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角度问题

三角形中的一个角度计算问题

在△ABC中，∠B=45°，，AD是∠BAC的角平分线,EF垂直平分AD,叫BC的延长线于点F，求∠FAC的大小

证明要点：

设AD的垂直平分线与AC交于M，连接DM

根据线段垂直平分线的对称性可得

∠FAC＝∠FDM，∠MAD＝∠MDA

因为∠MAD＝∠BAD

所以∠MDA＝∠BAD

所以MD∥AB

所以∠FDM＝∠B＝45度

所以∠FAC＝45度

类别：

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三角形中的一个角度关系问题

2010-06-0921:

已知如图，在三角形ABC中，AB＞AC，AD是高，AE是角平分线，试说明∠EAD＝1／2（∠C－∠B）

证明：

因为AD⊥BC

所以∠BAD＋∠B＝90度

∠C＋∠CAD＝90度

所以∠C－∠B＝∠BAD－∠CAD

因为AE∠BAC

所以∠BAE＝∠CAE

所以∠C－∠B

＝∠BAD－∠CAD

＝（∠BAE＋∠EAD）－（∠CAE－∠EAD）

＝2∠EAD

所以∠EAD＝（∠C－∠B）/2

类别：

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折叠三角形产生的角度问题

2010-05-3121:

如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1和∠2之间有怎样的数量关系？

证明你的结论

解答要点：

关系：

2∠A＝∠2－∠1

理由：

如图知，∠3＝180°－∠1＋∠A

而∠B＋∠C＋∠2＋∠3＝360°

所以∠B＋∠C＋∠2＋（180°－∠1＋∠A）＝360°

又因为∠B＋∠C＝180°－∠A

所以180°－∠A＋∠2＋（180°－∠1＋∠A）＝360°

所以2∠A＝∠2－∠1

类别：

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运用全等三角形证明角平分线一题

2009-09-0616:

如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC，BE、CD交于P，求证：

AP平分∠DPE。

证明：

作AM⊥DC，AN⊥BE

因为∠DAB＝∠EAC

所以∠DAC＝∠BAE

又因为AB＝AD，AC＝AE

所以△ADC≌△ABE（SAS）

所以AM＝AN

（全等三角形对应边上的高相等）

所以P在∠DPE的平分线上

（到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上）

所以AP平分∠DPE

类别：

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三角形中的一个角度问题

2009-09-0222:

已知,如图△ABC中,BC边中垂线ED叫BC于E,叫BA延长线于D,过C作CF⊥BD于F,交DE于G,DF=1/2BC，试说明∠FCB=1/2∠B.

证明：

连接BG

因为DF＝BC/2，CE＝BC/2

所以DF＝CE

又因为∠DFG＝∠CEG＝90度，∠DGF＝∠CGE

所以△DFG≌△CEG

所以GF＝GE

又因为BG＝BG，∠BFG＝∠BEG＝90度

所以△BFG≌△BEG

所以∠GBF＝∠GBE＝∠ABC/2

因为DE是BC的中垂线

所以GB＝GC

所以∠GBE＝∠GCE

所以∠GCE＝∠ABC/2

即∠FCB＝∠ABC/2

类别：

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运用等腰三角形性质求角度一例

2009-08-0211:

三角形ADE中,∠ADE=140°,点B和点C分别在变AD和边AE上,若AB、BC\CD和DE的长都相等，则∠EAD的度数是多少。

。

解：

设∠EAD＝X

因为AB＝BC

所以∠ACB＝X

所以∠DBC＝2X

（三角形任一外角等于不相邻两个内角的和）

因为BC＝CD

所以∠ADC＝∠DBC＝2X

所以∠DCE＝3X

（三角形任一外角等于不相邻两个内角的和）

因为CD＝DE

所以∠E＝∠DCE＝3X

因为∠DAE＋∠E＋∠ADE＝180°

而∠ADE＝140

所以140＋X＋3X＝180°

所以X＝10°

即∠EAD＝10°

类别：

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一道三倍角的问题

2009-07-3119:

