六年级奥数周周练 第39周 牛吃草问题 教师版答案.docx
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六年级奥数周周练第39周牛吃草问题教师版答案
第39周“牛吃草”问题
一、知识要点
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,因牛顿提出而得名的。
“一堆草可供10头牛吃3天,供6头牛吃几天?
”这题很简单,用3×10÷6=5(天),如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了。
因为草每天走在生长,草的数量在不断变化。
这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是“牛吃草”问题。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是:
(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。
二、精讲精练
【例题1】一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?
【思路导航】这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。
因为总草量可以分成两部分:
原有的草与新长出的草。
新长出的草虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份,那么27头牛6周需要吃27×6=162(份),此时新草与原有的草均被吃完;23头牛9周需吃23×9=207(份),此时新草与原有的草也均被吃完。
而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和;207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出的草的份数为:
(207-162)÷(9-6)=15(份),所以,原有草的数量为:
162-15×6=72(份)。
这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草,于是这片草地可供21头牛吃72÷(21-15)=12(周)
练习1:
1.一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供24头牛吃6天,20头牛吃10天,那么可供19头牛吃几天?
假设每头牛每天吃青草1份,
青草的生长速度:
(20×10-24×6)÷(10-6)=14(份)
草地原有的草的份数:
24×6-14×6=60(份)
每天生长的14份草可供14头牛去吃,
剩下的19-14=5头牛吃60份草,可吃的天数:
60÷(19-14)=12(天)
答:
这片草地可供19头牛吃12天。
2.牧场上一片草地,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?
假设一头牛一天吃的草的数量为1份,
青草的生长速度:
(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)
草地原有的草的份数:
10×20-5×20=100(份)
每天生长的5份草可供5头牛去吃,
剩下的25-5=20头牛吃100份草,可吃的天数:
100÷(25-5)=5(天)
答:
这片草地可供25头牛吃5天。
3.牧场上的青草每天都在匀速生长,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?
假设一头牛一周吃的草的数量为1份,
青草的生长速度:
(23×9-27×6)÷(9-6)=15(份)
草地原有的草的份数:
23×9-15×9=72(份)
每周生长的15份草可供15头牛去吃,
剩下的21-15=6头牛吃72份草,可吃的天数:
72÷(21-15)=12(天)
答:
这片草地可供21头牛吃12周。
【例题2】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。
照此计算,可供多少头牛吃10天?
【思路导航】与例1不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少,但是,我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。
设1头牛1天吃的草为1份,20头牛5天吃100份,15头牛6天吃90份,100-90=10(份),说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份,也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。
由“草地上的草可供20头牛吃5天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草,所以原有草量有(20+10)×5=150(份),由150÷10=15知道,牧场原有的草可供15头牛吃10天。
由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草,所以可供5头牛吃10天。
练习2:
1.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草每天以均匀的速度在减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。
那么,可供11头牛吃几天?
假设每头牛每天吃的草为1份,
牧场上草每天减少的量:
(20×5-16×6)÷(6-5)=4(份)
牧场上原有草的份数:
20×5+4×5=120(份)
每天减少的草量相当于4头牛同时在吃草,
这片草可供11+4=15头牛吃的天数:
120÷(11+4)=8(天)
答:
可供11头牛吃8天。
2.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草以固定速度在减少。
已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。
照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?
假设每头牛每天吃的草为1份,
牧场上草每天减少的量:
(33×5-24×6)÷(6-5)=21(份)
牧场上原有草的份数:
33×5+21×5=270(份)
每天减少的草量相当于21头牛同时在吃草,
这片草原可供270÷10=27(头)牛吃10天,
由寒冷导致的原因占去21头牛吃的草,所以可供27-21=6(头)牛吃10天。
答:
这个牧场可供6头牛吃10天。
3.经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年。
假设地球新生成的资源增长速度是一样的,那么,为满足人类不断发展的需要,地球最多能养活多少亿人?
假设1亿人1年的资源为1份,
100亿人生活100年的资源是:
100×100=10000(份)
80亿人生活300年的资源是:
80×300=24000(份)
每年生成的资源可养活的人数:
(24000-10000)÷(300-100)=70(亿人)
答:
地球最多能养活70亿人。
【例题3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。
问:
该扶梯共有多少级台阶?
【思路导航】与前两个题比较,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”,“草”变成了“台阶”,“牛”变成了“速度”,也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分:
一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。
男孩5分钟走了20×5=100(级),女孩6分钟走了15×6=90(级),女孩比男孩少走了100—90=10(级),多用了6—5=1(分钟),说明电梯1分钟走10级。
因男孩5分钟到达楼上,他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。
所以,扶梯共有(20+10)×5=150(级)
练习3:
1.自动扶梯以均匀速度行驶着,小明和小红从扶梯上楼。
已知小明每分钟走25级台阶,小红每分钟走20级台阶,结果小明用5分钟,小红用了6分钟分别到达楼上。
该扶梯共有多少级台阶?
小明5分钟走了:
25×5=125(级)
小红6分钟走了:
20×6=120(级)
小红比小明少走了:
125-120=5(级)
说明扶梯1分钟走了:
5÷(6-5)=5(级)
扶梯共有:
(25+5)×5=150(级)
或者(20+5)×6=150(级)
答:
该扶梯共有150级台阶。
2.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。
在20秒钟里,男孩可走27级台阶,女孩可走24级台阶,男孩走了2分钟到达另一端,女孩走了3分钟到达另一端,该扶梯共有多少级台阶?
