北师大版高中数学必修3第一章单元质量评估B卷.docx
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北师大版高中数学必修3第一章单元质量评估B卷
第一章单元质量评估
（二）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行（ ）
A．测定一批炮弹的射程
B．测定海洋水域的某种微生物的含量
C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度
D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况
2．
（1）某学校为了了解2014年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．
（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是（ ）
A．
（1）Ⅲ
（2）ⅠB．
（1）Ⅰ
（2）Ⅱ
C．
（1）Ⅱ
（2）ⅢD．
（1）Ⅲ
（2）Ⅱ
3．对某校400名学生的体重（单位：
kg）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为（ ）
A．200 B．100 C．40 D．20
4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程y＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（min）
62
75
81
89
A.75B．62
C．68D．81
5．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A．12,24,15,9B．9,12,12,7
C．8,15,12,5D．8,16,10,6
6．某机床生产一种机器零件，10天中每天出的次品数分别是：
2,3,1,1,0,2,1,1,0,1，则这组数据的平均数和方差（即标准差的平方）分别是（ ）
A．1.2,0.76B．1.2,2.173
C．1.2,0.472D．1.2,0.6874
7．某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为（ ）
A.6B．7
C．8D．9
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
9．某校开展“了解传统习俗，弘扬民族文化”为主题的实践活动，实践小组就“是否知道端午节的由来”这个问题对部分学生进行了调查，调查结果如图所示，其中“不知道”的学生有8人，下列说法不正确的是（ ）
A．被调查的学生共有50人
B．被调查的学生中“知道”的人数为32
C．图中“记不清”对应的圆心角为60°
D．全校“知道”的人数约占全校人数的64%
10．已知数据x1，x2，x3的中位数为k，众数为m，平均数为n，方差为p，则下列说法中，错误的是（ ）
A．数据2x1,2x2,2x3的中位数为2k
B．数据2x1,2x2,2x3的众数为2m
C．数据2x1,2x2,2x3的平均数为2n
D．数据2x1,2x2,2x3的方差为2p
答案
1．D 抽样是为了用总体中的部分个体（即样本）来估计总体的情况，选项A，B，C都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．
2．A 通过分析可知，对于
（1），应采用分层抽样法，对于
（2），应采用简单随机抽样法．
3．B 由频率分布直方图可知学生体重在60kg以上的频率为（0.04＋0.01）×5＝0.25，故学生体重在60kg以上的人数为400×0.25＝100.
4．C 设表中模糊不清的数据为m，由表中数据得
＝30，
＝
，由于由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9，将
＝30，
＝
代入回归直线方程，得m＝68，故选C.
5．D 抽样比例为
＝
，因此，从各层依次抽取的人数为160×
＝8,320×
＝16,200×
＝10,120×
＝6.
6．A
＝
（2＋3＋1＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1）＝1.2，s2＝
（0.82＋1.82＋0.22＋0.22＋1.22＋0.82＋0.22＋0.22＋1.22＋0.22）＝0.76.
7．D 由众数的定义知x＝5，由乙班的平均分为81得
＝81，解得y＝4，故x＋y＝9.
8．C 甲射击比赛中靶4,5,6,7,8环各1次，则甲成绩的中位数为6环，平均数为6环，极差为4环，方差为2平方环；乙射击比赛中靶5环3次，6环1次，9环1次，则乙成绩的中位数为5环，平均数为6环，极差为4环，方差为2.4平方环．所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小．故选C.
9．C “不知道”的学生有8人，所占比例为16%，所以被调查的学生共有8÷16%＝50（人），被调查的学生中“知道”的人数为50×64%＝32，题图中“记不清”对应的圆心角为360°×（1－16%－64%）＝72°.
————————————————————————————
11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且不大于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：
第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y的值分别是（ ）
A．90%,35 B．90%,45
C．10%,35D．10%,45
12．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600，采用系统抽样法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8B．25,17,8
C．26,16,9D．24,17,9
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上）
13．如图是甲、乙两名篮球运动员2014年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________.
14.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：
万元）和年饮食支出y（单位：
万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：
y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加约________万元．
15．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________.
16．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：
辆）：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（1）求z的值．
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？
18．（本题满分12分）某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩如下：
甲：
9.48.77.58.410.110.510.77.27.810.8
乙：
9.18.77.19.89.78.510.19.210.19.1
（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；
（2）根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
（3）分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．
答案
10．D 当数据由x1，x2，x3变为2x1,2x2,2x3时，其中位数、众数、平均数也变为原来的2倍，但是其方差应变为原来的4倍．故数据2x1,2x2,2x3的方差为4p.
11．A 成绩小于17秒的人数占全班总人数的百分比为（0.02＋0.18＋0.36＋0.34）×100%＝90%；成绩大于等于15秒且小于17秒的人数为（0.36＋0.34）×100%×50＝35.
