U"jhj-n若Uij+hj"T…，Z（3.2）
例如，当n=9时，符合条件1）的h有1，2，4，5，7，8;而h=3或h=6时不符合条件1），因为最大公约数（3,9）=3，（6,9）=3，均大于1.所以U9最多只可能有6列，又如当h^4时，用公式（3.2）来生成该列时其结果依次如下：
U13—4,u?
3=4，4=8,U33=8，4=12=3（mod9）
u43=34=7,u53=74=11=2（mod9）
u63=24=6,u73=64=10=1（mod9）
U83=14=5,U93=59
其结果列于表16的第三列。
表165（96）
1
2
3
4
5
6
1
1
2
4
5
7
8
2
2
4
8
1
5
7
3
3
6
3
6
3
6
4
4
8
7
2
1
5
5
5
1
2
7
8
4
6
6
3
6
3
6
3
7
7
5
1
8
4
2
8
8
7
5
4
2
1
9
9
9
9
9
9
9
用上述步骤生成的均匀设计表记作Un（nm）,向量h称为该表的
生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un（nm）记成Un（h）.给定n,相应的h可以象上例那样方便地求得，从而m也就确定.所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，
记为E（n）.这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列.下面的
结果来自数论：
i）当n为素数时，E（n-1）=n-1所谓素数就是一个正整数，它与
其所有比它小的正整数的最大公约数均为1.如2,3,4,5,11，13,,
均为素数。
ii）当n为素数幕时，即n可表成n=p1,这里p为素数l,l为正整数，这时
1
E（n）二n（1-一）（3・3）
P
例如n=9可表为n=32，于是
1
E（9）=9
（1）=6
3
即U9至多可以有6列。
iii）若n不属于上述两种情形，这时n一定可以表为不同素数
的方幕积，即
n=pl1p22…pSs（3.4）
这里P1,,Ps为不同的素数，11,,1s为正整数，这时
11
E（n）二n（1一一）,（11）（3・5）
PPs
例如n=12可表为n=223，于是
11
E（12）=12（1-二）（1-；）=4
23
即U12最多只可能有4列。
上述三种情形中，以素数情形为最好，我们最多可以获得n-1
列，而非素数情形，在上述表的结构中永远不可能有n-1列，例
如n=6=2131，此时E（6）=6（1一2）（1一1）=2，这说明，当n=6时，用上述办法生成的均匀设计表只有2列，即最多只能安排两个因素，
这是太少了，为此，王元，方开泰（1981）建议，可将5（76）表的最
后一行去掉来构造U6，为了区别于由（3.2）生成的均匀设计表，我
*6
们记它为U6（6），在u的右上角加一个“*”号，表U6（66）列于表仃，对照表16我们看到U表和U*表之间的关系和各自特点：
i）所有的Un表是由Un1表中划去最后一行而获得；
ii）un表的最后一行全部由水平n组成，u；表的最后一行则不
然。
若每个因素的水平都是由低到高排列，U；表中最后一号
表仃U6（66）
No.
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
试验将是所有最咼水平相组合，在有些试验中，例如在化工试验中，所有最高水平组合在一起可能使反应过分剧烈，甚至爆炸。
反之，若每个因素的水平都是由高到低排列，则U；表中最后一号试
验将是所有低水平的组合，有时也会出现反常现象，甚至化学反应不能进行。
U；*表则没有类似现象，比较容易安排试验。
iii）若n为偶数，U；表比u；表有更多的列。
如上面讨论过的U6表只有2列，而U；表可以有6列。
iv）若n为奇数，则U；表列数通常少于U；表。
v）U；表比U；表有更好的均匀性，应优先采用U；表，其细节将
在下节讨论。
vi）若将U；或U；的元素组成一个矩阵的秩最多分别为E（?
+1及
E（n1）1
2
3.2均匀性准则和使用表的产生
在1.6节曾指出均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列，那么使用表又是如何产生的呢？
设我们要从均匀设计表Un（nm）中选出S列，
则可能的选择有（?
