时，－FN＋mg＝m
，FN背向圆心，随v的增大而减小
（3）当v＝
时，FN＝0
（4）当v>
时，FN＋mg＝m
，FN指向圆心并随v的增大而增大
例5 如图，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点C等高，B为轨道的最低点．现
让小滑块（可视为质点）从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况的分析，正确
的是（ ）
A．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做自由落体运动
B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动
C．若v0＝
，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做自由落体运动
D．若v0＝
，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做平抛运动
例6如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体A，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体B，A的中点与圆孔距离为0.2m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B会处于静止状态？
（g＝10m/s2）
跟踪训练
1．世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，如图所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是（ ）
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的
C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的
D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道
2．如图所示，汽车质量为1.5×104kg，以不变的速度先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15m，如果路面承受的最大压力不得超过2.0×105N，汽车允许的最大速率是多少？
（g＝10m/s2）
第5课时 万有引力定律与天体运动
导学目标
1.掌握万有引力定律的内容、公式及适用条件.2.学会用万有引力定律解决天体运动问题．
一、开普勒三定律
1．开普勒第一定律：
所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．
2．开普勒第二定律：
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．
3．开普勒第三定律：
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都相等，即
＝k.
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与
________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．
2．公式
____________，通常取G＝____________N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．
3．适用条件
公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．
考点一 天体产生的重力加速度问题
星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：
设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G
，即g＝
（或GM＝gR2）
若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G
，即g′＝
＝
g.
典例剖析
例1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？
跟踪训练1 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6400km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A．400gB.
gC．20gD.
g
考点二 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G
＝mg，故天体质量M＝
，天体密度ρ＝
＝
＝
.
2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.
（1）由万有引力等于向心力，即G
＝m
r，得出中心天体质量M＝
；
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝
＝
＝
；
（3）若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝
.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度．
典例剖析
例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（ ）
A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3
跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出（ ）
A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．
（2）设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．
跟踪训练3 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：
一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
A组 开普勒定律的应用
1．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg（T/T0），纵轴是lg（R/R0）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是
2．
（1）开普勒行星运动第三定律指出：
行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次
方成正比，即
＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离
为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s，试计算地球的质量M地．（G＝6.67×10－11N·m2/kg2，结果保留一位有效数字）
第6课时 卫星与航天
导学目标
1.理解三个宇宙速度，会推导第一宇宙速度.2.掌握卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系，并能在具体问题中应用．
一、宇宙速度
三种宇宙速度
宇宙速度
数值（km/s）
意义
第一宇
宙速度
7.9
卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度．若7.9km/s≤v<11.2km/s，物体绕______运行（环绕速度）
第二宇
宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2km/s≤v<16.7km/s，物体绕____运行（脱离速度）
第三宇
宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7km/s，物体将脱离________在宇宙空间运行（逃逸速度）
二、人造卫星
已知地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，试求出轨道半径为r的卫星的线速度、角速度和周期的表达式．
1．人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力，即G
＝m
＝mrω2＝m（
）2r.
2．人造卫星的运动学特征
（1）线速度v：
v＝____________，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．
（2）角速度ω：
ω＝____________，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．
（3）周期T：
T＝____________，随着轨道半径的增大，卫星的周期增大．
考点一 同步卫星
同步卫星的五个“一定”
1．轨道平面一定：
轨道平面与赤道平面共面．
2．周期一定：
与地球自转周期相同，即T＝24h.
3．角速度一定：
与地球自转的角速度相同．
4．高度一定：
由G
＝m
（R＋h）得同步卫星离地面的高度h＝
－R.
5．速率一定：
v＝
.