12．B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N＋）组中抽出的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤
，因此在第Ⅰ营区中抽出的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得
13．54
解析：
甲得分为17,22,28,34,35,36，其中位数为
＝31；乙得分为12,16,21,23,29,31,32，其中位数为23，故甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54.
14．0.254
解析：
因为回归直线方程中的斜率就是平均增长率，所以家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加约0.254万元．
15．192
解析：
由题意知
＝
，
解得n＝192.
16．10.5,10.5
解析：
因为总体的个体数是10，且中位数是10.5，
所以
＝10.5，即a＋b＝21.
所以总体的平均数是10.
要使总体的方差最小，只要（a－10）2＋（b－10）2最小，
因为（a－10）2＋（b－10）2＝（a－10）2＋（11－a）2＝2a2－42a＋221，所以当a＝
＝10.5时，（a－10）2＋（b－10）2取得最小值，
此时b＝21－a＝21－10.5＝10.5.
17．解：
（1）设该厂本月生产轿车n辆，
由题意，得
＝
，所以n＝2000，
则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.
（2）设所抽样本中有m辆舒适型轿车，
因为要用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以
＝
，解得m＝2，
即在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
18．解：
（1）如图所示，茎表示成绩的整数部分，叶表示小数点后的数字.
（2）由茎叶图可看出：
乙的成绩大致对称．
因此乙发挥稳定性好，甲波动性大．
（3）
甲＝
×（9.4＋8.7＋7.5＋8.4＋10.1＋10.5＋10.7＋7.2＋7.8＋10.8＝9.11，
s
＝
×[（9.4－9.11）2＋（8.7－9.11）2＋…＋（10.8－9.11）2]，
故s甲≈1.3；
乙＝
×（9.1＋8.7＋7.1＋9.8＋9.7＋8.5＋10.1＋9.2＋10.1＋9.1）＝9.14.
s
＝
×[（9.1－9.14）2＋（8.7－9.14）2＋…＋（9.1－9.14）2]，
故s乙≈0.9.
因为s甲>s乙，这说明了甲运动员成绩的波动程度大于乙运动员的波动程度，所以我们估计乙运动员的成绩比较稳定．
————————————————————————————
19.（本题满分12分）在某中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）求这两个班参赛的学生人数是多少？
（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？
（不必说明理由）
20．（本题满分12分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：
mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
[－3，－2）
0.10
[－2，－1）
8
（1,2]
0.50
（2,3]
10
（3,4]
合计
50
1.00
（1）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
（2）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；
（3）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．
答案
19．解：
（1）因为各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，所以第二小组的频率为1.00－（0.30＋0.15＋0.10＋0.05）＝0.40.
因为第二小组的频率为0.40，
所以第二小组的小长方形的高＝
＝
＝0.04，
由此可补全频率分布直方图（如图阴影部分所示）．
（2）设高二年级两个班参赛的学生人数为x人，
因为第二小组的频数为40，频率为0.40，
所以
＝0.40.
解得x＝100（人）．
所以高二年级两个班参赛的学生人数为100人．
（3）高二年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．
20．解：
（1）如表所示．
频率分布表
分组
频数
频率
[－3，－2）
5
0.10
[－2，－1）
8
0.16
（1,2]
25
0.50
（2,3]
10
0.20
（3,4]
2
0.04
合计
50
1.00
（2）由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.
（3）设这批产品中的合格品数为x件，依题意有
＝
，解得x＝1980.
所以该批产品的合格品件数估计是1980件．
————————————————————————————
21.（本题满分12分）某县教研室要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学成绩有什么影响，在高一年级学生中随机抽选5名学生分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如表）：
学生编号
1
2
3
4
5
入学成绩x
63
67
75
88
85
高一期末成绩y
65
77
80
82
92
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求出线性回归方程．
（2）若某学生入学的数学成绩是80分，试估测他高一期末数学考试成绩．
22．（本题满分12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x（m2）
115
110
80
135
105
销售价格y（万元）
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程（b，a的取值精确到0.0001），并在散点图中加上回归直线；
（3）据
（2）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（精确到0.1万元）．
（相关公式：
b＝
答案
21.解：
（1）设所求的线性回归方程为y＝bx＋a，
＝
＝75.6，
＝
＝79.2.
由最小二乘法可以写出b＝
＝
≈0.742.
a≈23.105.
因此所求的线性回归方程为y＝0.742x＋23.105.
（2）将x＝80代入所求出的线性回归方程中，得y≈82，即这个学生的高一期末数学考试成绩预测值为82分．
22．解：
（1）数据对应的散点图如图所示．
（2）
＝
i＝109，
（xi－
）2＝1570，
＝23.2，
（xi－
）（yi－
）＝308.
设所求回归直线方程为y＝bx＋a，
则b＝
＝
≈0.1962，
a＝
－b
＝23.2－109×0.1962≈1.8142.
故所求回归直线方程为y＝0.1962x＋1.8142.
（3）据
（2），当x＝150m2时，销售价格的估计值为y＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442≈31.2（万元）．
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