平面解析几何初步知识要点.docx

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平面解析几何初步知识要点

平面解析几何初步

一、直线的倾斜角、斜率

1、直线的倾斜角是反映直线方向的特征量（几何图形）：

（1）在平面直角直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最中正角叫做直线的倾斜角；

（2）当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；

（3）直线的倾斜角范围是0°≤α<180°，即．

2、直线的斜率是对直线相对于x轴的倾斜程度的刻画，也是确定直线方向的特征量（数量）：

（1）时，，时，直线的斜率不存在；

（2）（其中是直线上两个不同的点，即）；

（3）当k>0时，；当k=0时，α=0；当k<0时，．

二、各种形式的直线方程及适用范围

名称

方程

说明

适用条件

点斜式

y-y0=k（x-x0）

（x0，y0）——直线上已知点

k——斜率

倾斜角为90°的直线不适用

斜截式

y=kx+b

k——斜率

b——纵截距

倾斜角为90°的直线不适用（y轴，即x=0）

两点式

=

（x1，y1），（x2，y2）是直线上两个已知点

与两坐标轴垂直的直线不适用

截距式

+=1

a——直线的横截距

b——直线的纵截距

过（0，0）及与两坐标轴垂直的直线不适用

一般式

Ax+By+C=0

，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不能同时为零

注意：

直线五种形式间的转化．

三、解析法：

通过直角坐标系，利用代数方法证明几何命题的方法称为解析法，解析法证题的一般步骤为：

1、建标：

建立适当的直角坐标系；

2、设点：

根据已知条件，写出已知点的坐标（不要特殊化）；

3、列式：

根据已知条件，建立关系式；

4、化简：

进行等价变形和转化；

5、结论：

将代数和结论转化为几何结论．

四、注意：

（1）要注意倾斜角的范围，要注意斜率存在的条件；

（2）要注意直线方程的几种形式各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解，在解与截距有关的问题时，要防止“零截距”漏解现象；

（3）在利用解析法证明时，注意几个步骤，防止特殊化．

五、两直线的位置关系

直角坐标平面内两条直线的位置关系有：

平行、重合、相交（垂直）

（一）两直线平行或垂直的判断

判断两直线是否平行（重合）或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则可以用一般式的平行垂直条件来判断．

1、对于两条直线l1：

y=k1x+b1，l2：

y=k2x+b2，有以下结论：

（1）l1∥l2k1=k2，且b1≠b2；

（2）l1、l2重合k1=k2，且b1=b2；

斜率不存在时，l1∥l2，则l1：

x=c1，l2：

x=c2且c1≠c2；

（3）l1⊥l2k1·k2=，

斜率不存在时，l1l2，则l1：

x=c1，l2：

y=c2．

2、对于两条直线l1：

A1x+B1y+C1=0，l2：

A2x+B2y+C2=0，

（1）当A2，B2，C2都不为零时，有以下结论：

1）l1∥l2=≠；

2）l1与l2重合==；

3）l1与l2相交≠；

4）l1⊥l2A1A2+B1B2=0．

（2）当A1，A2，B1，B2，C1，C2∈R时，有以下结论：

1）l1∥l2A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1，或B1C2≠B2C1；

2）l1与l2重合A1B2=A2B1，A1C2=A2C1，且B1C2=B2C1；

3）l1与l2相交A1B2≠A2B1；

4）l1⊥l2A1A2+B1B2=0．

（二）与已知直线平行或垂直直线的求法

求与已知直线平行或垂直的直线一般采用待定系数法．

1、对于直线l：

y=kx+b，可以这样假设l/：

（1）l/∥l时，设l/：

y=kx+b/，且b/≠b；

（2）l/⊥l时，设l/：

y=x+b/（k≠0）；

斜率不存在，l/∥l时，则l：

x=c，可设l/：

x=c/，且c/≠c；

l/⊥l时，则l：

x=c，可设l/：

y=c/；

斜率k=0，l/⊥l时，则l：

y=c，可设l/：

x=c/。

2、对于直线l：

Ax+By+C=0，可以这样假设l/：

（1）l/∥l时，设l/：

Ax+By+C/=0，且C/≠C；

（2）l/⊥l时，设l/：

Bx-Ay+C/=0．

（三）直线l1与l2的交点、直线系方程

直线l1与l2交点对于两条直线l1：

A1x+B1y+C1=0，l2：

A2x+B2y+C2=0，

当A1B2≠A2B1时，l1与l2相交。

（1）方程组的解即l1与l2交点P坐标；

（2）直线l：

A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0表示过l1与l2交点P的一系列直线（但不含直线l2），

（3）当A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1，或B1C2≠B2C1时，l1∥l2，

直线l：

A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0表示与l1平行或重合的一系列直线（但不含直线l2），

（4）直线l：

λ（A1x+B1y+C1）+μ（A2x+B2y+C2）=0表示过l1与l2交点P或与l1与l2平行或重合的一系列直线．

利用上面的直线系方程可证明有关直线过定点问题等．

六、两点、点到直线、两平行线间的距离

1、两点P1（x1，y1），（x2，y2）间的距离公式|P1P2|=，

当x1=x2时，|P1P2|=|y1-y2|，当y1=y2时，|P1P2|=|x1-x2|。

2、点P（x0，y0）到直线l：

Ax+By+C=0的距离公式d=，

当l：

y=kx+b时，d=,

当l：

x=a时，d=|a-x0|，当l：

y=b时，d=|b-y0|。

3、两平行直线l1:

Ax+By+C1=0，l2:

