第五章 相交线与平行线.docx
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第五章相交线与平行线
第五章相交线与平行线
本章小结
小结1本章概述
本章的主要内容是两条直线的位置关系——相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识,是几何学习的重要阶段,要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质,最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案.
小结2本章学习重难点
【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念;掌握等角的余角相等,等角的补角相等;掌握垂线、垂线段的概念;知道两条直线平行,同位角相等以及同位角相等,两直线平行,进一步探索平行线的性质和判定.
【本章难点】掌握垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义;通过具体实例认识平移;能按要求作出简单平面图形平移后的图形,利用平移进行图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用.
小结3中考透视
中考所考查的内容主要体现在以下几个方面:
1.对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解,对顶角、邻补角以及垂线性质的应用,包括实际应用.
2.同位角、内错角、同旁内角的含义,能由线找出角、由角说出线.
3.平行线的识别与特征,以及在实际问题中的应用.
4.简单命题的证明.
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1有关基本图形的问题
【专题解读】本章中主要考查数图形的个数问题,构造基本图形以及基本图形的组合,如平行线与角平分线的组合,平行线与平行线的组合等.
例1如图5-132所示,直线AB,CD,EF都经过点O,图中共有几对对顶角?
分析数基本图形不能重复,不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角,图中有3组两条直线相交,故对顶角有2×3=6(对).
解:
共有6对对顶角.
【解题策略】数图形个数及书写时,应注意顺序性,这样不易重复和遗漏.
例2如图5-133所示,图中共有几对同旁内角?
分析我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角,其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”,即CD,EF被GH所截,形成两对同旁内角,AB,EF被GH所截,又形成两对同旁内角,所以共有4对同旁内角.
解:
图中共有4对同旁内角.
【解题策略】注意观察同旁内角的特点.
例3如图5-134所示,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC的度数.
分析此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形,需添加一些线(辅助线)把它们转化成我们熟悉的基本图形.
解:
如图5-134所示,过点P作射线PN∥AB.
因为AB∥CD(已知),
所以PN∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),
所以∠4=∠2=25°(两直线平行,内错角相等).
因为PN∥AB(已知),
所以∠3=∠1=32°(两直线平行,内错角相等).
所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.
【解题策略】构造基本图形就是将残缺的基本图形补全.
例4如图5-135所示,已知AB∥CD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明GM∥HN.
分析要说明GM∥HN,可说明∠1=∠2,而由GM,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线,可知∠1=
∠AGF,∠2=
∠EHD,又由AB∥CD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2,从而结论成立.
解:
因为GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD(已知),
所以∠1=
∠AGF,
∠2=
∠EHD(角平分线定义).
又因为AB∥CD(已知),
所以∠AGF=∠EHD(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2,
所以GM∥HN(内错角相等,两直线平行).
【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.
例5如图5-136所示,已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.
分析条件为直线平行,故可根据平行线的性质说明.
解:
因为AB∥CD(已知),
所以∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).
因为BC∥DE(已知),
所以∠C=∠D(两直线平行,内错角相等).
【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.
例6如图5-137所示,已知AB∥CD,G为AB上任一点,GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.
分析要说明180°问题,想到了“平角”和“两直线平行,同旁内角互补”这两个知识点,故可用它们解决问题.
解:
因为AB∥CD(已知),
所以∠4=∠2,∠3=∠5(两直线平行,内错角相等).
因为∠4+∠1+∠5=180°(平角定义),
所以∠2+∠1+∠3=180°(等量代换).
【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°,应用等量代换解决了问题.
例7如图5-138所示,AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF
解:
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC(已知),
所以∠1=
∠AOC,∠2=
∠BOC(角平分线定义).
所以∠1+∠2=
∠AOC+
∠BOC
=
(∠AOC+∠BOC).
又因为∠AOC+∠BOC=180°(邻补角定义),
所以∠1+∠2=
×180°=90°,
所以OE⊥OF(垂直定义).
【解题策略】根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为
∠AOC和
∠BOC是解此题的关键.
例8如图5-139所示,已知AB∥CD,∠CED=90°.试说明∠1+∠2=90°.
解:
因为AB∥CD(已知),
所以∠3=∠1,∠4=∠2(两直线平行,内错角相等).
因为∠3+∠4+∠CED=180°(平角定义),
∠CED=90°(已知),
所以∠3+∠4=90°,
所以∠1+∠2=90°(等量代换).
【解题策略】根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4,再根据平角定义由∠3+∠4+∠CED=180°和已知∠CED=90°可说明∠1+∠2=90°.
