中考数学复习考点精练第31课时 相似与位似.docx
《中考数学复习考点精练第31课时 相似与位似.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学复习考点精练第31课时 相似与位似.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学复习考点精练第31课时相似与位似
2019-2020年中考数学复习考点精练：
第31课时相似与位似
命题点1平行线分线段成比例（近3年39套卷，2015年考查3次）
1.（2015淮安8题3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若
则EF的长是（）
A.
B.
C.6D.10
第1题图第2题图
2.（2015连云港16题3分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为_________.
命题点2相似三角形的判定与性质（近3年39套卷，2015年考查6次，2014年考查3
次，2013年考查1次）
1.（2014南京3题3分）若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1：
2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）
A.1:
2B.2:
1C.1:
4D.4:
1
2.（2015南京3题3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，
，则下列结论中正确的是（）
A.
B.
3.（2015泰州14题3分）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB＝6，BD=4,则CD的长为________.
第3题图第4题图
4.（2015南通17题3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC,垂足为E，
，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则
的值等于______.
5.（2015南京20题8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且
.
（1）求证△ACD∽△CBD;
（2）求∠ACB的大小.
第5题图
6.（2015连云港25题10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.
（1）求BD·cos∠HBD的值；
（2）若∠CBD=∠A，求AB的长.
第6题图
7.（2015镇江26题7分）某兴趣小组开展课外活动.如图，A、B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H,此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C、E、G在一条直线上）.
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度.
第7题图
8.（2013徐州26题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.
（1）若△CEF与△ABC相似.
①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；
②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？
请说明理由.
第8题图
命题点3位似图形（近3年39套卷，2015年考查1次，2013年考查1次）
1.（2015镇江17题3分）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′、B′分别是点A、B的对应点，
.已知关于x，y的二元一次方程组
（m，n是实数）无解.在以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k·t的值等于（）
A.
B.1C.
D.
第1题图第2题图
2.（2013泰州15题3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0），（2，-3）,△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1，0），则点B′的坐标为__________.
【答案】
命题点1平行线分线段成比例
1.C【解析】本题主要考查平行线截线段对应成比例的定理即三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.由
得
.
2.
【解析】过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如解图.∵∠BAC=60°,∠ABC=90°,∴tan∠BAC=
.∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°.∵∠ABC=90°,∴∠EAB=90°-∠ABE=∠FBC,∴△BFC∽△AEB,∴
，∵BE=1,∴FC=3.在Rt△BFC中，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=
命题点2相似三角形的判定与性质
1.C【解析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，故S△ABC∶S△A’B’C’＝（1:
2）2=1:
4.
2.C【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，则
△ADE与△ABC的周长比为
，△ADE与△ABC的面积比为
.
3.5【解析】因为∠BAD=∠C，∠B=∠B，所以△BAD∽△BCA，则BA2=BD·BC，即36=4·（4＋CD），解得CD=5.
4.
【解析】∵BF⊥AC，∴∠CFB＋∠FCE=90°，∠CFB＋∠CBF=90°，∴∠FCE=∠CBF.∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∴∠CAB=∠CBF.∵∠BCF=∠ABC，∴△FCB∽△CBA，∴CF:
CB=CB:
AB=1:
2，∴FC:
AB=1:
4，∵FC∥AB，∴△FCE∽△BAE，∴
.
5.
（1）【思路分析】要证△ACD∽△CBD，又知
，只需找到三角形中两边的夹角，又CD为AB上的高，则∠ADC=∠CDB=90°即可得证.
证明：
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°.………………………………………………………………（2分）
又∵
∴△ACD∽△CBD.……………………………………………………………………（4分）
（2）【思路分析】因为∠ACB=∠ACD+∠BCD，由△ACD∽△CBD可得：
∠ACD=∠ABC，又因为∠A+∠ACD=90°，因此∠ACB=90°.
