二次函数abc符号确定.docx
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二次函数abc符号确定
二次函数a、b、c符号的确定
一.选择题(共13小题)
1.(2013•黔东南州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.
a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0
B.
a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0
C.
a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0
D.
a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0
2.(2013•崇明县一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么a,b,c的符号为( )
A.
a>0,b>0,c>0
B.
a<0,b<0,c<0
C.
a<0,b>0,c>0
D.
a<0,b<0,c>0
3.(2014•兰州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是( )
A.
c>0
B.
2a+b=0
C.
b2﹣4ac>0
D.
a﹣b+c>0
4.(2014•徐汇区一模)已知抛物线y=ax2+3x+(a﹣2),a是常数且a<0,下列选项中可能是它大致图象的是( )
A.
B.
C.
D.
5.(2014•沙湾区模拟)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法错误的是( )
A.
a>0
B.
c>0
C.
b2﹣4ac>0
D.
>0
6.(2014•邢台一模)抛物线y=ax2+bx+c如图,考查下述结论:
①b<0;②a﹣b+c>0;
③b2>4ac;④2a+b<0.正确的有( )
A.
①②
B.
①②③
C.
②③④
D.
①②③④
7.(2014•兴化市一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣1,0)、(0,3),
下列结论中错误的是( )
A.
abc<0
B.
9a+3b+c=0
C.
a﹣b=﹣3
D.
4ac﹣b2<0
8.(2013•定西)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中:
①2a﹣b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a﹣b+c>0;
⑤4a+2b+c>0,
错误的个数有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
9.(2013•滨州)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;②4a﹣2b+c<0;③ac>0;④当y<0时,x<﹣1或x>2.
其中正确的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
10.(2013•邢台一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件正确的是( )
A.
ac<0
B.
b2﹣4ac<0
C.
b>0
D.
a>0、b<0、c>0
11.(2013•红桥区一模)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:
①abc>0;②4a﹣2b+c<0;③2a﹣b<0;④b2+8a>4ac.
其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
12.(2013•百色)在反比例函数y=
中,当x>0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的( )
A.
B.
C.
D.
13.(2013•长安区模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①a+b+c>0;②a﹣b+c>0;③abc=0;④2a﹣b=0,
其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
二.解答题(共2小题)
14.(2008•密云县一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示.
(1)确定a、b、c的符号;
(2)求a+b+c的取值范围.
15.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,
(1)判断a,b,c及b2﹣4ac,a﹣b+c的符号;
(2)求a+b+c的值;
(3)下列结论:
①b<1,②b<2a,③a>
,④a+c<1,
⑤﹣a﹣b+c<0.其中正确的有 _________ ,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.(2013•黔东南州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.
a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0
B.
a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0
C.
a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0
D.
a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系.
解答:
解:
∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴右边,
∴a,b异号即b>0,
∵抛物线与y轴的交点在正半轴,
∴c>0,
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0.
故选D.
点评:
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0.
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=
判断符号.
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0.
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:
2个交点,b2﹣4ac>0;1个交点,b2﹣4ac=0;没有交点,b2﹣4ac<0.
2.(2013•崇明县一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么a,b,c的符号为( )
A.
a>0,b>0,c>0
B.
a<0,b<0,c<0
C.
a<0,b>0,c>0
D.
a<0,b<0,c>0
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
推理填空题.
分析:
根据二次函数图象开口向下确定出a为负数,根据对称轴结合a为负数确定出b的正负情况,根据二次函数图象与y轴的交点即可确定出c的正负情况,从而最后得解.
解答:
解:
∵二次函数图象开口向下,
∴a<0,
∵对称轴x=﹣
<0,
∴b<0,
∵二次函数图象与y轴的正半轴相交,
∴c>0,
∴a<0,b<0,c>0.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点与系数的关系是解题的关键.
3.(2014•兰州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是( )
A.
c>0
B.
2a+b=0
C.
b2﹣4ac>0
D.
a﹣b+c>0
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
数形结合.
分析:
本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系.需要根据图形,逐一判断.
解答:
解:
A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方,所以c>0,正确;
B、由已知抛物线对称轴是直线x=﹣
=1,得2a+b=0,正确;
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点,故有b2﹣4ac>0,正确;
D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方,即当x=﹣1时,y<0,即y=ax2+bx+c=a﹣b+c<0,错误.
故选:
D.
点评:
在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系,也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法.同时注意特殊点的运用.
