我们讨论的是具体的数字,这种题型比较简单,因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数,从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母,因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负数.本题难度较大,请大家全面地加以考虑,并能互相合作交流.

在利用不等式的性质2和性质3时,关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数,从而确定不等号的改变与否.

不等式的基本性质有三条,而等式的基本性质有两条.

区别:

在等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时,所得结果仍是等式;在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况,若为正数则不等号方向不变,若为负数则不等号的方向改变.

联系:

不等式的基本性质和等式的基本性质,都讨论的是在两边同时加上(或减去),同时乘以(或除以,除数不为0)同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.

(三)课堂练习

1.将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.

(1)x-1>2

(2)-x<

2.已知x>y,下列不等式一定成立吗?

(1)x-6<y-6

(2)3x<3y(3)-2x<-2y

(四)课堂小结:

本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质;利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.

(五)课后作业:

习题1.2

(六)板书设计

2.2不等式的基本性质

不等式的基本性质1:

不等式的两边同时加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。

不等式的基本性质2:

不等式的的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

不等式的基本性质3:

不等式的的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变。

(七)课后反思

 

2.3不等式的解集

一、教学目标

1.知识与技能:

能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义;理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义;会在数轴上表示不等式的解集.

2.过程与方法:

培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力;经历求不等式的解集的过程,发展学生的创新意识.

3.情感态度与价值观:

从实际问题抽象为数学模型,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,通过探索求不等式的解集的过程,体验数学活动充满着探索与创造.

二、教学重难点

1.教学重点:

理解不等式中的有关概念;探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

2.教学难点:

探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

三、教法与学法:

引导学生探索学习法

四、教学课时:

1课时

五、教具准备:

三角板

六、教学过程

(一)创设问题情境,引入新课

上节课,我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质,并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.

在学习了等式的基本性质后,我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程,知道了方程的解、解方程等概念,大家还记得这些概念吗?

上节课我们用类推的方法,仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢?

本节课我们就来试一试.

(二)新课讲授

1.现实生活中的不等式.

燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02m/s,人离开的速度为4m/s,那么导火线的长度应为多少厘米?

2.想一想:

(1)x=5,6,8能使不等式x>5成立吗?

(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗?

(3)x=9,10,11……等比5大的数都能使不等式x>5成立.

由此看来,6,7,8,9,10……都能使不等式成立,那么大家能否根据方程的解来类推出不等式的解呢?

不等式的解唯一吗?

能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

正因为不等式的解不唯一,因此把所有满足不等式的解集合在一起,构成不等式的解集(solutionset).

请大家再类推出解不等式的概念.求不等式解集的过程叫解不等式.

3.议一议:

请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴交流.

请大家讨论一下,如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢?

请举例说明.

如x>3,即为数轴上表示3的点的右边部分,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点.

x<3,可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示,在这一点上画空心圆圈.

x≥3,可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示,在表示3的点的位置上画实心圆点,表示包括这一点.

x≤3,可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示,在表示3的点的位置上画实心圆点.

4.[例1]根据不等式的基本性质求不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来.

(1)x-2≥-4;

(2)2x≤8(3)-2x-2>-10

(三)课堂练习:

P12页第1题,第2题,习题1.3第1题.

(四)课时小结:

1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念.

2.会根据不等式的基本性质解不等式,并把解集在数轴上表示出来.

(五)课后作业:

习题1.3

(六)板书设计:

2.3不等式的解集

概念解释:

不等式的解:

能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

不等式的解集:

把所有满足不等式的解集合在一起,构成不等式的解集(solutionset).

解不等式:

求不等式解集的过程叫解不等式.

(七)课后反思:

 

2.4一元一次不等式

第一课时

一、教学目标

1.知识与技能:

会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.

2.过程与方法:

让学生经历一元一次不等式概念的形成过程,通过类比理解一元一次不等式的解法.

3.情感态度与价值观:

初步认识一元一次不等式的应用价值,发展学生分析,解决问题的能力.

二、教学重难点

1.教学重点:

掌握简单的一元一次不等式的解法,并能表示在数轴上.

2.教学难点:

对一元一次不等式解法的理解.

三、教法与学法:

探索讨论法,学生类比一元一次方程的解法来解一元一次不等式

四、教具准备:

直尺

五、教学课时:

1课时

六、教学过程

(一)回顾交流,观察导入.

练一练:

解下列一元一次方程:

1,4x-3=5x+7;2.3(2x-1)=4.

点评:

通过练习解一元一次方程,既让学生复习一元一次方程的概念,又让学生复习一元一次方程的解法,为本节课埋下伏笔.