）种可能，我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好”和“坏”有明确的含义，表Un（nm）是由它的生成向量h=（m，…,hm）所唯一确定的，选择S列，本质上就是从h中选择S个入，…，hm，由这S个数生成的均匀设计表为"⑴,…，hj，这是一个nXs矩阵。
它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中的n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。
因此，比较两个均匀设计表“何,…,hjs）和5阿，…，hjs）的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性。
于是我们必须给出均匀性度量。
度量均匀性准则很多，其中偏差（discrepancy）是使用历史最
久，为公众所广泛接受的准则，我们先给出它的定义。
设Un（nm）是一个均匀设计表，若把它的每一行看成m维空间的一个点，贝VUn（nm）给出了n个试验点，这些点的坐标由｛1,2,,,n｝组成，用线性变换将｛1,,,n｝均匀地变到（0,1）之间如下：
2i—1•……
'2n，^，，，n
若用qki表示Un（nm）中的元素，则上面的变换等价于令
Xk十…，Xkm）,k=1,…,n
于是n个试验点变换成［0,1］m=cm中的n个点：
x1/,xn.考虑原n个试验点的均匀性，等价于考核X1,…，Xn在Cm的均匀性。
定义2设X1,…，Xn为Cm中的n个点，任一向量X=（X1,,Xm）Cm，记
V（X）=X1…Xm为矩形［0,x］的体积，nx为X1…Xn中落入［0,X］的点数,则
Xi,…，Xn在cm中散布均匀，则nx/n表示有多少比例的点落在矩形［0,
X］中，它应当和该矩形的体积V（X）相差不会太远。
如果用统计学的语言来解释偏差，令
1n
Fn（X）=~-I{X^X}（3・8）
nk」
表示的{Xi,…，召}经验分布函数，式中1{・}为示性函数，令F（X）为Cm上均匀分布的分布函数，于是（3.7）定义的偏差可表为
D（Xi，…,（刈（3.9）
偏差实际上就是在分布拟合检验中的Kolmogorov-Smirnov统计量，
它给出了经验和理论分布之间的偏差。
在Cm中任给n个点Xi,…,Xn，如何计算它们的偏差对均匀设计表的构造十分重要。
长期以来，一直没有人编出一个实用的算法。
当方开泰在1978年提出均匀设计时，只好把偏差展开成级数，取其首
项，给出近似偏差的准则。
此方法方便计算，但有时有大的偏差，而且只适用于格子点法构造的均匀设计，不能计算正交设计等其它方法所产生试验点的偏差，最近Bundschuh和Zhu（朱尧辰）［17］给出
了计算偏差的算法，当因素数不太多时，他们的算法可以精确地求出任何点集的偏差，他们已用MATLAB编出有关的程序，本讲议
中的计算，都是用该程序获得的。
设我们要从均匀设计表Un（nm）中选出S列，使其相应的均匀设计有最小的偏差.当m和s较大时，由m列中取出s列的数目有（m）之多，要比较这么多组点集的均匀性工作量很大.于是需要有简化计算
和近似求解的方法.详细讨论可参看方开泰［2］，方开泰、郑胡灵［12］等.这里仅仅介绍利用整数的同余幕来产生h代的办法。
令a为小于n的整数，且a，a2（modm，,，at（modn）互不相同，at+1=1（modn），则称a对n的次数为t，例如
21=2,22=4,2’=3,24=1（mod5）
则2对5的次数为3.又如
3—3,3—9,3—5,34二4,3—1（mod9）
表示3对9的次数为4.一般若a对n的次数大于或等于s-1，且（a，n）=1，则可用
（a°,a,,asJ（modn）（3.10）
作为生成向量，故a称为均匀设计的生成元.然后在一切可能的a（最多n-1个）中去比较相应试验点的均匀性，工作量则大大减少.理论和
实践证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性.