例9如图5-140所示,在三角形ABC中,CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.
解:
因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知),
所以∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义),
所以∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
因为DE∥BC(已知),
所以∠1=∠3(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2(等量代换).
【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1,∠2,∠3的关系.
二、规律方法专题
专题2基本命题的计算与证明
【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有
(1)有关角的计算;
(2)有关角相等的判定;(3)判定平行问题;(4)判定垂直问题;(5)判定共线问题.
例10如图5-141所示,已知∠4=70°,∠3=110°,∠1=46°,求∠2的度数.
分析由∠3+∠4=180°,知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.
解:
因为∠4=70°,∠3=110°(已知),
所以∠4+∠3=180°,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°(两直线平行,同旁内角互补).
【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行,由两直线平行可行同旁内角互补,从而计算相关的角.
例11如图5-142所示,AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.
解:
因为AB∥CD(已知),
所以∠1+∠3=∠2+∠4(两直线平行,内错角相等).
因为EB∥DF(已知),
所以∠3=∠4(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2(等式性质).
【解题策略】判定角相等的方法有:
(1)同角(等角)的余角相等;
(2)同角(等角)的补角相等;
(3)对顶角相等;
(4)角平分线定义;
(5)两直线平行,同位角相等;
(6)两直线平行,内错角相等.
例12如图5-143所示,DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.
分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2,故有∠1=∠A,从而得出结论.
解:
因为DF∥AC(已知),
所以∠2=∠A(两直线平行,同位角相等).
因为∠1=∠2(已知),所以∠1=∠A(等量代换),
所以DE∥AB(同位角相等,两直线平行).
【解题策略】判定平行的方法有:
(1)平行于同一条直线的两直线平行;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)同位角相等,两直线平行;
(4)内错角相等,两直线平行;
(5)同旁内角互补,两直线平行.
例13如图5-144所示,∠1=∠2,CD∥EF.试说明EF⊥AB.
分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°,而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°,又∠1=∠2,所以有∠1=∠2=90°,从而得出结论.
解:
因为CD∥EF(已知),
所以∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠1=∠2(已知),所以∠1=∠2=90°,
所以EF⊥AB(垂直定义).
【解题策略】判定垂直的方法有:
(1)说明两条相交线的一个交角为90°;
(2)说明邻补角相等;
(3)垂直于平行线中的一条,也必垂直于另一条.
例14如图5-145所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.
分析要说明E,O,F三点共线,只需说明∠EOF=180°.
解:
因为AB,CD相交于点O(已知),
所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD(已知),
所以∠1=
∠AOC,
∠2=
∠BOD(角平分线定义),
所以∠1=∠2(等量代换).
因为∠1+∠EOD=180°(邻补角定义),
所以∠2+∠EOD=180°(等量代换),
即∠EOF为平角,所以E,O,F三点共线.
【解题策略】判定三点共线问题的方法有:
(1)构成平角;
(2)利用平行公理说明;
(3)利用垂线的性质说明.
三、思想方法专题
专题3转化思想
【专题解读】在计算过程中,我们总是想办法将未知的转化为已知的.
例15如图5-146所示,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:
∠AOD=7:
2,求∠BOE的度数.
分析欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角,所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可,由已知条件可求得∠AOD.
解:
∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:
∠AOD=7:
2,
∴∠COA=
×180°=140°,∠AOD=
×180°=40°.
∵OD平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.
【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系,要注意发现图形中的这两种角,它们常隐藏在直线条件的背后.
2011中考真题相交线与平行线精选
一、选择题
1.(2011云南保山2,3分)如图,l1∥l2,∠1=120°,则∠2=.
考点:
平行线的性质;对顶角、邻补角。
分析:
由邻补角的定义,即可求得∠3的度数,又由l1∥l2,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
解答:
解:
∵∠1=120°,
∴∠3=180°﹣∠1=60°,
∵l1∥l2,
∴∠2=∠3=60°.
故答案为:
60.
点评:
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义.注意两直线平行,同位角相等.
2.(2011•南通)如图,AB∥CD,∠DCE=80°,则∠BEF=( )
A、120°B、110°C、100°D、80°
考点:
平行线的性质;对顶角、邻补角。
专题:
计算题。
分析:
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°,代入求出即可.
解答:
解:
∵AB∥CD,∴∠DCE+∠BEF=180°,∵∠DCE=80°,∴∠BEF=180°﹣80°=100°.故选C.
点评:
本题主要考查对平行线的性质,邻补角的定义等知识点的理解和掌握,根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键.