典例剖析
例1 如图所示，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（ ）
A.v1>v2>v3
B.v1C.a1>a2>a3
D.a1跟踪训练1 地球“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地高度为同步卫星离地高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．关于该“空间站”说法正确的有（ ）
A．运行的加速度一定等于其所在高度处的重力加速度
B．运行的速度等于同步卫星运行速度的
倍
C．站在地球赤道上的人观察到它向东运动
D．在“空间站”工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
考点二 卫星变轨问题
卫星运行中的稳态与变轨问题
在卫星运行问题中，卫星能够做匀速圆周运动的状态称为稳态，此时满足F向＝F万，结合向心力公式即可判定卫星的线速度、角速度、周期的大小比较问题．卫星从一个稳定轨道变到另一稳定轨道，称为变轨问题，此过程不满足F向＝F万，应结合离心运动和近心运动的知识以及能量守恒定律去解决．当卫星速度减小时F向典例剖析
例2 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2（r2A．Ek2T1C．Ek2>Ek1，T2Ek1，T2>T1
跟踪训练2 2011年下半年，我国发射了“天宫一号”目标飞行器，随后发射神舟八号飞船与之进行第一次无人交会对接．对接前“天宫一号”和“神舟八号”绕地球做匀速圆周运动的位置如图所示，A代表“天宫一号”，B代表“神舟八号”，虚线为各自的轨道．由此可以判定（ ）
A．“天宫一号”发射速度应大于第二宇宙速度
B．“天宫一号”的运行速度大于第一宇宙速度
C．“天宫一号”的周期大于“神舟八号”的周期
D．“神舟八号”减速后有可能与“天宫一号”实现对接
考点三 卫星的运动参量计算与比较
根据万有引力提供向心力，可得v＝
，ω＝
，T＝2π
，因为忽略地球自转时，有g＝
，所以卫星的运动参量又可表示为v＝
，ω＝
，T＝2π
.
典例剖析
例3 星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2＝
v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（）
A.
B.
C.
D.
gr
跟踪训练3 2011年4月10日4时47分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭，成功将第八颗北斗导航卫星送入太空轨道．“北斗”卫星导航定位系统将由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成（如图所示）,30颗非静止轨道卫星中有27颗是中轨道卫星，中轨道卫星平均分布在倾角55度的三个平面上，轨道高度约为21500公里，静止轨道卫星的高度约为36000公里，地球半径约为6400公里．已知
≈0.53，下列关于北斗导航卫星的说法正确的是（ ）
A．静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星大
B．静止轨道卫星和中轨道卫星的线速度均大于地球的第一宇宙速度
C．中轨道卫星的周期约为12.7h
D．地球赤道上随地球自转物体的向心加速度比静止轨道卫星大
例4 如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是（ ）
A.
＝
B.
＝（
）2
C.
＝
D.
＝
跟踪训练4 近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则（ ）
A.
＝（
）4/3B.
＝（
）4/3C.
＝（
）2D.
＝（
）2
例5 人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动．对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是（ ）
A．近地点速度一定等于7.9km/sB．远地点速度一定小于7.9km/s
C．发射此卫星的速度一定大于7.9km/sD．近地点速度一定小于7.9km/s
跟踪训练5 2010年10月26日21时27分，北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施了降轨控制，约18分钟后，卫星成功进入了远月点100公里、近月点15公里的试验轨道，为在月球虹湾区拍摄图像做好准备．如图为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是（ ）
A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速
B．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大
D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
A组 卫星运动参量与半径的关系
1.2010年10月1日我国成功发射“嫦娥二号”绕月卫星，绕月运行高度为100公里.2007年10月24日发射的“嫦娥一号”绕月运行高度为200公里，如图所示．“嫦娥二号”卫星与“嫦娥一号”卫星绕月运行相比，下
列判断正确的是（ ）
A．周期小，线速度大
B．周期大，加速度小
C．线速度大，加速度小
D．角速度大，线速度大
2．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且分布均匀的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是（ ）
A．T＝2π
B．T＝2π
C．T＝
D．T＝
B组 卫星变轨问题
3．2010年10月1日，“嫦娥二号”在四川西昌发射成功，10月6日实施第一次近月制动，进入周期约为12h的椭圆环月轨道；10月8日实施第二次近月制动，进入周期约为3.5h的椭圆环月轨道；10月9日实施第三次近月制动，进入轨道高度约为100km的圆形环月工作轨道．实施近月制动的位置都是在相应的近月点P，如图所示．则“嫦娥二号”（ ）
A．从不同轨道经过P点时，速度大小相同
B．从不同轨道经过P点（不制动）时，加速度大小相同
C．在两条椭圆环月轨道上运行时，机械能不同
D．在椭圆环月轨道上运行的过程中受到月球的万有引力大小不变
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