已知过角CAB的定点A，在一边取定线段AB，作BC垂直AB交角CAB的另一边于点C，做CD平行AB，连结AD，AD与BC相交于E点，ED=2AC，求证角BAD=1/3角CAB

证明：

取DE的中点M，连接CM

因为AB⊥BC，CD//AB

所以CD⊥BC

所以民CM是直角三角形斜边DE上的中线

所以CM＝ED/2＝DM

因为ED＝2AC

所以AC＝CM

所以∠CAD＝∠CMA

因为CM＝DM

所以∠MCD＝∠D

因为∠XMA＝∠D＋∠MCD

所以∠CMA＝2∠D

所以∠CAD＝2∠D

因为CD//AB

所以∠BAD＝∠D

所以∠CAD＝2∠BAD

所以∠BAD＝∠CAB/3

类别：

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与三角形外角有关的一个不等关系

2009-07-2116:

已知CE为三角形ABC外角

解：

可以比较大小，结论是：

∠BAC＞∠B

理由：

在△BCE中，根据定理：

“三角形任一外角大于和它不相邻的内角”。

得：

∠DCE＞∠B

同理在，△ACE中，有：

∠BAC＞∠ACE

因为CE平分∠ACD

所以∠DCE＝∠ACE

所以∠BAC＞∠ACE＝∠DCE＞∠B

即有∠BAC＞∠B

类别：

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三角形中角平分线构成的角度问题

2009-06-2421:

如图，角ABD、角ACD的平分线相交于点P，若角A=50度，角D=10度则角P的度数为

解：

如图，延长PC交BD于E，设AC、PB交于F

在△ABF和△PCF中，根据内角和等于180度得：

∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°

因为∠AFB＝∠PFC

所以∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF

根据“三角形任一外角等于不相邻内角的和”得：

∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD－∠D

所以∠P＋∠PBE＝∠PCD－∠D

所以2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A－∠D＋∠ABF＋∠PCD

因为PB、PC是角平分线

所以∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE

所以2∠P＝∠A－∠D

（这是这个问题的一般性结论）

因为∠A＝50°，∠D＝10°

所以∠P＝20°

与此相关的问题见：

类别：

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角的关系问题

2009-06-2116:

初一几何：

如图，∠CAE＝∠DAE，∠CBF＝∠PBF

探求∠C、∠D、∠F的关系

解：

设直线EF交直线PB于M，∠CAE＝∠DAE＝X°，∠CBF＝∠PBF＝Y°，∠AMB＝Z°

根据“三角形任一外角等于不相邻两个内角的和”可得下列关系式：

①：

∠EFB＝Z＋Y

②：

∠D＝X－Z

③：

∠DAB＝Y－∠D

在三角形ABC中根据三角形内角和定理得：

∠C＝180°－2X－（Y－∠D）－Y

＝180°－2（X＋Y）＋∠D

①＋②得：

X＋Y＝∠D＋∠EFB

所以X＋Y＝∠D－∠EFB＋Z

所以∠C＝180°－2（X＋Y）＋∠D

＝180°－2（∠D＋∠EFB）＋∠D

＝180°－∠D－∠EFB

所以∠C＋∠D＋∠EFB＝180°

即原图中的∠C＋∠D＋∠F＝180°

类别：

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三角形中的角度问题

2009-06-0920:

证明：

因为AD⊥BC

所以∠ADE＝90°

所以∠EAD＝90°－∠AED

因为AE平分∠BAC

所以∠BAE＝∠BAC/2

因为∠AED＝∠B＋∠BAE＝∠B＋∠BAC/2

因为∠BAC＋∠B＋∠C＝180

所以∠BAC＝180°－∠B－∠C

所以∠AED＝∠B＋（180°－∠B－∠C）/2

所以∠AED＝∠B/2－∠C/2＋90°

所以∠EAD＝90°－∠AED

＝90°－（∠B/2－∠C/2＋90°）

所以∠EAD＝（∠C－∠B）/2

类别：

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一个角度问题

2009-05-2821:

如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若AB=AD,AC=BC,求角B的度数

类别：

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利用全等三角形证明角相等

2009-05-2220:

△abc的高ad与be相交于h,且bh=ac,求证:

