高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx
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高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案22 简单的三角恒等变换
导学目标：
1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．
自主梳理
．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝________________；
cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
tan2α＝________________________．
2．公式的逆向变换及有关变形
sinαcosα＝____________________⇒cosα＝sin2α2sinα；
降幂公式：
sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：
1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
变形：
1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我检测
．函数f＝2sinxcosx是
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
c．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为
A．－3,1
B．－2,2
c．－3，32
D．－2，32
3．函数f＝sinxcosx的最小值是
A．－1
B．－12
c.12
D．1
4．已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA•sinB
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，无最大值
c．既无最大值也无最小值
D．有最大值12，无最小值
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．
变式迁移1 已知函数f＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
求f－11π12的值；
当x∈0，π4时，求g＝12f＋sin2x的最大值和最小值．
探究点二 三角函数式的求值
例2 已知sin•sin＝14，α∈，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．
变式迁移2 已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
已知cos＝35，π2≤α<3π2，求cos的值．
探究点三 三角恒等式的证明
例3 已知sin＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f．
求证：
tan＝2tanα；
求f的解析表达式；
若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f的值域．
变式迁移3 求证：
sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1
＝1＋cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例 已知函数f＝
＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
当m＝0时，求f在区间π8，3π4上的取值范围；
当tanα＝2时，f＝35，求m的值．
【答题模板】
解 当m＝0时，f＝1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
从而得f的值域为0，1＋22.[6分]
f＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：
能求出数值的要求出数值；使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；分式中的分母尽量不含根式等．
．求值中主要有三类求值问题：
“给角求值”：
一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
“给值求值”：
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
“给值求角”：
实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
在化简求值和证明时常用如下方法：
切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．
常用的拆角、拼角技巧如：
2α＝＋，α＝－β，α＝＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
化繁为简：
变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：
消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．
一、选择题
．已知0<α<π，3sin2α＝sinα，则cos等于
A.13
B．－13
c.16
D．－16
2．已知tan＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于
A.1318
B.1322
c.322
D.16
3．已知cos2α＝12，则sinα的值为
A.12
B．－12
c.32
D．－32
4．若f＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为
A．－433
B．8
c．43
D．－43
5．在△ABc中，若cos2B＋3cos＋2＝0，则sinB的值是
A.12
B.22
c.32
D．1
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6．已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．
三、解答题
9．化简：
cos20°cos40°cos60°cos80°；
3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.
0．设函数f＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.
求f的最小正周期；
当∈0，π2时，求函数f的最大值和最小值．
1．已知函数f＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
求f的值；
求f的最大值和最小值．
答案
自主梳理
．2sinαcosα cos2α－sin2α 2cos2α 2sin2α
2tanα1－tan2α 2.12sin2α 1－cos2α2 1＋cos2α2 2cos2α2 2sin2α2 2
自我检测
．c 2.c 3.B 4.D
课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解 y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝2＋6，
由于函数z＝2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝2＋6＝10，最小值为zmin＝2＋6＝6，
故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1 解 f
＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.
g＝cos2x＋sin2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴当x＝π8时，gmax＝2，
当x＝0时，gmin＝1.
例2 解题导引 这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解 由sin•sin
＝sin•cos
＝12sin＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
变式迁移2 解 ∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α
＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α
＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.
cos＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22，
∵π2≤α<32π，
∴3π4≤α＋π4<74π.
又cos＝35>0，
故可知32π<α＋π4<74π，
∴sin＝－45，
从而cos2α＝sin
＝2sincos
＝2××35＝－2425.
sin2α＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×2＝725.
∴cos＝22＝22×
＝－31250.
例3 解题导引 本题的关键是第小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第小题则利用基本不等式求解即可．
证明 由sin＝3sinβ，得sin[＋α]
＝3sin[－α]，
即sincosα＋cossinα＝3sincosα－3cossinα，
∴sincosα＝2cossinα，
∴tan＝2tanα.
解 由得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f＝x1＋2x2.
解 ∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0<α≤π3，0<x≤3，
设g＝2x＋1x，则g＝2x＋1x≥22．
故函数f的值域为＝cos＝－cosα＝－16.]
2．c [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B [∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B [f＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴fπ12＝4sinπ6＝8.]
5．c [由cos2B＋3cos＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析 因为α为第二象限的角，又sinα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析 ∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴当sin＝－1时，函数取得最小值1－2.
8.12
解析 ∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα
＝－2＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解 ∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………
∴原式＝sin40°2sin20°•sin80°2sin40°•12•sin160°2sin80°
＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………
原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………
＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………
0．解 f＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………
T＝2π2＝π，故f的最小正周期为π.…………………………………………………
因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f有最大值0，
……………………………………………………………………………………………
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………
1．解 f＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………
f＝2＋－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝32－73，x∈R.………………………………………………………………
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f取得最大值6；
当cosx＝23时，f取得最小值－73.…………………………………………………
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