培优高中数学必修1 第一讲 集合及其应用.docx

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培优高中数学必修1第一讲集合及其应用

第1讲集合及其应用

一．知识梳理：

1．元素与集合的概念

（1）元素：

一般地，我们把研究的对象统称为元素．

（2）集合：

把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．

（3）集合相等：

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

（4）集合元素的特性：

确定性、互异性、无序性．

2．元素与集合的关系

关系

概念

记法

读法

属于

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A

a∈A

a属于

集合A

不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A

a∉A

a不属于

集合A

3.常用数集及表示符号

名称

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

4.集合的表示法

．列举法表示集合

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

．描述法表示集合

定义：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．

写法：

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

．Venn图

定义：

在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．

适用范围：

元素个数较少的集合．

使用方法：

把元素写在封闭曲线的内部．

5．子集的概念

文字语言

符号语言

图形语言

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集

A⊆B（或

B⊇A）

6．集合相等与真子集的概念

定义

符号表示

图形表示

集合

相等

如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等

A＝B

真子

集

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是B的真子集

A

B（或B

A）

7.空集

（1）定义：

不含任何元素的集合叫做空集．

（2）用符号表示为：

∅.

（3）规定：

空集是任何集合的子集．

8．子集的有关性质

（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

9．并集和交集的概念及其表示

类别

概念

自然语言

符号语言

图形语言

并集

由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”）

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

10.并集与交集的运算性质

并集的运算性质

交集的运算性质

A∪B＝B∪A

A∩B＝B∩A

A∪A＝A

A∩A＝A

A∪∅＝A

A∩∅＝∅

A⊆B⇔A∪B＝B

A⊆B⇔A∩B＝A

11．全集

（1）定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）记法：

全集通常记作U.

12．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

13.补集的性质

∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝A.

二、例题讲解

题型一集合的基本概念

例题1　下列每组对象能否构成一个集合：

（1）我们班的所有高个子同学；

（2）不超过20的非负数；

（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；

（4）

的近似值的全体．

解　

（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．

（2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“

的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以（4）不能构成集合．

变式题下列所给的对象能构成集合的是________．

（1）所有正三角形；

（2）必修1课本上的所有难题；

（3）比较接近1的正整数全体；

（4）某校高一年级的16岁以下的学生．

题型二元素与集合的关系

例题2　所给下列关系正确的个数是（　　）

①－

∈R；②

∉Q；③0∈N*；④|－3|∉N*.

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　－

是实数，

是无理数，所以①②正确．N*表示正整数集，所以③和④不正确．

变式题集合A中的元素x满足

∈N，x∈N，则集合A中元素有__________．

题型三　集合中元素的特性及应用

例题3　已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．

解　∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.

变式题

（1）已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．

（2）已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．

①a≠2；②b＝2；③c≠0.

题型四　列举法与描述法的综合运用

例题4　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

解　

（1）当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．

（2）当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，

则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．

综上所述，实数k的值为0或1.

当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．

变式题把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．

题型五　有限集合的子集确定问题

例题5　写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．

解　由0个元素构成的子集：

∅；

由1个元素构成的子集：

{1}，{2}，{3}；

由2个元素构成的子集：

{1,2}，{1,3}，{2,3}；

由3个元素构成的子集：

{1,2,3}．

由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．

变式题已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．

题型六　集合间关系的判定

例题6　指出下列各对集合之间的关系：

（1）A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；

（2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

（3）A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；

（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

解　

（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

（3）集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

（4）由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N

M.

变式题　

（1）集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系．

（2）已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B

A，则实数m的值的集合为_．

题型七　由集合间的关系求参数范围问题

例题7　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．

解　∵B⊆A，

（1）当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.

（2）当B≠∅时，有

解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}．

变式题已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．

（1）若A

B，求a的取值范围；

（2）若B⊆A，求a的取值范围．

题型八　已知集合交集、并集求参数

例题8　

（1）已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，则M∩N＝（　　）

A．[1，5）B.

C.

D．∅

答案：

B　　[解析]

（1）因为集合M＝

，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，所以M∩N＝

.