∠bch=∠abc

证明：

因为AD、BE是高

所以∠ADC＝∠BEC＝∠BDH＝90°

所以∠CAD＋∠ACB＝90°，∠CBE＋∠ACB＝90°，

所以∠CAD＝∠CBE

又因为AC＝BH

所以△ACD≌△BHD（AAS）

所以DH＝CD，AD＝BD

所以△ABD和△CHD都是等腰直角三角形

所以∠DCH＝45°，∠ABC＝45°

所以∠BCH＝∠ABC

类别：

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三角形的一道较特殊问题

2009-05-1921:

已知AD平分角BAC,AB

证明：

连接BE，取BE的中点F，连接MF、NF

因为M是BC的中点，F是BE的中点

所以FM是△BCE的中位线

所以FM//CE且FM＝CE/2

同理可证EN//AB且EN＝AB/2

因为AB＝CE

所以FM＝FN

所以∠FMN＝∠FNM

因为AD平分∠BAC

所以∠CAD＝∠BAC/2

因为FM//AC

所以∠CNM＝∠FMN＝∠FNM

所以∠CNM＝∠CNF/2

因为FN//AB

所以∠BAC＝∠CNF

所以∠CNM＝∠CAD

所以MN//AD

此题是下列问题的一个变式问题：

类别：

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线段问题

2009-05-1609:

已知线段AB的中点C，E在CD上，而EA＝BD。

求证：

∠AEC＝∠BDC

证明：

过B作BF//AE交DC的延长线于F

因为BF//AE

所以∠F＝∠AEC，∠FBC＝∠A

又因为BC＝AC

所以△BCF≌△ACE

所以BF＝AE，

因为AE＝DB

所以BF＝DB

所以∠F＝∠BDC

所以∠AEC＝∠BDC

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简单的三角形的角度计算问题

2009-05-0412:

D是△ABC中BC边延长线上一点,DF⊥AB于F,交AC于E,∠A=40°,∠D=30°,求∠ACB的度数

解：

因为DF⊥AB

所以△AEF是直角三角形

所以∠A＋∠AEF＝90°

因为∠A＝40°

所以∠AEF＝50°

所以∠CED＝∠AEF＝50°

所以∠ACB＝∠D＋∠CED

＝30°＋50°

＝80°

或者：

因为DF⊥AB

所以△BDF是直角三角形

所以∠B＋∠D＝90°

因为∠D＝30°

所以∠B＝60°

因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠A＝40°

所以

∠ACB＝180°－（∠A＋∠B）

＝180°－（40°＋60°）

＝80°

类别：

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三角形的两个角度计算问题

2009-04-2923:

⑴△ABC是锐角三角形,D是BC上任一点,E,F分别在AB,AC边上,且∠DEB=∠B,∠DFC=∠C,∠A=55°求∠ABC.

⑵在等边三角形ABC中,将∠A沿DE折叠.使点A落在BC边上,试说明∠1与∠BFD的关系.

1、

∠B是不确定的角，没有办法求。

估计同学写错了，应该是求∠EDF

解：

因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝55°

所以∠B＋∠C＝180°－∠A＝125°

因为∠BDE＋∠CDF＋∠EDF＝180°

所以∠EDF＝180°－（∠BDE＋∠CDF）

而∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠DEB＝∠B

所以∠BDE＝180°－2∠B

同理∠CDF＝180°－2∠C

所以∠BDE＋∠CDF

＝360°－2（∠B＋∠C）

所以∠EDF＝180°－（∠BDE＋∠CDF）

＝180°－[360°－2（∠B＋∠C）]

＝180°－[360°－2*125°]

＝70°

上面的结果可以用∠A表示∠EDF。

∠EDF＝180°－[360°－2（∠B＋∠C）]

＝180°－[360°－2（∠180°－∠A）]