解：
∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD.（5分）
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°,
∴∠A+∠ACD=90°,……………………………………………………………………（7分）
∴∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.…………………………………………………………………………（8分）
6.
（1）【思路分析】由平行得∠BHD=∠ABC=90°，进而得△ABC∽△DHC，根据相似三角形的性质得到成比例线段，结合直角三角形的边角关系和已知线段的数量关系求解.
解：
∵DH∥AB,
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△DHC,
∴
，
∵AC=3CD，BC=3,
∴CH=1，BH=BC+CH=4.
在Rt△BHD中，cos∠HBD=
，
∴BD·cos∠HBD=BH=4；…………………………………………………………………（4分）
（2）【思路分析】利用三角形中两角对应相等，两三角形相似得到△ABC∽△BHD，得到成比例线段，又结合
（1）中相似三角形，得到AB=3DH，从而可得DH的长，即得AB的长.
解：
∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD.
∴△ABC∽△BHD.…………………………………………………………………………（6分）
∴
∵△ABC∽△DHC，
∴
，∴AB=3DH，
∴
……………………………………………………（10分）
【一题多解】∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，
∴△CDB∽△BDA，
∴
∴BD2=CD·4CD=4CD2,
∴BD=2CD.…………………………………………………………………………（6分）
∵△CDB∽△BDA，
∴
∴AB=6.…………………………………………………………………………（10分）
【备考指导】掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，可以列出等量关系式，再结合题目中的已知条件等量代换求解.
7.
（1）【思路分析】延长AC，BG交于一点O即得光源，连接OE并延长交AB于点M则FM为影长.
解：
如解图，点O为光源;…………………………………………………………………（1分）
FM为影长.…………………………………………………………………………（2分）
（2）【思路分析】两个“A”字的三角形相似，通过中间比
，得出
，代入数值即可求解.
解：
∵点C、E、G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,
∴
则
…………………………………（4分）第7题图
设小明原来的速度为vm/s，
………………………………………………………………（5分）
解得：
v=1.5.
经检验v=1.5是方程的根.
答：
小明原来的速度为1.5m/s.…………………………………………………………（7分）
8.
（1）【思路分析】若△CEF与△ABC相似.①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，此时Ｄ为AB中点；②当AC=3，BC=4时，分两种情况：
a.若CE:
CF=3:
4，如解图②所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；b.若CF:
CE=3:
4，如解图③所示.由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即点D为AB的中点.
解：
①2；②1.8或2.5.………………………………………（4分）
【解法提示】若△CEF与△ABC相似.
①当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如解图①所示.
此时D为AB边中点，AD＝
AC＝
.第8题解图①
②当AC=3，BC=4时，有两种情况：
a.若CE:
CF=3:
4，如解图②所示.
∵CE:
CF=AC：
BC，∴EF∥AB.
由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高.
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB=5，
∴cosA=
.
AD=AC·cosA=3×
=1.8；第8题解图②
b.若CF:
CE=3:
4，如解图③所示.
∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B.
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD.第8题解图③
同理可得：
∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此时AD=
AB=
×5=2.5.
综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为1.8或2.5.
（2）【思路分析】当点D是AB的中点时，可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似.
解：
当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似.……………………………………（5分）
理由如下：
如解图④所示，连接CD，与EF交于点Q.
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝DB=
AB，
∴∠DCB=∠B.…………………………（6分）第8题解图④
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A.
又∵∠ACB=∠FCE，
∴△CEF∽△CBA.………………………………………………………………（8分）
命题点3位似图形
1.D【解析】由于二元一次方程组无解，所以mn=3，且2n+1≠4，解得m≠2，n≠
由于mn=3，则点（m，n）（其中m≠2，n≠
）在反比例函数y=
上，由于矩形及反比例函数都是中心对称图形，反比例函数与矩形的交点是成双出现的，只有当点A′的坐标为（2，
）时，此时反比例函数与矩形A′B′C′D′有且只有一个交点为C′点，∴直线OA′的解析式为：
y=
x，当x=1时，t=
，A′B′=4，AB=2，k=2，于是k·t=
.