扶梯1分钟走的台阶数:
[24×(180÷20)-27×(120÷20)]÷(3-2)=54(级)
扶梯的台阶总数:
27×(120÷20)-54×2=54(级)
或者24×(180÷20)-54×3=54(级)
答:
该扶梯共有54级台阶。
3.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底。
白天往下爬,两只蜗牛白天爬行的速度是不同的。
一只每天白天爬20分米,另一只爬15分米。
黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的。
结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底,另一只蜗牛恰好用了6个昼夜到达井底。
那么,井深多少米?
每夜下滑:
(20×5-15×6)÷(6-5)=10(分米)
井深:
(20+10)×5=150(分米)
或者(15+10)×6=150(分米)
150分米=15米
答:
井深15米。
【例题4】一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。
如果用12人舀水,3小时舀完。
如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。
现在要想2小时舀完,需要多少人?
【思路导航】已漏进的水,加上3小时漏进的水,每小时需要(12×3)人舀完,也就是36人用1小时才能舀完。
已漏进的水,加上10小时漏进的水,每小时需要(5×10)人舀完,也就是50人用1小时才能舀完。
通过比较,我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水,2个人用1小时能舀完:
(5×10—12×3)÷(10—3)=2(人)
已漏进的水(让两个人负责舀漏进的水):
(12—2)×3=30(人一小时完成)
已漏进的水加上2小时漏进的水,需34人1小时完成:
30+2×2=34(人)
用2小时来舀完这些水需要17人:
34÷2=17(人)
答:
需要17人。
练习4:
1.有一水池,池底有泉水不断涌出。
用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。
那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?
已涌出的水,加上20小时涌出的水,每小时需要(10×20)部才能抽完,即200部用1小时才能抽完。
已涌进的水,加上10小时涌进的水,每小时需要(15×10)部才能抽完,即150部用1小时才能抽完。
1小时涌进的水,几部用1小时才能抽完?
(10×20-15×10)÷(20-10)=5(部)
已涌进的水(让5部负责抽涌进的水):
(10-5)×20=100(部一小时完成)
已涌进的水用(25-5)部抽水机抽,需要几小时?
100÷(25-5)=5(小时)
注:
⑴原来的水让20部来抽5小时抽完;
⑵涌出的水让5部来抽也能在5小时抽完。
答:
用25部这样的抽水机5小时可把水抽干。
2.有一个长方形的水箱,上面有一个注水孔,底面有一个出水孔,两孔同时打开后,如果每小时注水30立方分米,7小时可以注满水箱;如果每小时注水45立方分米,注满水箱可少用2.5小时。
那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水(设每小时排水量相同)?
[30×7-45×(7-2.5)]÷2.5=3(立方分米)
答:
每小时由底面小孔排出3立方分米的水。
3.有一水井,连续不段涌出泉水,每分钟涌出的水量相等。
如果用3台抽水机来抽水,36分钟可以抽完;如果使用5台抽水机,20分钟抽完。
现在12分钟内要抽完井水,需要抽水机多少台?
1分钟涌出的水,几台用1分钟才能抽完?
(3×36-5×20)÷(36-20)=0.5(台)
已涌出的水(让0.5台去负责抽涌出的水)
(3-0.5)×36=90(台一分钟完成)
现在要12分钟内抽完,需要抽水机多少台?
(90+0.5×12)÷12=8(台)
或90÷12+0.5=8(台)
答:
12分钟内要抽完井水,需要抽水机8台。
【例题5】有三块草地,面积分别为5,6和8公顷。
草地上的草一样厚,而且长得一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。
问第三块草地可供19头牛吃多少天?
【思路导航】为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。
即
[5,6,8]=120
这样,第一块5公顷可供11头牛吃10天,120÷5=24,变为120公顷草地可供11×24=264(头)牛吃10天;
第二块6公顷可供12头牛吃14天,120÷6=20,变为120公顷草地可供12×20=240(头)牛吃14天。
120÷8=15,问题变成:
120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天?
因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,原题可变为:
一块草地匀速生长,可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天,那么可供285头牛吃几天?
即
每天新长出的草:
(240×14—264×10)÷(14—10)=180(份)
草地原有草:
(264—180)×10=840(份)
可供285头牛吃的时间:
840÷(285—180)=8(天)
答:
第三块草地可供19头牛吃8天。
练习5:
1.某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。
如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?
假设1个检票口1分钟检票的人数为1份,
每分钟新来旅客的份数:
(4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)
原有旅客的份数:
(4-2)×30=60(份)
同时打开7个检票口,让2个检票口专门通过新来的旅客,其余的检票口通过原来的旅客,需要的时间:
60÷(7-2)=12(分)
答:
如果同时打开7个检票口,需12分钟。
2.快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆正在行驶的自行车,三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。
快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用多少小时?
自行车的速度:
(20×10-24×6)÷(10-6)=14(千米/时)
三车出发时自行车距离A地的路程:
(24-14)×6=60(千米)
慢车追上自行车的时间:
60÷(19-14)=12(小时)
答:
慢车追上自行车用12小时。
3.一个牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供17头牛吃30天,或供19头牛吃24天。
现有一群牛吃了6天后卖掉4头,余下的牛又吃了2天将草吃完。
这群牛原来有多少头?
假设每头牛每天吃的草为1份,
每天长出的草的份数:
(17×30-19×24)÷(30-24)=9(份)
原有草的份数:
(17-9)×30=240(份)
一群牛如果不卖,吃(6+2)天,草的总份数:
240+9×(6+2)+4×2=320(份)
这群牛原来的头数:
320÷(6+2)=40(头)
答:
这群牛原来有40头。