新北师大版八年级数学下册第二章教学设计.docx
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新北师大版八年级数学下册第二章教学设计
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组
2.1不等关系
一、教学目标
1.知识与技能：
理解不等式的意义；能根据条件列出不等式.
2.过程与方法：
通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推能力.
3.情感态度与价值观：
通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
二、教学重难点
1.重点：
用不等关系解决实际问题.
2.难点：
正确理解题意列出不等式.
三、教学课时：
1课时
四、教法与学法：
讨论探索法
五、教具准备：
多媒体课件
六、教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.
（二）新课讲授
既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？
那么，如何用式子表示不等关系呢？
请看例题.（课件）
例1：
用两根长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆.
（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？
l=12呢？
（4）你能得到什么猜想？
改变l的取值，再试一试.
本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.
下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.
猜想:
用长度均为lcm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
＞
.
做一做：
课件
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约为3cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？
（只列关系式）.
［师］请大家互相讨论后列出关系式.
议一议：
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.
［例］用不等式表示
（1）a是正数；
（2）a是负数；（3）a与6的和小于5；
（4）x与2的差小于－1；（5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3.
（三）随堂练习
当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？
当x=1.5时，成立吗？
当x=－1呢？
（四）课时小结
能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.
（五）课后作业：
习题1.1第1题，第2题，第3题，第4题.
（六）板书设计：
2.1不等关系
不等式：
用来表示不等关系的式子叫不等式。
用符号＞、＜、
连接的式子叫不等式。
（七）课后反思
2.2不等式的基本性质
一、教学目标
1.知识与技能：
探索并掌握不等式的基本性质；理解不等式与等式性质的联系与区别.
2.过程与方法：
通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.
3.情感态度与价值观：
通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流.
二、教学重难点
1.重点：
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.
2.难点：
能根据不等式的基本性质进行化简.
三、教学方法：
类推探究法
四、教具准备：
粉笔，三角板
五、教学课时：
1课时
六、教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1：
在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：
在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？
本节课我们将加以验证.
（二）新课讲授
1.不等式基本性质的推导
等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？
请大家探索后发表自己的看法.
3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a
有以上推理你可以得到什么猜想？
不等式性质1：
在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
∵3＜5∴3×2＜5×23×
＜5×
.
［师］同学们又可以得到什么猜想？
结论：
在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.
不对，如3＜5，3×（－2）＞5×（－2）
所以上面的总结是错的.
看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.
如3＜43×3＜4×33×
＜4×
3×（－3）＞4×（－3）
3×（－
）＞4×（－
）3×（－5）＞4×（－5）
不等式性质2：
在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？
请大家用类似的方法进行推导.
不等式性质3：
当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变.
2.用不等式的基本性质解释
＞
的正确性
［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为
和
，且有
＞
存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？
3.例题讲解
［例］将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－5＞－1;
（2）－2x＞3;（3）3x＜－9.
说明：
在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.
4.议一议（小黑板）
讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;
（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c;
（3）如果a＜b,那么ac＜bc;（4）如果a＜b,且c≠0,那么
＞
.
在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负数.本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.
在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.
不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.
区别：
在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.
联系：
不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.
（三）课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2
（2）－x＜
2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6
（2）3x＜3y（3）－2x＜－2y
（四）课堂小结：
本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质；利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.
（五）课后作业：
习题1.2
（六）板书设计
2.2不等式的基本性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：
不等式的的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：
不等式的的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。
（七）课后反思
2.3不等式的解集
一、教学目标
1.知识与技能：
能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义；理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义；会在数轴上表示不等式的解集.
2.过程与方法：
培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力；经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.
3.情感态度与价值观：
从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造.
二、教学重难点
1.教学重点：
理解不等式中的有关概念；探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
2.教学难点：
探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
三、教法与学法：
引导学生探索学习法
四、教学课时：
1课时
五、教具准备：
三角板
六、教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.
在学习了等式的基本性质后，我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程，知道了方程的解、解方程等概念，大家还记得这些概念吗？
上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质，能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？
本节课我们就来试一试.
（二）新课讲授
1.现实生活中的不等式.
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
2.想一想：
（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
（3）x=9,10,11……等比5大的数都能使不等式x＞5成立.
由此看来，6，7，8，9，10……都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来类推出不等式的解呢？
不等式的解唯一吗？
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集（solutionset）.