第1题解图第2题解图
2.（
，-4）【解析】如解图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，∵点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1，0），∴
，AE＝1，EO＝2，BE＝3，∴
，∴
，解得：
AF＝
，∴EF＝
，∴FO＝
∵
，解得：
B′F＝4，则点B′的坐标为：
（
，-4）.
2019-2020年中考数学复习考点精练：
第32课时数据的收集和整理
命题点1调查方式（近3年39套卷，2014年考查1次，2013年考查1次）
（2014南京21
（1）题4分）为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析.
（1）小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力.他们的抽样是否合理？
请说明理由.
命题点2样本、总体、个体（近3年39套卷，2013年考查1次）
（2013扬州12题3分）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼.
命题点3统计图的分析（近3年39套卷，2015年考查11次，2014年考查13次，2013
年考查13次）
命题解读统计图的分析，考查题型主要为解答题，考查的统计图有：
条形统计图、折线统计图、统计表、扇形统计图、频数分布直方图、频数分布表，其中有单独考查的，也有两种统计图结合考查的，考查的背景灵活且贴近生活.
1.（2014南京21
（2）题4分）为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析.
（2）该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1000名学生进行调查，整理他们的视力情况数据，得到如下的折线统计图.请你根据抽样调查的结果，估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少？
第1题图
2.（2014连云港20题8分）我市启动了第二届“美丽港城·美在悦读”全民阅读活动.为了解市民每天的阅读时间情况，随机抽取了部分市民进行调查.根据调查结果绘制如下尚不完整的频数分布表：
阅读时间
x（min）
0≤x<30
30≤x<60
60≤x<90
x≥90
合计
频数
450
400
50
频率
0.4
0.1
1
（1）补全表格；
（2）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”，若我市约有500万人，请估计我市能称为“阅读爱好者”的市民约有多少万人？
3.（2015淮安23题8分）课题小组从某市20000名九年级男生中，随机抽取了1000名进行50米跑测试，并根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图表.
等级
人数/名
优秀
a
良好
b
及格
150
不及格
50
第3题图
解答下列问题：
（1）a＝＿＿＿＿＿,b＝＿＿＿＿＿;
（2）补全条形统计图；
（3）试估计这20000名九年级男生中50米跑达到良好和优秀等级的总人数.
4.（2015宿迁19题6分）某校为了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：
kg）分成五组（A:
39.5～46.5;B:
46.5～
53.5;C:
53.5～60.5;D:
60.5～67.5;E：
67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两种尚不完整的统计图.
第4题图
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是________，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为______，在扇形统计图中D组的圆心角是_______度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
5.（2015徐州22题7分）某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四种），绘制成部分统计图如下，请根据图中信息，解答下列问题：
第5题图
（1）a=_____%,b=______%,“总是”对应阴影的圆心角为________°;
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？
6.（2015盐城21题8分）2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年，9月3日全国各地将举行有关纪念活动.为了解初中学生对二战历史的知晓情况，某初中课外兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，调查的数据经整理后形成下列尚未完成的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）.
第6题图
（1）在这次抽样调查中，一共抽查了______名学生；
（2）请把图①中的条形统计图补充完整；
（3）图②的扇形统计图中D类部分所对应扇形的圆心角的度数为________°；
（4）如果这所学校共有初中学生1500名，请你估算该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？
命题点4频数与频率（近3年39套卷，2015年考查2次）
1.（2015南通7题3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20％左右，则a的值大约为（）
A.12B.15C.18D.21
2.（2015苏州5题3分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
则通话时间不超过15min的频率为（）
A.0.1B.0.4C.0.5D.0.9
【答案】
命题点1调查方式
【思路分析】所抽查的样本应具有代表性、广泛性、真实性，如果满足其条件，即合理，否则不合理.
