届江苏省南通市泰州市高三上学期期末联考数学试题解析版.docx
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届江苏省南通市泰州市高三上学期期末联考数学试题解析版
2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期期末联考数学试题
一、填空题
1．已知集合A＝{-1，0，2}，B＝{-1，1，2}，则A∩B=________.
【答案】
【解析】根据交集的定义求解即可
【详解】
由题,,
故答案为：
【点睛】
本题考查交集的运算,属于基础题
2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为_______.
【答案】
【解析】利用复数的除法法则可得,进而求得模即可
【详解】
由题,,
所以,
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题
3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______.
【答案】40
【解析】根据平均数的公式计算即可
【详解】
由题,则平均值为,
故答案为：
40
【点睛】
本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题
4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为_______.
【答案】11
【解析】根据已知中的语句可知,该程序的功能是循环计算,并输出满足条件的的值,模拟程序的运行过程,即可得答案
【详解】
当时,,
则,,
则,,
则,,
则,,
所以输出,
故答案为：
11
【点睛】
本题考查循环结构和算法语句,当程序的运行次数不多时,采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为_____.
【答案】1
【解析】由等比中项可得,再根据等差数列可得,即可求得与的关系
【详解】
由的等差数列,
因为成等比数列,则,即,
可得,则,
故答案为：
1
【点睛】
本题考查等差数列定义的应用,考查等比中项的应用,属于基础题
6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______.
【答案】
【解析】先求得正面向上的概率,再求得恰好出现2次正面向上的概率即可
【详解】
设“正面向上”为事件,则,则,
所以恰好出现2次正面向上的概率为,
故答案为：
【点睛】
本题考查独立重复试验求概率,属于基础题
7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三枝锥A1-BB1C1的体积为______.
【答案】
【解析】根据正三棱柱的性质可得各棱长均为2,则,进而求解即可
【详解】
因为正三棱柱,则底面,是等边三角形
又因为,则三棱柱各棱长均为2,
则,
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的计算,考查正三棱柱的性质应用,考查转化思想
8．已如函数.若当x＝时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为______.
【答案】5
【解析】根据当能取到最大值可得,则,由,对赋值,即可求解
【详解】
由题,,即,
因为,则当时,,
故答案为：
5
【点睛】
本题考查正弦型函数对称性的应用,属于基础题
9．已知函数f（x）＝（m-2）x2+（m-8）x（m∈R）是奇函数.若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）【答案】
【解析】先由奇函数可得,代回解析式则可判断函数单调递减,进而可将恒成立转化为恒成立,从而求解即可
【详解】
因为是奇函数,
所以,
则,
所以,
所以在上单调递减,
因为恒成立,所以恒成立,则,
故答案为：
【点睛】
本题考查已知函数奇偶性求参数,考查利用函数单调性解不等式恒成立问题
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C:
x2-y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点.若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为______.
【答案】
【解析】先得到渐近线方程为,则可设为,,的中点为,再将中点坐标代入双曲线中,解得即为所求
【详解】
由题,双曲线的渐近线方程为：
因为点的横坐标为2,则设为,,
则的中点为,
所以,解得,
则点的横坐标为,
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查中点公式的应用
11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位:
焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍.
【答案】1000
【解析】由题意分别求得和8时的能量,进而求得能量的比
【详解】
由题,当时,,则；
当时,,则,
所以,
故答案为：
1000
【点睛】
本题考查对数的运算性质的应用,考查阅读分析能力
12．已知△ABC的面积3，且AB＝AC.若,则BD的最小值为______.
【答案】
【解析】由题可设,则,利用余弦定理可得,再根据三角形面积公式可得,则,进而,则为关于的函数,利用换元法和导函数求得最值即可
【详解】
由题,设,则,
所以,
因为,所以,
因为大边对大角,所以令为锐角,则,
所以,设,
则,
所以,令,则,则在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,
故答案为：
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:
x2+y2＝8与圆C2:
x2+y2+2x+y-a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______.