3.(2011山东日照,3,3分)如图,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,那么∠E的大小为( )
A.70°B.80°C.90°D.100°
考点:
三角形内角和定理;平行线的性质。
专题:
计算题。
分析:
根据两直线平行,同位角相等,求得∠EFA=55°,再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数.
解答:
解:
∵AB∥CD,∠C=125°,
∴∠EFB=125°,
∴∠EFA=180﹣125=55°,
∵∠A=45°,
∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°.
故选B.
点评:
本题应用的知识点为:
两直线平行,同位角相等;三角形内角和定理.
4.(2011山西,5,2分)如图所示,∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=35°,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上的点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是()
A.35°B.70°C.110°D.120°
考点:
平行线的性质,三角形的外角,多学科综合
专题:
相交线与平行线
分析:
由DC∥OB得∠ADC=∠AOB=35°,又由反射角相等知∠ADC=∠ODE=35°,因为∠DEB是△ODE的外角,所以∠DEB=∠ODE+∠AOB=70°.
解答:
B
点评:
利用反射角相等得出∠ADC=∠ODE=35°.掌握平行线的性质,三角形的外角以及反射角相等.
5.(2011台湾,8,4分)如图中有四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A.∠2=∠4+∠7B.∠3=∠1+∠6C.∠1+∠4+∠6=180°D.∠2+∠3+∠5=360°
考点:
三角形内角和定理;对顶角.邻补角;三角形的外角性质。
分析:
根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB,再用三角形内角和定理得出得出∠AOB+∠4+∠6=180°,即可得出答案.
解答:
解:
∵四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角,
∵∠1=∠AOB,
∵∠AOB+∠4+∠6=180°,
∴∠1+∠4+∠6=180°.
故选C.
点评:
此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理,正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键.
6.(2011新疆建设兵团,3,5分)如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.
则∠C等于( )
A、40°B、65°C、75°D、115°
考点:
平行线的性质.
分析:
由∠A=40°,∠AOB=75°,根据三角形内角和定理,即可求得∠B的度数,又由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠C的值.
解答:
解:
∵∠A=40°,∠AOB=75°.
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠AOB=180°﹣40°﹣75°=65°,
∵AB∥CD,
∴∠C=∠B=65°.
故选B.
点评:
此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理.解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等的定理的应用.
7.(2011重庆綦江,5,4分)如图,直线a∥b,AC丄AB,AC交直线b于点C,∠1=65°,则∠2的度数是( )
A.65°B.50°C.35°D.25°
考点:
平行线的性质。
专题:
几何计算题。
分析:
首先由AC丄AB与∠1=65°,求得∠B的度数,然后由a∥b,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
解答:
解:
∵AC丄AB,
∴∠BAC=90°,
∴∠1+∠B=90°,
∵∠1=65°,
∴∠B=25°,
∵a∥b,
∴∠2=∠B=25°.
故选D.
点评:
此题考查了平行线的性质与垂直的定义.题目比较简单,解题时要注意数形结合思想的应用.
8.(2010重庆,4,4分)如图,AB∥CD,∠C=80°,∠CAD=60°,则∠BAD的度数等于()
A.60°B.50°C.45°D.40°
考点:
平行线的性质
分析:
根据三角形的内角和为180°,即可求出∠D的度数,再根据两直线平行,内错角相等即可知道∠BAD的度数.
解答:
解:
∵∠C=80°,∠CAD=60°,∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°,∵AB∥CD,∴∠BAD=∠D=40°.故选D.
点评:
本题考查了三角形的内角和为180°,以及两直线平行,内错角相等的性质,难度适中.
9.(2011湖北潜江,5,3分)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于( )
A.23°B.16°C.20°D.26°
考点:
平行线的性质。
专题:
计算题。
分析:
根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°,∠FEC+∠ECD=180,求出∠ECD,根据∠BCE=∠BCD—∠ECD求出即可.
解答:
解:
∵AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,
∴∠BCD=∠ABC=46°,∠FEC+∠ECD=180°,
∴∠ECD=180°—∠FEC=26°,
∴∠BCE=∠BCD—∠ECD=46°—26°=20°.
故选C.
点评:
本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握,能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键.
10.(2011•河池)如图,AB∥CD,AC与BD相交于点O,∠A=30°,∠COD=105°.则∠D的大小是( )
A、30°B、45°
C、65°D、75°
考点:
平行线的性质;三角形内角和定理。
分析:
首先根据两直线平行,内错角相等得出∠C=∠A=30°,然后由△COD的内角和为180°,求出∠D的大小.
