安徽省滁州市定远县育才学校学年高二下学期第一次月考数学试题Word版含答案.docx

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安徽省滁州市定远县育才学校学年高二下学期第一次月考数学试题Word版含答案

育才学校2021-2022学年度第二学期第一次月考试卷

高二数学试题

（仅在答题卷上指定范围内作答）

第I卷（选择题60分）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知数列满足，，且，则（       ）

A．B．C．D．

2．下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（       ）

A．B．

C．数列的通项公式为D．

3．已知数列是等差数列，若，，则公差（       ）

A．1B．C．D．

4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：

一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（       ）

A．小寒比大寒的晷长长一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．小雪的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长长

5．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（       ）

A．B．C．D．

6．若正项等比数列满足，，则（       ）

A．B．C．D．

7．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是

A．B．C．D．

8．设在可导，则等于（       ）

A．B．C．D．

9．曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（       ）

A．B．

C．D．

10．已知，为的导函数，则的大致图象是（       ）

A．B．

C．D．

11．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

范围是（　　　）

A．[0,）B．C．D．

12．已知函数的导函数是，且，则实数的值为（       ）

A．B．C．D．1

第II卷（非选择题90分）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为______．

14．在数列中，，且数列是等差数列，则_________.

15．已知正项数列，满足，且，则首项的取值范围是______．

16．曲线在点处的切线方程为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，.

（1）求等比数列{an}的公比q；

（2）求.

18．（12分）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．

19．（12分）蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中为体温（单位：

℃），为太阳落山后的时间（单位：

）．

（1）求从至，蜥蜴的体温下降了多少？

（2）从到，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？

它表示什么实际意义？

（3）求并解释它的实际意义．

20．（12分）已知曲线.

（1）求该曲线斜率为-3的切线方程；

（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为，过点作直线与轴、轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.

21．（12分）已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝log2x．

（1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程；

（2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？

若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．

22．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

23．（12分）已知函数．

（1）求该函数的导数；

（2）求该函数的图象在处的切线的倾斜角．

参考答案

1．C

2．C

3．D

4．C

5．A

6．D

7．C

8．D

9．A

10．A

11．D

12．B

13．

14．.

15．

16．

17．

（1）；

（2）.

解：

（1）由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝，.

（2）由

（1），得an＝（－1）×，所以，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＝＝.

18．

（1）

（2）

解：

（1）∵，

∴，

∴，

即，∴，

∴，

∴．

（2）．

=2·-λ（2n+1）．

∵数列为递增数列，

∴，即．

令，

即．

∴为递增数列，∴，

即的取值范围为．

19．解：

（1），即从到，蜥蜴的体温下降了16℃．

（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为，

它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃．

（3）∵，

∴当趋于0时，趋于，即，

它表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．

20．

（1）或.

（2）

解：

（1）由，得，

，解得或.

当时，；当时，.

∴切线方程为或，

即或.

（2）∵，

∴当时，切线的斜率取得最大值1，此时，

即点坐标为.

由题意，设，（，），则直线的方程为.

∴.

∴，

当且仅当，即时取“”号.

将代入，解得，.

∴直线的方程为，即时，面积的最小值为.

21．

（1）；

（2）

解：

（1）设切点为，

函数导数为

由题意可得，

解得，

则切线方程为；

（2）的斜率为，

设，

假设存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，

可得.可得

则曲线上存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，

且P的横坐标为.

22．解：

（1）方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝．

又f′（x）＝a＋，

于是，解得

故f（x）＝x－．

（2）证明：

设P（x0，y0）为曲线上任一点，由f′（x）＝1＋知，曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋）·（x－x0），即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为（0，－）．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．

曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

23．

（1）；

（2）．

解：

（1），

．

（2）由

（1），知

所以．

设该函数的图象在处的切线的倾斜角为，则．又，所以，所以该函数的图象在处的切线的倾斜角为．