部编版高考数学二轮复习专题突破练15531空间中的平行与空间角理.docx
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部编版高考数学二轮复习专题突破练15531空间中的平行与空间角理
专题突破练15 空间中的平行与空间角
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.
(1)证明:
DE∥平面A1B1C;
(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.
2.(2018河南安阳一模,理19)如图,在空间直角坐标系O-xyz中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶点A,B,C分别在x轴,y轴,z轴上.
(1)求证:
CD∥平面OAB;
(2)求二面角C-AB-D的余弦值.
3.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
4.(2018江苏盐城模拟,25)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,点M是BC的中点.
(1)求异面直线AC1与DM所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面AD1M所成角的正弦值.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:
M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
6.(2018江苏卷,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
7.如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2.
(1)求证:
FA∥平面BC'D;
(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;
(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
专题突破练15 空间中的平行
与空间角
1.
(1)证明取AC的中点F,连接DF,EF,
∵E是BC的中点,∴EF∥AB.
∵ABC-A1B1C1是三棱柱,∴AB∥A1B1,∴EF∥A1B1,∴EF∥平面A1B1C.
∵D是AA1的中点,∴DF∥A1C,
∴DF∥平面A1B1C.又EF∩DF=F,
∴平面DEF∥平面A1B1C,
∴DE∥平面A1B1C.
(2)解过点A1作A1O⊥AC,垂足为O,连接OB,∵侧面ACC1A1⊥底面ABC,
∴A1O⊥平面ABC,
∴A1O⊥OB,A1O⊥OC.
∵∠A1AC=60°,AA1=2,
∴OA=1,OA1=AB=2,∠OAB=60°,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠BAC=3,
∴OB=,∴∠AOB=90°,
∴OB⊥AC.
分别以OB,OC,OA1为x轴、y轴、z轴,建立如图的空间直角坐标系O-xyz,
由题设可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D
0,-
E
设m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一个法向量,则
令z1=1,则m=(1,-,1),
∴cos=,∴直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为
2.解
(1)由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.设OA=a,则AB=a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),如图:
设D点的坐标为(x,y,z),则由DA=DB=DC=a,
可得(x-a)2+y2+z2=x2+(y-a)2+z2=x2+y2+(z-a)2=2a2,
解得x=y=z=a,所以=(a,a,0).
又平面OAB的一个法向量为=(0,0,a),所以=0,所以CD∥平面OAB.
(2)设F为AB的中点,连接CF,DF,
则CF⊥AB,DF⊥AB,∠CFD为二面角C-AB-D的平面角.
由
(1)知,在△CFD中,CF=DF=aa,CD=a,则由余弦定理知cos∠CFD=,
即二面角C-AB-D的余弦值为
3.
(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,
又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,
又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.
(2)解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).
设M(x,y,z)(0而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos<,n>|=sin45°,,
即(x-1)2+y2-z2=0.①
又M在棱PC上,设=,则
x=λ,y=1,z=②
由①②解得
(舍去),
所以M,从而
设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则
即
所以可取m=(0,-,2).
于是cos=
因此二面角M-AB-D的余弦值为
4.解在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.
∵M(1,2,0),A(2,0,0),C1(0,2,4),
=(1,2,0),=(-2,2,4),
所以cos<>=,所以异面直线AC1与DM所成角的余弦值为
(2)=(2,0,4),设平面A1DM的一个法向量为n=(x,y,z).
则取y=1,得x=-2,z=1,故平面A1DM的一个法向量为n=(-2,1,1).
于是cos=,所以直线AC1与平面A1DM所成角的正弦值为
5.
(1)证明设AC,BD交点为E,连接ME.
因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.
因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.
(2)解取AD的中点O,连接OP,OE.
因为PA=PD,所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.
如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).
设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则y=1,z=
于是n=(1,1,),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).
所以cos=
由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为
(3)解由题意知M,C(2,4,0),
设直线MC与平面BDP所成角为α,
则sinα=|cos|=所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为
6.解如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{}为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.
因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).
(1)因为P为A1B1的中点,
所以P,
从而=(0,2,2),
故|cos<>|=因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为
(2)因为Q为BC的中点,
所以Q,
因此=(0,2,2),=(0,0,2).设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,
则
即
不妨取n=(,-1,1).
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ,
则sinθ=|cos<,n>|=,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
7.
(1)证明∵BC'=C'D,E为BD的中点,
∴C'E⊥BD.
又平面BC'D⊥平面ABD,且平面BC'D∩平面ABD=BD,
∴C'E⊥平面ABD.
∵FA⊥平面ABD,
∴FA∥C'E.
又C'E⊂平面BC'D,FA⊄平面BC'D,
∴FA∥平面BC'D.
(2)解以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC'所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),
=(-1,-,2),=(-1,0,).设平面FBC'的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则m=(,1,1).
∵平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),
∴cos=
则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为
(3)解假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',设=,则(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,,0),∴x=-λ,y=(λ-1),z=0.而=(-λ,(λ-1),-),由m,得,λ无解.∴线段AD上不存在点M,使得C'M⊥平面FBC'.