观察下列不等式:

(1)2x-2.5≥15

(2)x≤8.75(3)x<4

(4)5+3x>240.这些不等式有哪些共同特点?

(二)观察导入:

上述这些不等式左右两边都是整式,而且都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.

[例1]下列式子中,那些是一元一次不等式?

(1)x2+x<1

(2)

+2>0(3)x-3>y+4(4)2x+3<8

例题精讲:

[例2]解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上.

思路点拨:

与解一元一次方程类似,大致按以下五个步骤进行:

(1)去分母;

(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为一.在上面的步骤

(1)和(5)中,如果乘数或除数是负数,则要改变不等式的方向.

解:

移项得:

-x-2x﹤6-3

合并同类项得:

-3x﹤3

两边都乘以-3得:

x﹥-1

这个不等式的解集在数轴上表示如下:

点评:

在数轴上表示不等式的解集时,第一,应正确地画出数轴;第二,要注意不等号的方向,如表示“﹥a”的解集为点右边的部分,而“﹤a”则为点左边的部分;第三,要注意端点的情况,如本题中不含-1,因此x=-1是空心圆圈,反之是实心圆点.

[例3]解不等式

并把它的解集表示在数轴上.

(三)随堂练习:

课本15页第1题.

(四)课堂小结:

1.提问:

什么叫做一元一次不等式?

2.请你归纳总结一元一次不等式的解题方法以及所要注意的问题.

(五)课后作业:

习题1.41.2

(六)板书设计:

2.4一元一次不等式

(1)

一元一次不等式:

不等式左右两边都是整式,而且都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.

例:

3-x<2x+6

解:

3-x<2x+6

移项得:

-x-2x﹤6-3

合并同类项得:

-3x﹤3

两边都乘以-3得:

x﹥-1

这个不等式的解集在数轴上表示如下:

(七)课后反思:

 

2.4一元一次不等式

第二课时

一、教学目标

1.知识与技能:

进一步巩固求一元一次不等式的解集;能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.

2.过程与方法:

通过学生独立思考,培养学生用数学知识解决实际问题的能力.

3.情感态度与价值观:

通过学生自主探索,培养学生学数学的好奇心与求知欲,使他们能积极参与数学学习活动,锻炼克服困难的意志,增强自信心.

二、教学重难点

1.教学重点:

求一元一次不等式的解集;用数学知识去解决简单的实际问题.

2.教学难点:

能结合具体问题发现并提出数学问题.

三、教法与学法:

探索发现法,分组讨论

四、教学课时:

1课时

五、教具准备:

多媒体课件

六、教学过程

(一)提出问题,引入新课

我们学习了什么叫一元一次不等式,以及解一元一次不等式的步骤.

解一元一次不等式的一般步骤:

(1)去分母;

(2)去括号;(3)移项、合并同类项;(4)系数化成1.

在解不等式的过程中,有需要注意的问题吗?

1.解不等式:

(x+15)≥

(x-7)并把解集在数轴上表示出来

2.判断下面解法的对错.

解不等式:

<2

解法一:

去分母,得2(2x+1)-5x-1<2

去括号,得4x+2-5x-1<2

移项、合并同类项,得-x<1

两边都乘以-1,得x>-1

请大家独立思考、互相讨论,指出上面的解法有无错误,若有请指出来.

解法二:

去分母,得2(2x+1)-(5x-1)<12

去括号,得4x+2-5x+1<12

移项、合并同类项,得-x<9

两边都乘以-1,得x>-9

刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题,本节课我们要加以巩固.

(二)新课讲授

[例1]解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来:

(1)

<1;

(2)

≥3+

.

下面我们来学习有关不等式的应用题.(多媒体)

[例2]一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题?

解不等式应用题也和解方程应用题类似,我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行.

先审题,弄清题中的等量关系;设未知数,用未知数表示有关的代数式;列出方程,解方程;最后写出答案.

大家依据列方程解应用题的过程,对照上面解不等式应用题的步骤,总结一下两者的不同,并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤,请互相交流.

第一步:

审题,找不等关系;第二步:

设未知数,用未知数表示有关代数式;第三步:

列不等式;第四步:

解不等式;第五步:

根据实际情况写出答案.

[例3]小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元,每个笔记本2.2元,她买了2本笔记本.请你帮她算一算,她还可以买几支笔?

(三)课堂练习:

随堂练习第1题,第2题.