于是，给定n和s，只要求得最优的a，便可获得生成向量，从
而获得相应的均匀设计表。
表18对奇数n（5Wn<31,n=37）给出了Un表的生成元及其相应均匀设计的偏差.同时对偶数n（6i）对奇数n,u；表比u；表有更好的均匀性，例如n=15,s=4时，U15（154）的偏差为D=0.2772，而U；（154）的偏差为D=0.1511，后者比前者相对降低了
表佃中p%—列给出了所有情形偏差降低的百分比.为了直观起见，
我们将表18和表19的偏差点成图11.我们按s=2,3,4,5分成四个图.图中“+”表示奇数n的u；表的偏差，“*”表示偶数
表18u；和u；的生成元和相应设计的偏差
n
2
3
4
5
6
7
5
2（.3100）
2（.4570）
6
3（.1875）
3（.2656）
3（.2990）
7
3（.2398）
3（.3721）
3（.4760）
8
4（.1445）
4（.2000）
2（.2709）
9
4（.1944）
4（.3102）
2（.4066）
10
7（.1125）
7（.1681）
5（.2236）
5（.2414）
7（.2994）
11
7（.1634）
7（.2649）
7（.3528）
7（.4286）
7（.4942）
12
5（.1163）
6（.1838）
6（.2233）
4（.2272）
6（.2670）
6（.2768）
13
5（.1405）
6（.2308）
6（.3107）
6（.3814）
6（.4439）
6（.4992）
14
11（.0957）
7（.1455）
7（.2091）
15
11（.1233）
7（.2043）
7（.2772）
16
10（.0908）
5（.1262）
5（.1705）
5（.2070）
10（.2518）
2（.2769）
17
11（.1099）
10（.1832）
10（.2501）
10（.3111）
10（.3667）
10（.4174）
18
8（.0779）
9（.1394）
9（.1754）
4（.2047）
3（.2245）
9（.2247）
19
8（.0990）
8（.1660）
14（.2277）
14（.2845）
14（.3368）
14（.3850）
20
13（.0947）
5（.1363）
10（.1915）
10（.2012）
10（.2010）
21
13（.0947）
10（.1581）
10（.2089）
10（.2620）
10（.3113）
22
9（.0677）
17（.1108）
17（.1392）
17（.1827）
17（.1930）
11（.2195）
23
17（.0827）
15（.1397）
17（.1930）
11（.2428）
17（.2893）
11（.3328）
24
11（.0586）6（.1031）
6（.1441）
12（.1758）
12（.2064）
12（.2198）
25
11（.0764）11（.1294）
11（.1793）
11（.2261）
4（.2701）
9（.3115）
26
16（.0588）10（.1136）
5（.1311）
5（.1683）
16（.1828）
5（.1967）
27
20（.0710）20（.1205）
20（.1673）
20（.2115）
16（.2533）
16（.2927）
28
18（.0545）7（.0935）
7（.1074）
16（.1381）
7（.1578）
7（.1550）
29
23（.0663）9（.1128）
7（.1596）
16（.1987）
16（.2384）
16（.2760）
30
22（.0519）22（.0888）
18（.1325）
18（.1465）
18（.1621）
11（.1924）
31
14（.0622）12（.1060）
22（.1477）
12（.1874）
12（.2251）
22（.2611）
37
17（.0524）23（.0931）
17（.1255）
7（.1599）
7（.1929）
7（.2245）
表佃奇数n的u；
表的生成向量和相应设计的偏差
ns生成向量
D
p%
72（1,5）
0.1582
34.03
3（3,5,7）
0.2132
42.70
92（1,3）
0.1574
19.03
3（3,7,9）
0.1980
36.17
112（1,5）
0.1136
30.39
3（5,7,11）
0.2307
12.91
132（1,9）
0.0962
31.53
3（1,9,11）
0.1442
37.52
4（1,5,9,
11）
0.2076
33.18
152（1,7）
0.0833
32.44
3（1,5,13）
0.1361
33.38
4（1,5,9,
13）
0.1511
45.49
5（5,7,9,
11,15）
0.2090
24.60
172（1,7）
0.0856
22.11
3（1,7,13）
0.1331
27.35
4（7,11,13,仃）
0.1785
28.63
192（1,9）
0.0755
23.74
3（1,3,11）
0.1372
17.35
4（1,3,7,
11）
0.1807
20.64
5（7,9,11,
13,19）
0.1897
33.32
212（1,13）
0.0679
28.30
3（1,7,9）
0.1121
29.10
4（1,5,7,
13）
0.1381
33.89
5（1,9,13,