请大家再类推出解不等式的概念.求不等式解集的过程叫解不等式.
3.议一议：
请你用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.
请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？
请举例说明.
如x＞3,即为数轴上表示3的点的右边部分，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点.
x＜3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈.
x≥3，可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点，表示包括这一点.
x≤3，可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点.
4.［例1］根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;
（2）2x≤8（3）－2x－2＞－10
（三）课堂练习：
P12页第1题，第2题，习题1.3第1题.
（四）课时小结：
1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念.
2.会根据不等式的基本性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（五）课后作业：
习题1.3
（六）板书设计：
2.3不等式的解集
概念解释：
不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
不等式的解集：
把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集（solutionset）.
解不等式：
求不等式解集的过程叫解不等式.
（七）课后反思：
2.4一元一次不等式
第一课时
一、教学目标
1.知识与技能：
会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
2.过程与方法：
让学生经历一元一次不等式概念的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法.
3.情感态度与价值观：
初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析，解决问题的能力.
二、教学重难点
1.教学重点：
掌握简单的一元一次不等式的解法，并能表示在数轴上.
2.教学难点：
对一元一次不等式解法的理解.
三、教法与学法：
探索讨论法，学生类比一元一次方程的解法来解一元一次不等式
四、教具准备：
直尺
五、教学课时：
1课时
六、教学过程
（一）回顾交流，观察导入.
练一练：
解下列一元一次方程：
1，4x-3=5x+7;2.3（2x-1）=4.
点评：
通过练习解一元一次方程，既让学生复习一元一次方程的概念，又让学生复习一元一次方程的解法，为本节课埋下伏笔.
观察下列不等式：
（1）2x-2.5≥15
（2）x≤8.75（3）x＜4
（4）5+3x＞240.这些不等式有哪些共同特点？
（二）观察导入：
上述这些不等式左右两边都是整式，而且都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
［例1］下列式子中，那些是一元一次不等式？
（1）x2＋x＜1
（2）
＋2＞0（3）x－3＞y＋4（4）2x＋3＜8
例题精讲：
［例2］解不等式3-x＜2x+6,并把它的解集表示在数轴上.
思路点拨：
与解一元一次方程类似，大致按以下五个步骤进行：
（1）去分母;
（2）去括号;（3）移项;（4）合并同类项;（5）系数化为一.在上面的步骤
（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，则要改变不等式的方向.
解：
移项得：
-x-2x﹤6-3
合并同类项得：
-3x﹤3
两边都乘以-3得：
x﹥-1
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
点评：
在数轴上表示不等式的解集时，第一，应正确地画出数轴；第二，要注意不等号的方向，如表示“﹥a”的解集为点右边的部分，而“﹤a”则为点左边的部分；第三，要注意端点的情况，如本题中不含-1，因此x=-1是空心圆圈，反之是实心圆点.
［例3］解不等式
并把它的解集表示在数轴上.
（三）随堂练习：
课本15页第1题.
（四）课堂小结：
1.提问：
什么叫做一元一次不等式？
2.请你归纳总结一元一次不等式的解题方法以及所要注意的问题.
（五）课后作业：
习题1.41.2
（六）板书设计：
2.4一元一次不等式
（1）
一元一次不等式：
不等式左右两边都是整式，而且都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
例：
3-x＜2x+6
解：
3-x＜2x+6
移项得：
-x-2x﹤6-3
合并同类项得：
-3x﹤3
两边都乘以-3得：
x﹥-1
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
（七）课后反思：
2.4一元一次不等式
第二课时
一、教学目标
1.知识与技能：
进一步巩固求一元一次不等式的解集；能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.
2.过程与方法：
通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力.
3.情感态度与价值观：
通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心.
二、教学重难点
1.教学重点：
求一元一次不等式的解集；用数学知识去解决简单的实际问题.
2.教学难点：
能结合具体问题发现并提出数学问题.
三、教法与学法：
探索发现法，分组讨论
四、教学课时：
1课时
五、教具准备：
多媒体课件
六、教学过程
（一）提出问题，引入新课
我们学习了什么叫一元一次不等式，以及解一元一次不等式的步骤.
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成1.
在解不等式的过程中，有需要注意的问题吗？
1.解不等式：
（x+15）≥
－
（x－7）并把解集在数轴上表示出来
2.判断下面解法的对错.