【答案】
【解析】先求得直线为：
再分别讨论或和的情况,根据几何性质求解即可
【详解】
由题,则直线为：
当或时,设到的距离为,
因为等腰直角三角形,
所以,即,所以,
所以,解得,
当时,经过圆心,则,即,
故答案为：
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想
14．已知函数，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1-a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是___.
【答案】
【解析】画出图像,令,由5个不相等的实根可得,,则可列出不得关系,进而求得参数范围即可
【详解】
由题,画出的图像,
设,则方程有5个不相等的实根,
由图可得,,,
所以,解得,
故答案为：
【点睛】
本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想
二、解答题
15．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点.求证:
（1）AB//平面PDE;
（2）平面PAB⊥平面PAC.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据中位线的性质可得,进而得证；
（2）先证得平面,进而得证
【详解】
证明：
（1）分别为的中点,
平面,平面,
平面
（2）平面,平面,
,平面,
平面,
平面平面
【点睛】
本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力
16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cosB＝－.
（1）求sinA的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
（1）先求得,再根据正弦定理求得即可；
（2）根据余弦定理解得,再由数量积的定义求解即可
【详解】
（1）,
根据正弦定理可得,,即,
（2）根据余弦定理可得,,
即,解得,
【点睛】
本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:
的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.①若M，N分别是BC，CD的中点，证明:
点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明:
为定值，并求出该定值.
【答案】
（1）；
（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
（1）由求得,进而求得椭圆的方程；
（2）①分别求得,坐标,再求得直线与直线方程,即可求得交点坐标,进而得证；②分别设直线的方程为,直线的方程为,求得点,坐标,则,利用斜率公式求证即可
【详解】
（1）由题,,则,所以,
所以椭圆的标准方程为：
（2）证明：
①由
（1）可得,,
因为,且四边形是矩形,
所以,,
因为点分别是的中点,
所以,,
则直线为：
即,
直线为：
即,
所以,解得,即
因为,
所以点在椭圆上
②设直线的方程为,
令,得,
设直线的方程为,
令,得,
设,则,
【点睛】
本题考查由几何性质求椭圆的方程,考查椭圆的定值问题,考查运算能力与推理证明能力
18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且.顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1.
（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；
（2）求六边形徽标的周长的最大值.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
（1）连接,则,由等边三角形的边长为,可得,再利用三角形面积公式求解即可；
（2）根据三角形的对称性可得,,则周长为关于的函数,进而求得最值即可
【详解】
（1）等边三角形的边长为,
连接,,
当时,六边形徽标的面积为
（2）在中,,
在中,,
设周长为,则,,
当且仅当,即时,
【点睛】
本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想
19．已知数列{an}满足：
a1＝1，且当n≥2时，
（1）若λ＝1，证明数列{a2n-1}是等差数列；
（2）若λ＝2.①设，求数列{bn}的通项公式；②设，证明：
对于任意的p，m∈N，当p>m，都有≥Cm.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）①；②证明见解析
【解析】
（1）分别可得,,二者求和可得,进而得证；
（2）①分别可得,,二者整理可得,即可证明是首项为,公比为4的等比数列,进而求得通项公式；
②先求得与的通项公式,则,则,进而利用数列的单调性证明即可
【详解】
（1）证明：
当时,,
①，
②,
则①②得,
当时,,
是首项为1,公差为1的等差数列
（2）①当时,,
当时,,
①,
②,
①②得,
即,
是首项为,公比为4的等比数列,
②由
（2）①知,
同理由可得,
当时,,
是首项为,公比为4的等比数列,
当时,；
当时,；
当时,,
对于一切,都有,故对任意,当时,
【点睛】
本题考查等差数列的证明,考查等比数列通项公式的应用,考查等比数列求和公式的应用,考查运算能力与推理论证能力
20．设函数，其中e为自然对数的底数.
（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1x1【答案】
（1）；
（2）①②证明见解析
【解析】
（1）当时,,令,即可求得单调减区间；
（2）①,
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