解：
他们的抽样都不合理;…………………………………………………………………（1分）
因为如果1000名初中学生全部在眼镜店抽取，那么该市每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性;如果只抽取20名初中学生，那么样本的容量过小，样本不具有广泛性.……………………………………………………………………………………………（4分）
命题点2样本、总体、个体
1200【解析】∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，∴有标记的鱼占
×100%=2.5%，∵共有30条鱼有标记，∴鱼塘中估计有30÷2.5%=1200条鱼.
命题点3统计图的分析
1.【思路分析】利用折线图中的数据，先求出“视力不良”的学生所占调查总数的百分比，再利用样本估计总体.
解：
×120000＝72000（名）.……………（4分）
答：
估计该市120000名初中学生视力不良的人数是72000名.
2.
（1）【思路分析】通过30≤x＜60的频数和频率可以求出所抽取的样本容量＝
，再由
＝频率的变形公式求得其余空缺的数据.
解：
补全的表格如下表：
阅读时间x（min）
0≤x<30
30≤x<60
60≤x<90
x≥90
合计
频数
450
400
100
50
1000
频率
0.45
0.4
0.1
0.05
1
………………………………………………………………………………………………（5分）
【解法提示】由30≤x<60的频数和频率求出调查所抽取的总人数＝
＝
＝1000（人），0≤x<30的频率＝
＝0.45，60≤x<90的频数＝1000×0.1＝100（人），x≥90的频率＝
＝0.05.
（2）【思路分析】考查样本估计总体，先求出样本中“阅读爱好者”的频率，再乘以城市总人数即可求解.
解：
由表可知，阅读时间不低于60min的频率为（0.1+0.05），由此可以估算500万人中阅读时间不低于60min的频率为（0.1+0.05），
∴500×（0.1+0.05）=500×0.15=75（万人），……………………………………………（7分）
答：
我市能被称为“阅读爱好者”的市民约有75万人.…………………………………（8分）
3.
（1）【思路分析】求统计表中人数就是求频数，根据统计图可直接确定a，b=样本总量-已知组频数之和.
解：
根据统计图，a=200；b=1000-200-150-50=600;………………………………………（2分）
（2）【思路分析】由
（1）得b的值为600，补全统计图即可.
解：
补全的条件统计图如解图：
第3题解图
………………………………………………………………………………………………（5分）
（3）【思路分析】先算出样本中优秀和良好所占的百分比，再将总体×所占样本的百分比即可.
解：
×100％=16000（人）.
答：
估计20000名九年级男生中50米跑达到优秀和良好等级的总人数为16000人.…（8分）
4.
（1）【题图分析】由扇形图可知A组的百分率为8%，从直方图中可知A组的人数为4，由此可求出样本容量，有了样本容量，B组的人数可求，则直方图可补全.
解：
=50，50-4-16-10-8=12，补全的直方图如解图：
第4题解图
………………………………………………………………………………………………（2分）
（2）【思路分析】用频数除以样本容量即为频率，用频率乘以360°，即可求出对应的圆心角度数.
解：
×100%=32%，
×360°=72°，故填：
32%，72；…………………………（4分）
（3）【思路分析】用样本的百分比乘以初三年级的总人数即可.
解：
×1000=360（名）.
答：
估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有360名.………………………（6分）
5.
（1）【思路分析】先用80÷40％求出总人数，即可求出a，b;用40％×360°，即可得到圆心角的度数.
解：
80÷40％＝200（人），a=38÷200=19%,b=100%-40%-21%-19%=20%，
40%×360°=144°；………………………………………………………………………（3分）
（2）【思路分析】求出2014年“有时”，“常常”的人数，即可补全条形统计图.
解：
2014年“有时”的人数为：
20％×200＝40（人），
2014年“常常”的人数为：
200×21％＝42（人），
补全统计图如解图所示：
第5题解图……………………………………………（5分）
（3）【思路分析】根据样本估计总体，即可解答.
解：
1200×
=480（人），
答：
数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480人；………………………………（6
升级会员 