＝180°－2∠A

2、

（不知道∠1是哪个角，请用字母说明一下，便于解答）

我猜测∠1应该是∠CEF

解：

∠CEF与∠BFD相等

理由：

根据题意知∠DFE＝∠A＝∠B＝∠C＝60°

因为∠BFD＋∠CFE＋∠DFE＝180°

所以∠BFD＋∠CFE＝180°－60°＝120°

因为∠CEF＋∠CFE＋∠C＝180°

所以∠CEF＋∠CFE＝180°－60°＝120°

所以∠CEF＝∠BFD

类别：

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一道角度计算问题

2009-04-2019:

解：

如图，延长BE交AC于F

因为∠D＋∠E＝∠1（三角形任一外角等于不相邻两内角的和）

∠1＋∠C＝∠AFB（三角形任一外角等于不相邻两内角的和）

所以∠C＋∠D＋∠E＝∠AFB（等量代换）

因为∠A＋∠B＋∠AFB＝180°（三角形内角和等于180°）

所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°（等量代换）

（注意：

作了辅助线后，上面的∠E实际上应该写为∠DEF）

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三角形的一则角度计算问题

2009-04-0721:

在三角形abc中，角a等于60度，bp，bq三等分角abc，cp，cq三等分角acb。

连接pq，猜想角bpq的度数，并说明你的理由

解：

因为∠A＝60°

所以∠ABC＋∠ACB＝120°

因为BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB

所以∠PBC＋∠PCB＝120°*（2/3）＝80°

所以∠BPC＝180°－80°＝100°

因为BQ、CQ是△PBC的内角平分线的交点

所以根据“三角形三条内角平分线交于一点”知PQ平分∠BPC

所以∠BPQ＝∠BPC/2＝50°

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（2）|浏览（87）

一则常见的角度问题

2009-04-0720:

点D是△ABC内的一点,连接BD和CD,证明:

∠BDC>∠A

证明：

延长BD交AC于E

根据“三角形任一外角大于和它不相邻的任一内角”

得：

∠BDC＞∠BEC（在三角形CDE中运用上面的性质）

同理∠BEC＞∠A（在三角形ABE中运用上面的性质）

所以∠BDC＞∠A

当然也可以延长CD交AB于F进行证明

还可以连接AD并延长交BC于G进行证明

道理基本一样，关键就是运用“三角形任一外角大于和它不相邻的任一内角”这一重要性质。

类别：

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三角形的一道好题

2009-04-0221:

已知如图C是线段AB的中点E为CD上的一点且AE=DB.求证∠AEC=∠BDC

证明：

过B作BF//AE交DC的延长线于F

因为BF//AE

所以∠F＝∠AEC，∠FBC＝∠A

又因为BC＝AC

所以△BCF≌△ACE

所以BF＝AE，

因为AE＝DB

所以BF＝DB

所以∠F＝∠BDC

所以∠AEC＝∠BDC

（评：

这是一则虽然简单但很妙的问题）

类别：

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（1）|浏览（78）

三角形中的一个折叠问题

2009-02-2521:

如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到C’处,试探求角1、角2与角C的关系。

解：

本题的一般结论是：

∠1＋∠2＝2∠C

理由如下：

方法一：

因为△ABC沿EF折叠,使点C落到C’

所以∠C＝∠C'

如图，在四边形ABFE中

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＋∠B＝360°............

（1）

因为∠3＋∠4＋∠C'＝180°，

所以∠3＋∠4＋∠C＝180°

因为∠A＋∠B＋∠C＝180°

所以∠3＋∠4＝180°－∠C，∠A＋∠B＝180°－∠C

将上述两式代入

（1）式得

所以∠1＋∠2＋180°－∠C＋180°－∠C＝360°

所以∠1＋∠2＝2∠C

方法二：

（如果只学习了三角形内角和，没有学习四边形内角和可用此法）

因为△ABC沿EF折叠,使点C落到C’

所以∠C＝∠C'，∠3＝∠5，∠4＝∠6

因为∠1＋∠3＋∠5＝180°

所以2∠5＋∠1＝180°

同理2∠6＋∠2＝180°

所以2（∠5＋∠6）＋∠1＋∠2＝360°

因为∠5＋∠6＋∠C＝180°

所以∠5＋∠6＝180°－∠C

所以2（180°－∠C）＋∠1＋∠2＝360°

所以∠1＋∠2＝2∠C