4.(2014•徐汇区一模)已知抛物线y=ax2+3x+(a﹣2),a是常数且a<0,下列选项中可能是它大致图象的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
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分析:
根据抛物线对称轴位置和a,b的关系以及利用图象开口方向与a的关系,得出图象开口向下,对称轴经过x轴正半轴,利用图象与y轴交点和c的符号,进而得出答案.
解答:
解:
∵抛物线y=ax2+3x+(a﹣2),a是常数且a<0,
∴图象开口向下,a﹣2<0,
∴图象与y轴交于负半轴,
∵a<0,b=3,
∴抛物线对称轴在y轴右侧.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,正确把握图象对称轴位置与a,b的关系是解题关键.
5.(2014•沙湾区模拟)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法错误的是( )
A.
a>0
B.
c>0
C.
b2﹣4ac>0
D.
>0
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
分析:
由抛物线开口向上得到a>0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0,图象与x轴有两个交点得b2﹣4ac>0,对称轴在y轴右侧得
,则
,据此逐一判断即可.
解答:
解:
:
A、∵抛物线开口向上,∴a>0,所以A选项的说法正确;
B、∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,所以B选项的说法正确;
C、∵抛物线与x轴有两交点,∴b2﹣4ac>0,y<0,∴4a+2b+c<0,所以C选项的说法正确;
D、∵对称轴在y轴右侧得
,∴
,所以D选项的说法错误.
故选:
D.
点评:
本题考查了二次函数的图象与系数的关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣
;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
6.(2014•邢台一模)抛物线y=ax2+bx+c如图,考查下述结论:
①b<0;②a﹣b+c>0;③b2>4ac;④2a+b<0.正确的有( )
A.
①②
B.
①②③
C.
②③④
D.
①②③④
考点:
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分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①图象开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,能得到:
a>0,c<0,﹣
>0,b<0,正确;
②由图象知当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,正确;
③图象与x轴有两个交点,所以b2﹣4ac>0,即b2>4ac正确;
④由图象知
,即2a+b=0,本项错误.
故选B.
点评:
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0;
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=
判断符号;
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:
①2个交点,b2﹣4ac>0;
②1个交点,b2﹣4ac=0;
③没有交点,b2﹣4ac<0.
(5)当x=1时,可以确定y=a+b+c的值;当x=﹣1时,可以确定y=a﹣b+c的值.
7.(2014•兴化市一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣1,0)、(0,3),下列结论中错误的是( )
A.
abc<0
B.
9a+3b+c=0
C.
a﹣b=﹣3
D.
4ac﹣b2<0
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
分析:
A、由对称轴可判断ab的符号,再由抛物线与y轴的交点可判断c的符号,从而确定abc的符号;
B、观察图象,不能得出x=3时,函数值的符号,所以9a+3b+c不一定等于0;
C、将(﹣1,0)、(0,3)分别代入y=ax2+bx+c,即可得出a﹣b=﹣3;
D、根据抛物线与x轴的交点个数可判断b2﹣4ac的符号,从而确定4ac﹣b2的符号.
解答:
解:
A、∵抛物线对称轴x=﹣
>0,∴ab<0,又∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc<0,正确,故本选项不符合题意;
B、观察图象,由于没有给出对称轴方程,所以不能得出x=3时,函数值的符号,所以9a+3b+c不一定等于0,即9a+3b+c=0不一定正确,故本选项符合题意;
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣1,0)、(0,3),
∴
,
②代入①,整理,得a﹣b=﹣3,正确,故本选项不符合题意;
D、∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,正确,故本选项不符合题意.
故选B.
点评:
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:
当a<0,抛物线开口向下;抛物线的对称轴为直线x=﹣
;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.
8.(2013•定西)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中:
①2a﹣b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a﹣b+c>0;⑤4a+2b+c>0,
错误的个数有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
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专题:
压轴题.
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,利用图象将x=1,﹣1,2代入函数解析式判断y的值,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①∵由函数图象开口向下可知,a<0,由函数的对称轴x=﹣
>﹣1,故
<1,∵a<0,∴b>2a,所以2a﹣b<0,①正确;
②∵a<0,对称轴在y轴左侧,a,b同号,图象与y轴交于负半轴,则c<0,故abc<0;②正确;
③当x=1时,y=a+b+c<0,③正确;
④当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,④错误;
⑤当x=2时,y=4a+2b+c<0,⑤错误;
故错误的有2个.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,将x=1,﹣1,2代入函数解析式判断y的值是解题关键.
9.(2013•滨州)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;②4a﹣2b+c<0;③ac>0;④当y<0时,x<﹣1或x>2.