(四)课堂小结

1.解一元一次不等式的一般步骤:

(1)去分母

等式性质2或3;

(2)去括号

去括号法则和分配律;

(3)移项

移项法则(不等式性质1);

(4)合并同类项

合并同类项法则;

(5)系数化成1

不等式基本性质2或性质3.

注意:

两边同时除以未知数的系数时,要分清不等号的方向是否改变.

2.解一元一次不等式应用题的步骤:

(1)审题,找不等关系;

(2)设未知数;(3)列不等关系;

(4)解不等式;(5)根据实际情况,写出全部答案.

(五)课后作业:

P17习题1.5

(六)板书设计:

2.4解一元一次不等式

(2)

1.解一元一次不等式的一般步骤:

(1)去分母

等式性质2或3;

(2)去括号

去括号法则和分配律;

(3)移项

移项法则(不等式性质1);

(4)合并同类项

合并同类项法则;

(5)系数化成1

不等式基本性质2或性质3.

2.解一元一次不等式应用题的步骤:

(1)审题,找不等关系;

(2)设未知数;(3)列不等关系;

(4)解不等式;(5)根据实际情况,写出全部答案.

(七)教学反思:

 

§2.5一元一次不等式与一次函数

第一课时

一、教学目标

1.知识与技能:

一元一次不等式与一次函数的关系;会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.

2.过程与方法:

通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合,培养学生的数形结合意识;训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.

3.情感态度与价值观:

体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

二、教学重难点

1.教学重点:

了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.

2.教学难点:

自己根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.

三、教法与学法:

研讨法,即主要由学生自主交流合作来解决问题,老师只起引导作用.

四、教具准备:

多媒体

五、教学课时:

1课时

六、教学过程:

(一)创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了一元一次不等式的解法,那么,是不是不等式的知识是孤立的呢?

本节课我们来研究不等式的有关应用.

(二)新课讲授

1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.

大家还记得一次函数吗?

请举例给出它的一般形式.

在一次函数y=2x-5中,

当y=0时,有方程2x-5=0;

当y>0时,有不等式2x-5>0;

当y<0时,有不等式2x-5<0.

由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.

2.做一做:

(多媒体)

作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题.

(1)x取哪些值时,2x-5=0?

(2)x取哪些值时,2x-5>0?

(3)x取哪些值时,2x-5<0?

4)x取哪些值时,2x-5>3?

3.试一试:

如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y>0?

4.议一议:

(多媒体)

兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:

(1)何时弟弟跑在哥哥前面?

(2)何时哥哥跑在弟弟前面?

(3)谁先跑过20m?

谁先跑过100m?

(4)你是怎样求解的?

与同伴交流.

(三)课堂练习:

P21页1

(四)课堂小结:

本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.

(五)课后作业:

习题1.6

(六)活动与探究

作出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象,并观察图象回答下列问题:

(1)x取何值时,2x-4>0?

(2)x取何值时,-2x+8>0?

(3)x取何值时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立?

(4)你能求出函数y1=2x-4,y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗?

并写出过程.

(七)板书设计:

(八)课后反思

 

第二课时

一、教学目标

1.知识与技能:

进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.

2.过程与方法:

通过用不等式的知识去解决实际问题,以发展学生解决问题的能力.

3.情感态度与价值观:

把数学知识与现实生活相联系,让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,增强他们学数学的兴趣和积极性,从而更好地服务于社会.

二、教学重难点

1.教学重点:

利用不等式及等式有关知识解决现实生活中的实际问题.

2.教学难点:

认真审题,找出题中的等量或不等关系,全面地考虑问题是本节的难点.

三、教法与学法:

启发式,在复习旧知识基础上合作学习新知识

四、教具准备:

多媒体

五、教学课时:

1课时

六、教学过程

(一)提出问题,导入新课

同学们,我们已经学习了不等式的解法及应用,但是它的应用远不止于我们前面学过的这些,它的应用很广泛.比如,随着国家的富裕,人民生活水平的提高,人们的消费观念也在逐渐转变,在放假期间很多人热衷于旅游,而旅行社瞅准了这个商机,会打着各式各样的优惠政策来诱惑你,那么究竟应该选哪一家呢?

人们犹豫了,有时感觉到上当了.如果你学了今天的课程,那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙.

(二)新课讲授

[例1]某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用?

其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?

请大家先计划一下,你计划选哪家旅行社?

我选甲旅行社,因为打七五折,比打八折要便宜.

我选乙旅行社,因为乙旅行社既打八折,还免交一个人的费用200元.

我不能肯定,一定要计算一下才能决定.

大家同意这三位同学中的哪一位呢?

同意第三位同学的意见.

分析:

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