解答:
解:
∵AB∥CD,
∴∠C=∠A=30°.
在△COD中,∵∠C+∠COD+∠D=180°,
∴∠D=180°﹣30°﹣105°=45°.
故选B.
点评:
本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理,属于基础题型,比较简单.
11.(2011•安顺)如图,己知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C的度数是( )
A、100°B、110°
C、120°D、150°
考点:
平行线的性质。
分析:
由∠CDE=150°,根据邻补角的定义,即可求得∠CDB的度数,又由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠ABD的度数,由BE平分∠ABC,求得∠ABC的度数,然后根据两直线平行,同旁内角互补,求得∠C的度数.
解答:
解:
∵∠CDE=150°,
∴∠CDB=180°﹣∠CDE=30°,
∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDB=30°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD=60°,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣∠ABC=120°.
故选C.
点评:
此题考查了平行线的性质,邻补角的定义与角平分线的定义.解题的关键是注意掌握两直线平行,内错角相等与两直线平行,同旁内角互补定理的应用.
12.(2011•德州,4,3分)如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3等于( )
A、55°B、60°C、65°D、70°
考点:
三角形内角和定理;对顶角、邻补角;平行线的性质。
分析:
设∠2的对顶角为∠5,∠1在l2上的同位角为∠4,结合已知条件可推出∠1=∠4=40°,∠2=∠5=75°,即可得出∠3的度数
解答:
解:
∵直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,
∴∠1=∠4=40°,∠2=∠5=75°,
∴∠3=65°.
故选C.
点评:
本题主要考查三角形的内角和定理,平行线的性质和对顶角的性质,关键在于根据已知条件找到有关相等的角.
13.(2011•临沂,3,3分)如图.己知AB∥CD,∠1=70°,则∠2的度数是( )
A、60°B、70°C、80°D、110
考点:
平行线的性质。
分析:
由AB∥CD,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数,又由邻补角的性质,即可求得∠2的度数.
解答:
解:
∵AB∥CD,
∴∠1=∠3=70°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠2=110°.
故选D.
点评:
此题考查了平行线的性质.注意数形结合思想的应用.
14.(2011泰安,8,3分)如图,l∥m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若∠β=20°,则∠α的度数为( )
A.25°B.30°C.20°D.35°
考点:
平行线的性质;对顶角.邻补角;三角形的外角性质。
专题:
计算题。
分析:
根据平角的定义求出∠ACR,根据平行线的性质得出∠FDC=∠ACR=70°,求出∠AFD,即可得到答案.
解答:
解:
∵∠β=20°,∠ACB=90°,
∴∠ACR=180°-90°-20°=70°,
∵l∥m,
∠FDC=∠ACR=70°,
∴∠AFD=∠FDC-∠A=70°-45°=25°,
∴∠a=∠AFD=25°,
故选A.
点评:
本题主要考查对平行线的性质,三角形的外角性质,对顶角.邻补角等知识点的理解和掌握,求出∠AFD的度数是解此题的关键.
15.(2011四川泸州,4,2分)如图,∠1与∠2互补,∠3=135°,则∠4的度数是( )
A.45°B.55°C.65°D.75°
考点:
平行线的判定与性质;对顶角、邻补角.专题:
计算题.
分析:
因为∠1与∠2互补,所以a∥b,又因为∠3=∠5,所以∠4与∠5互补,则∠4的度数可求.
解答:
解:
∵∠1与∠2互补,
∴a∥b,
∵∠3=∠5,
∴∠5=135°,
∵a∥b,
∴∠4与∠5互补,
∴∠4=180°-135°=45°.
故选A.
点评:
本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
16.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果
∠1=32°,那么∠2的度数是( )
A、32°B、58°C、68°D、60°
【
答案】B
【考点】平行线的性质;余角和补角.
【专题】计算题
【分析】本题主要利用两直线平行,同位角相等及余角的定义作答.
【解答】解:
根据题意可知∠1+∠2=90°,所以∠2=90°-∠1=58°.故选B.
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质.互为余角的两角的和为90°.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系,从而计算出结果.
17.(2011•南充,3,3分)如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=60°,下列结论成立的是( )
A、∠C=60°B、∠DAB=60°C、∠EAC=60°D、∠BAC=60°
考点:
平行线的性质。
专题:
几何图形问题。
分析:
根据平行线的性质,根据内错角相等,逐个排除选项即可得出结果.
解答:
解:
A、无法判断,故本选项错误,
B、∠B=60°,∴∠DAB=60°,故本选项正确,
C