17,19）
0.1759
32.86
u：
表的偏差，“0”为奇数n的un表的偏差。
由四个图中也明显看到u：
表有更好的均匀性。
ii）若n固定，当s增大时，u：
表（或u；表）的偏差也随之增大。
若s固定，u：
表的偏差随n的增大而减小。
而u：
表的偏差一般也随n的增大而减少，但有少数例外，其原因是它们的u：
i表的可能列数
E（n+1）不太多，由其中选择s的可能组合也不多，从而最小偏差相对偏大。
iii）表18列举的u：
和u：
是由生成元方法生成的,其生成向量
具有（3.10）的结构，而表佃的u：
是考虑从u：
i表中选出s列的一切可能的组合,所以生成向量中不一定包含1,当然也不具有（3.10）的结
构。
为了使用者的方便，已将表18和表19的结果用u：
（或u：
）表及其使用表形式列于本书附录I。
所以，读者可以对照附录I的诸表和
表18,19来加强对均匀设计表构造的理解。
由于在大部分情形下，因素数W7,故附录公仅给出s<7的使用表，并且删去Un（或U；）表中没有用到的列。
值得指出的是，均匀性度量的方法很多，最初王元，方开泰［3］
提出了近似偏差（discrepancy）的均匀性准则，利用这个准则，他们给出了nW31的使用表。
丁元［5］利用最优试验设计理论中的A-最优
和D-最优准则，给出了相应的使用表，类似于丁元的思想，张学中
大对称差的条件来度量均匀性，并提出均匀性度量必须要满足的条件，方开泰和张金廷［11］总结是纳了各种均匀性准则，系统地讨论了它们的关系和比较它们的优劣，最终推荐了由设计矩阵所诱导矩阵的特征的方差作为均匀性标准，并且也给出了nW31的使用表。
3.3混合水平的均匀设计表
由于实际情况千变万化，在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用。
本文所列举的文献中，不少作者有许多巧妙的应用和建议，很值得参考。
如王鹏等［21］在文中建议：
a）均匀设计与
调优方法共用；b）分组试验；c）拟水平法。
本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用。
若在一个试验中，有二个因素A和B为三水平，一个因素C为二水平。
分别记它们的水平为
Ai,A2,A3,Bi,B2,B3和Ci,C2。
这个试验可以用正交表Li8（23?
）来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比Li8更小的正交表来安排这个试
验。
是否可以用均匀设计来安排这个试验呢？
直接运用是有困难的，这就要运用拟水平的技术。
若我们选用均匀设计表u；（66），按使用表
的推荐用1，2,3前3列。
若将A和B放在前两列，C放在第3列，并将前两列的水平合并：
{1，2}二1,{3，4}二2,{5，6}=3。
同时
将第3列水平合并为二水平：
{1，2,3}=1,{4，5,6}=2，于是得设计表（表20）。
这是一个混合水平的设计表U6（3221）。
这个表有很
好的均衡性，例如，A列和C列，B列和C列的表20拟水平设计山©2"1）
No
A
B
C
1
（1）1
（2）1
（3）1
2
（2）1
（4）2
（6）2
3
（3）2
（6）3
（2）1
4
（4）2
（1）1
（5）2
5
（5）3
（3）2
（1）1
6
（6）3
（5）3
（3）2
二因素设计正好组成它们的全面试验方案，A列和B列的二因素设
计中没有重复试验。
可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。
例如我们要安排一个二因素（A，B）五水平和一因素（C）二水平的
试验。
这项试验若用正交设计，可用L50表，但试验次数太多。
若用
均匀设计来安排，可用Udi。
10）。
由使用表指示选用1,5，7三列。
对1,5列采用水平合并{1,2}=1,,,{9,10}=5;对7列采用水平合并{1,2,3,4,5}=1,{6,7,8,9,10}=2,于是得表21的方案。
这个方案中A和C的两列，有二个（2,2）,但没有（2,1）,有二个（4,1）,但没有（4,2）,因此均衡性不好。
表21拟水平设计Uio（5221）
No
A
B
C
1
（1）1
（5）3
（7）2
2
⑵1
（10）5
（3）1
3
⑶2
（4）2
（10）2
4
⑷2
（9）5
（6）2
5
⑸3
（3）2
（2）1
6
⑹3
（8）4
（9）2
7
⑺4
（2）1
（5）1
8
（8）4
（7）4
（1）1
9
（9）5
（1）1
（8）2
10
（10）5
（6）3
（4）1
表22拟水平设计Ui0（522）
No
A
B
C
1
（1）1
（2）1
（5）1
2
（2）1
（4）2
（10）2
3
（3）2
（6）3
（4）1
4
（4）2
（8）4
（9）2
5
（5）3
（10）5
（3）1
6
（6）3
（1）1
（8）2
7
（7）4
（3）2
（2）1
8
（8）4
（5）3
（7）2
9
（9）5
（7）4
（1）1
10.
（10）5
（9）5
（6）2
若选用U；O（1O10
）的1,2,
5三列，
用冋样的拟水平技术，便可
获得表22列举的Uio（522）表，它有较好的均衡性。
由于U；0（1O10）表有10列，我们希望从中选择三列
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