其中正确的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
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专题:
压轴题.
分析:
根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确,当x=﹣2时,4a﹣2b+c<0,根据开口方向,以及与y轴交点可得ac<0,再求出A点坐标,可得当y<0时,x<﹣1或x>3.
解答:
解:
∵对称轴为x=1,
∴x=﹣
=1,
∴﹣b=2a,
∴①2a+b=0,故此选项正确;
∵点B坐标为(﹣1,0),
∴当x=﹣2时,4a﹣2b+c<0,故此选项正确;
∵图象开口向下,∴a<0,
∵图象与y轴交于正半轴上,
∴c>0,
∴ac<0,故ac>0错误;
∵对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0),
∴A点坐标为:
(3,0),
∴当y<0时,x<﹣1或x>3.,
故④错误;
故选:
B.
点评:
此题主要考查了二次函数与图象的关系,关键掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小.
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)
③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).
④抛物线与x轴交点个数.
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
10.(2013•邢台一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件正确的是( )
A.
ac<0
B.
b2﹣4ac<0
C.
b>0
D.
a>0、b<0、c>0
考点:
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分析:
由函数图象可得:
a>0,b<0,c>0,再结合图象判断各选项.
解答:
解:
由函数图象可得:
a>0,b<0,c>0,
A、ac<0,错误;
B、b2﹣4ac<0,错误;
C、b>0,错误;
D、a>0、b<0、c>0,正确.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系,重点是从函数图象上得到重要的信息.
11.(2013•红桥区一模)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:
①abc>0;
②4a﹣2b+c<0;
③2a﹣b<0;
④b2+8a>4ac.
其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①∵该函数图象的开口向下,∴a<0;
又对称轴x=﹣
<0,
∴b<0;
而该函数图象与y轴交于正半轴,故c>0,
∴abc>0,正确;
②当x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0;正确;
③根据题意得,对称轴﹣1<x=﹣
<0,∴2a﹣b<0,正确;
④∵
>2,a<0,
∴4ac﹣b2<8a,
即b2+8a>4ac,正确.
故选D.
点评:
本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
12.(2013•百色)在反比例函数y=
中,当x>0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二次函数图象与系数的关系;反比例函数的性质.菁优网版权所有
分析:
根据反比例函数图象的性质确定出m<0,则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下,且与y轴交于负半轴,即可得出答案.
解答:
解:
∵反比例函数y=
,中,当x>0时,y随x的增大而增大,
∴根据反比例函数的性质可得m<0;
该反比例函数图象经过第二、四象限,
∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下,且与y轴交于负半轴.
∴只有A选项符合.
故选A.
点评:
本题考查了二次函数图象、反比例函数图象.利用反比例函数的性质,推知m<0是解题的关键,体现了数形结合的思想.
13.(2013•长安区模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①a+b+c>0;②a﹣b+c>0;③abc=0;④2a﹣b=0,
其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
数形结合.
分析:
观察函数图象得到x=1时,y<0;x=﹣1时,y>0,所以a+b+c<0,a﹣b+c>0,则可对①②进行判断;由于抛物线过原点,所以c=0,可对③进行判断;根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1,即x=﹣
=﹣1,则可对④进行判断.
解答:
解:
∵x=1时,y<0,
∴a+b+c<0;所以①错误;
∵x=﹣1时,y>0,
∴a﹣b+c>0;所以②正确;
∵抛物线过原点,
∴c=0,
∴abc=0,所以③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
∴x=﹣
=﹣1,
∴2a﹣b=0,所以④正确.
故选C.
点评:
本题考查了二次函数的图象与系数的关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣
;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
二.解答题(共2小题)
14.(2008•密云县一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示.
(1)确定a、b、c的符号;
(2)求a+b+c的取值范围.
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)根据抛物线开口向上,则a>0,对称轴在x轴正半轴可知﹣
>0,与y轴交点在y轴负半轴可知c<0;
(2)再根据抛物线y=ax2+bx+c过点(﹣1,0),(0,﹣1),即可求出a+b+c的取值范围.
解答:
解:
(1)根据抛物线开口向上,则a>0,
∵对称轴在x轴正半轴可知﹣
>0,
∴b<0,
又与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
故a>0,b<0,c<0;
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c过点(﹣1,0),(0,﹣1),
∴a﹣b+c=0,c=﹣1,即a﹣b=1,a=b+1,
∴a+b+c=b+1+b﹣1=2b,
∵b<0,
∴2b<0,
∵a>0,
∴b+1>0,