解不等式：
－
＜2
解法一：
去分母，得2（2x+1）－5x－1＜2
去括号，得4x+2－5x－1＜2
移项、合并同类项，得－x＜1
两边都乘以－1，得x＞－1
请大家独立思考、互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来.
解法二：
去分母，得2（2x+1）－（5x－1）＜12
去括号，得4x+2－5x+1＜12
移项、合并同类项，得－x＜9
两边都乘以－1，得x＞－9
刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题，本节课我们要加以巩固.
（二）新课讲授
［例1］解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：
（1）
－
＜1;
（2）
≥3+
.
下面我们来学习有关不等式的应用题.（多媒体）
［例2］一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行.
先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方程；最后写出答案.
大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流.
第一步：
审题，找不等关系；第二步：
设未知数，用未知数表示有关代数式；第三步：
列不等式；第四步：
解不等式；第五步：
根据实际情况写出答案.
［例3］小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？
（三）课堂练习：
随堂练习第1题，第2题.
（四）课堂小结
1.解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
等式性质2或3；
（2）去括号
去括号法则和分配律；
（3）移项
移项法则（不等式性质1）；
（4）合并同类项
合并同类项法则；
（5）系数化成1
不等式基本性质2或性质3.
注意：
两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变.
2.解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；（3）列不等关系；
（4）解不等式；（5）根据实际情况，写出全部答案.
（五）课后作业：
P17习题1.5
（六）板书设计：
2.4解一元一次不等式
（2）
1.解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
等式性质2或3；
（2）去括号
去括号法则和分配律；
（3）移项
移项法则（不等式性质1）；
（4）合并同类项
合并同类项法则；
（5）系数化成1
不等式基本性质2或性质3.
2.解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；（3）列不等关系；
（4）解不等式；（5）根据实际情况，写出全部答案.
（七）教学反思：
§2.5一元一次不等式与一次函数
第一课时
一、教学目标
1.知识与技能：
一元一次不等式与一次函数的关系；会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
2.过程与方法：
通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识；训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
3.情感态度与价值观：
体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
二、教学重难点
1.教学重点：
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
2.教学难点：
自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
三、教法与学法：
研讨法，即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用.
四、教具准备：
多媒体
五、教学课时：
1课时
六、教学过程：
（一）创设问题情境，引入新课
上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？
本节课我们来研究不等式的有关应用.
（二）新课讲授
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
大家还记得一次函数吗？
请举例给出它的一般形式.
在一次函数y=2x－5中，
当y=0时，有方程2x－5=0;
当y＞0时，有不等式2x－5＞0;
当y＜0时，有不等式2x－5＜0.
由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
2.做一做：
（多媒体）
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
4）x取哪些值时，2x－5＞3?
3.试一试：
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
4.议一议：
（多媒体）
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20m？
谁先跑过100m？
（4）你是怎样求解的？
与同伴交流.
（三）课堂练习：
P21页1
（四）课堂小结：
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式.
（五）课后作业：
习题1.6
（六）活动与探究
作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？
并写出过程.
（七）板书设计：
（八）课后反思
第二课时
一、教学目标
1.知识与技能：
进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.
2.过程与方法：
通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力.
3.情感态度与价值观：
把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会.
二、教学重难点
1.教学重点：
利用不等式及等式有关知识解决现实生活中的实际问题.
2.教学难点：
认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题是本节的难点.
三、教法与学法：
启发式，在复习旧知识基础上合作学习新知识
四、教具准备：
多媒体
五、教学课时：
1课时
六、教学过程
（一）提出问题，导入新课
同学们，我们已经学习了不等式的解法及应用，但是它的应用远不止于我们前面学过的这些，它的应用很广泛.比如，随着国家的富裕，人民生活水平的提高，人们的消费观念也在逐渐转变，在放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠政策来诱惑你，那么究竟应该选哪一家呢？
人们犹豫了，有时感觉到上当了.如果你学了今天的课程，那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙.
（二）新课讲授
［例1］某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？
其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
请大家先计划一下，你计划选哪家旅行社？
我选甲旅行社，因为打七五折，比打八折要便宜.
我选乙旅行社，因为乙旅行社既打八折，还免交一个人的费用200元.
我不能肯定，一定要计算一下才能决定.
大家同意这三位同学中的哪一位呢？
同意第三位同学的意见.
分析：
首
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