（2）已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

答案　由A∩B＝∅，

（1）若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.

（2）

若A≠∅，如下图：

∴

解得－

≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是{a|－

≤a≤2，或a＞3}．

变式题　

（1）已知集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝

，则A∪B为（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．

题型九　交集、并集、补集的综合运算

例题9　

（1）已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于（　　）

A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅

（2）设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A．{x|－2＜x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）∵U＝{1,2,3,4}，∁U（A∪B）＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，

∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．

（2）因为S＝{x|x＞－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，所以（∁RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．

（3）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________．

答案：

A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<2，则B＝{x|m

画出数轴如图所示，可得m＝－1，n＝1.

变式题　

（1）设全集U＝R，集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤6}，则集合（∁UA）∩B＝（　　）

A．{x|3≤x<6}B．{x|3

C．{x|3

（2）设集合M＝{x|x<2}，集合N＝{x|0

A．M∪N＝RB．M∪（∁RN）＝R

C．N∪（∁RM）＝RD．M∩N＝M

（3）设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁RA）∩B.

题型十　补集的综合应用

例题10　已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．

解　由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．

（1）若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.

（2）若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－

≤a＜3.

综上可得a≥－

.

变式题：

已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．

题型十一　新定义集合问题

例题11若集合A具有以下性质：

（Ⅰ）0∈A，1∈A；（Ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，

∈A.则称集合A是“好集”．

下列说法中正确的个数是（　　）

①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；

②有理数集Q是“好集”；

③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

A．0B．1C．2D．3

答案C　[解析]①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q.对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，

∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－（－y）∈A，即x＋y∈A.故选C.

变式题定义集合运算：

A⊗B＝{x|x∈A，且x∉B}，已知集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|－1

三、课后作业

1．下列能构成集合的是（　　）

A．中央电视台著名节目主持人

B．我市跑得快的汽车

C．上海市所有的中学生

D．香港的高楼

2．已知①

∈R；②

∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________．

3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为（　　）

A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可

4．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2＋1}（A，B中x∈R，y∈R）．选项中元素与集合的关系都正确的是（　　）

A．2∈A，且2∈BB．（1,2）∈A，且（1,2）∈B

C．2∈A，且（3,10）∈BD．（3,10）∈A，且2∈B

5．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3B．6C．8D．10

6．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为（　　）

A．4B．7C．8D．16

7．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是（　　）

8．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}

9．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则（∁RA）∩B等于（　　）

A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}

10．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{x|－2≤x＜1}B．{x|－2≤x≤3}

C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|－2≤x≤2}

11．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

12．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．

13．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，则实数m的取值集合为________．

14．已知集合P中元素x满足：

x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝_____.

15．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{1}

C．{0,1}D．{0，－1}

16．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．－3∈AB．3∉B

C．A∩B＝BD．A∪B＝B

17．（2017·成都模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）

A．（－∞，1]∩（2，＋∞）B．（－1,0）∪[1,2]

C．[1,2）D．（1,2]

18．集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝

，0≤x≤4}，则A∩（∁RB）＝________.

19．已知集合A＝{y|y2－（a2＋a＋1）y＋a（a2＋1）>0}，B＝

.若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．

20．已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的集合．

21．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．

（1）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；

（2）若A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．

22．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．

（1）当m＝1时，求A∪B；

（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．

23．若集合M＝

，P＝

，那么M∩P＝（　　）

A．（0，＋∞）B．[0，＋∞）

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

24．[2016·厦门一检]设集合A＝{x|1

A．（1，2）B．（1，3）

C．（1，4）D．（3，4）

25．[2016·武汉调研]已知A＝{x|x≥k}，B＝

，若A⊆B，则实数k的取值范围为（　　）

A．（1，＋∞）B．（－∞，－1）

C．（2，＋∞）D．[1，＋∞）

26．（13分）设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C.

（1）求实数x，y的值；

（2）写出满足（A∩B）⊆M⊆（A∪B）的所有集合M.

27.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.

（1）若A∪B=A,求a的值;

（2）若A∩C=C,求m的取值范围.