Ax+By+C2=0间的距离公式d=，

当l1：

y=kx+b1，l2：

y=kx+b2时，d=，

当l1：

x=c1，l2：

x=c2时，d=|c1-c2|，

当l1：

y=c1，l2：

y=c2时，d=|c1-c2|．

七、对称问题

1、点关于点对称

（1）点P（a,b）关于M（m,n）的对称点Q（2m-a,2n-b），

（2）点P（a,b）关于原点O（0,0）的对称点Q（-a,-b）．

2、点关于直线对称

点P（a,b）关于直线l：

Ax+By+C=0的对称点Q的求法：

方法一、设Q（c,d）,P、Q中点M（，），由

解得c，d,得Q（c,d）;

方法二、设P、Q中点M（m,n），由

解得m，n,得M（m,n），再得Q（2m-a,2n-b）．

点P（a，b）关于直线l：

x=m的对称点Q（2m-a,b）；

关于直线l：

x=0（y轴）的对称点Q（-a,b）；

点P（a，b）关于直线l：

y=n的对称点Q（a,2n-b）；

关于直线l：

y=0（x轴）的对称点Q（a,-b）；

点P（a，b）关于直线l：

x–y+c=0的对称点Q（b–c,a+c）；

关于直线l：

y=x的对称点Q（b,a）；

点P（a，b）关于直线l：

x+y+c=0的对称点Q（-b-c,-a-c）；

关于直线l：

y=-x的对称点Q（-b,-a）．

2、直线关于点对称

直线l：

Ax+By+C=0关于点M（m,n）的对称直线l/的求法：

方法一、设P（x,y）是直线l/上任意一点，则P（x,y）关于点M（m,n）

的对称点Q（2m-x,2n-y）在l上，有A（2m-x）+B（2n-y）+C=0，

从而得直线l/：

Ax+By-2mA-2nB-C=0；

方法二、可知直线l/∥l，可设直线l/：

Ax+By+C/=0，由M（m,n）

到l和l/的距离相等得直线l/：

Ax+By-2mA-2nB-C=0；

直线l：

Ax+By+C=0关于点O（0,0）的对称直线l/：

Ax+By-C=0．

3、直线关于直线对称

直线l1：

A1x+B1y+C1=0关于直线l：

Ax+By+C=0的对称直线

l2的求法：

设P（x,y）是直线l2上任意一点，用x,y表示P关于直线l：

Ax+By+C=0的对称Q（x/,y/），将Q的坐标代入方程A1x+B1y+C1=0直线l2的方程.

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

x=m的对称直线l2：

A（2m-x）+By+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

x=0（y轴）的对称直线l2：

A（-x）+By+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

y=n的对称直线l2：

Ax+B（2n-y）+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

y=0（x轴）的对称直线l2：

Ax+B（-y）+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

x–y+c=0的对称直线l2：

A（y-c）+B（x+c））+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

y=x的对称直线l2：

Ay+Bx+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

x+y+c=0的对称直线l2：

A（-y-c）+B（-x-c））+C=0；

直线l1：

Ax+By+C=0关于直线l：

y=-x的对称直线l2：

Ay+Bx-C=0．

4、曲线关于点对称

曲线C：

f（x,y）=0关于点M（m,n）的对称曲线C/：

f（2m-x,2n-y）=0；

曲线C：

f（x,y）=0关于原点O（0,0）的对称曲线C/：

f（-x,-y）=0．

5、曲线关于直线对称

曲线C：

f（x,y）=0关于直线l：

Ax+By+C=0的对称曲线C/的求法：

设P（x,y）是曲线C/上任意一点，用x,y表示P关于直线l的对称点Q（x/,y/），将Q的坐标代入方程f（x,y）=0，求得曲线C/：

f/（x,y）=0．

曲线C：

f（x,y）=0关于关于直线l：

x=m的对称曲线C/：

f（2m-x,y）=0；

关于直线l：

x=0（y轴）的对称曲线C/：

f（-x,y）=0；

曲线C：

f（x,y）=0关于直线l：

y=n的对称曲线C/：

f（x,2n-y）=0；

关于直线l：

y=0（x轴）的对称曲线C/：

f（x,-y）=0；

曲线C：

f（x,y）=0关于直线l：

x–y+c=0的对称曲线C/：

f（y-c,x-c）=0；

关于直线l：

y=x的对称曲线C/：

f（y,x）=0；

曲线C：

f（x,y）=0关于直线l：

x+y+c=0的对称曲线C/：

f（-y-c,-x-c）=0；

关于直线l：

y=-x的对称曲线C/：

f（-y,-x）=0．

八、圆的定义

在平面上到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹），即P={M||MC|=r}，定点C就是圆心，定长就是半径．

九、圆的方程的三种形式

1、圆C的标准方程C：

（x-a）2+（y-b）2=r2，

圆心坐标为C（a，b），圆的半径为r；

2、圆的一般方程C：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），

圆心坐标为C（-，-），圆的半径为r=；

方程C：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：

A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0。

3、圆的参数方程：

（其中为参数，且），

圆心坐标为C（a，b），圆的半径为r．

4、以A（x1,y1）,B（x2,y2）为直径的圆的方程为C：

（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0。

5、要注意各种形式的圆方程的适用范围，确定圆的方程需要有三个互相独立的条件：

，，或D，E，F．

5、求解有关圆的问题时，要注意到平面几何有关知识的应用，如圆的切线的性质，圆的弦、圆中的角的特点等．

十、点与圆的位置关系

设点P（x0，y0），圆C：

（x-a）2+