潇洒走一回的初中数学组卷.docx

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潇洒走一回的初中数学组卷

2014年07月03日潇洒走一回的初中数学组卷

2014年07月03日潇洒走一回的初中数学组卷

一．解答题（共13小题）

1．（2013•河南）先化简，再求值：

（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣

．

2．（2013•北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．

3．（2011•内江）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？

下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+（n﹣l）×n

=

n（n+l）（n﹣l）时，我们可以这样做：

（1）观察并猜想：

12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）

12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）

12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+　_________　

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+　_________　

=（1+2+3+4）+（　_________　）

…

（2）归纳结论：

12+22+32+…+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n﹣l）]n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n﹣1）×n

=（　_________　）+[　_________　]

=　_________　+　_________　

=

×　_________　

（3）实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是　_________　．

4．（2011•东莞）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是　_________　，它是自然数　_________　的平方，第8行共有　_________　个数；

（2）用含n的代数式表示：

第n行的第一个数是　_________　，最后一个数是　_________　，第n行共有　_________　个数；

（3）求第n行各数之和．

5．（2011•北京）已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．

6．（2010•漳州）计算：

（﹣2）0+（﹣1）2010﹣

7．（2007•娄底）计算：

（﹣2）3÷（﹣1﹣3）﹣（

）﹣1+（3.14﹣π）0

8．（2007•荆州）先化简，再求值：

[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷（xy），其中x=10，y=﹣

．

9．（2006•肇庆）

（1）计算：

（a+b）（a2﹣ab+b2）；

（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．

10．（2006•龙岩）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　_________　项，系数分别为　_________　；

（2）（a+b）n展开式共有　_________　项，系数和为　_________　．

11．（2014•安徽）观察下列关于自然数的等式：

32﹣4×12=5①

52﹣4×22=9②

72﹣4×32=13③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：

92﹣4×　_________　2=　_________　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

12．（2000•内蒙古）计算：

13．（2014•缙云县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA的长为半径画弧AC，连接AF，CF，求图中阴影部分的面积．

2014年07月03日潇洒走一回的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共13小题）

1．（2013•河南）先化简，再求值：

（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x=x2+3，

当x=﹣

时，原式=2+3=5．

点评：

此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：

完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

2．（2013•北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．

考点：

整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

所求式子第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知方程变形后代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2

=3x2﹣12x+9

=3（x2﹣4x+3），

∵x2﹣4x﹣1=0，即x2﹣4x=1，

∴原式=12．

点评：

此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：

完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

3．（2011•内江）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？

下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+（n﹣l）×n

=

n（n+l）（n﹣l）时，我们可以这样做：

（1）观察并猜想：

12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）

12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）

12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+　（1+3）×4　

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+　4+3×4　

=（1+2+3+4）+（　0×1+1×2+2×3+3×4　）

…

（2）归纳结论：

12+22+32+…+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n﹣l）]n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n﹣1）×n

=（　1+2+3+…+n　）+[　0×1+1×2+2×3+…+（n﹣1）n　]

=　

n（n+1）　+　

n（n+1）（n﹣1）　

=

×　n（n+1）（2n+1）　

（3）实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是　338350　．

考点：

整式的混合运算．菁优网版权所有

分析：

根据

（1）所得的结论，即可写出

（1）

（2）的结论；

（3）直接代入

（2）的结论，计算即可．

解答：

解：

（1）观察并猜想：

（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4；

（2）归纳结论：

1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n﹣1）n；

n（n+1）；

n（n+1）（n﹣1）；n（n+1）（2n+1）；

（3）实践应用：

当n=100时，

×100×（100+1）（200+1）=338350．

点评：

本题主要考查了整数的计算，正确观察已知条件，得到结论是解题的关键．

4．（2011•东莞）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是　64　，它是自然数　8　的平方，第8行共有　15　个数；

（2）用含n的代数式表示：

第n行的第一个数是　n2﹣2n+2　，最后一个数是　n2　，第n行共有　2n﹣1　个数；

（3）求第n行各数之和．

考点：

整式的混合运算；规律型：

数字的变化类．菁优网版权所有

分析：

（1）数为自然数，每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，很容易得到所求之数；

（2）知第n行最后一数为n2，则第一个数为n2﹣2n+2，每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，故个数为2n﹣1；

（3）通过以上两步列公式从而解得．

解答：

解：

（1）每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，由题意最后一个数是该行数的平方即得64，

其他也随之解得：

8，15；

（2）由

（1）知第n行最后一数为n2，则第一个数为n2﹣2n+2，

每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，

故个数为2n﹣1；

（3）第n行各数之和：

×（2n﹣1）=（n2﹣n+1）（2n﹣1）．

点评：

本题考查了整式的混合运算，

（1）看数的规律，自然数的排列，每排个数1，3，5，…从而求得；

（2）最后一数是行数的平方，则第一个数即求得；（3）通过以上两步列公式从而解得．本题看规律为关键，横看，纵看．

5．（2011•北京）已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．

考点：

整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

本题需先要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出a+b的值，即可求出最后结果．

解答：

解：

a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）

=a2+4ab﹣（a2﹣4b2）

=4ab+4b2

∵a2+2ab+b2=0

∴a+b=0

∴原式=4b（a+b）

=0

点评：

本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键．

6．（2010•漳州）计算：

（﹣2）0+（﹣1）2010﹣

考点：

负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

本题涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：

解：

原式=1+1﹣2

=0．

故答案为0．

点评：

本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算．

7．（2007•娄底）计算：

（﹣2）3÷（﹣1﹣3）﹣（

）﹣1+（3.14﹣π）0

考点：

有理数的混合运算；零指数幂．菁优网版权所有

分析：

按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．

解答：

解：

原式=﹣8÷（﹣4）﹣2+1=2﹣2+1=1．

点评：

本题考查的是有理数的运算能力．

注意：

（1）要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．

（2）在混合运算中要特别注意运算顺序：

先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．

8．（2007•荆州）先化简，再求值：

[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷（xy），其中x=10，y=﹣

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有

分析：

根据平方差公式和单项式乘多项式的法则计算，再利用单项式的除法计算化简，然后代入数据求解即可．

解答：

解：

[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷（xy），

=[（xy）2﹣22﹣2x2y2+4]÷（xy），

=（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷（xy），

=（﹣x2y2）÷（xy），

=﹣xy，

当x=10，y=﹣

时，原式=﹣10×（﹣

）=

．

点评：

考查了整式的混合运算．主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．

9．（2006•肇庆）

（1）计算：

（a+b）（a2﹣ab+b2）；

（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．

考点：

平方差公式．菁优网版权所有

分析：

（1）用多项式的乘法法则将多项式展开，再合并同类项即解得结果；

（2）用立方和公式直接计算．

解答：

解：

（1）（a+b）（a2﹣ab+b2），

=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3，

=a3+b3；

（2）x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），

=（x+y）[（x+y）2﹣3xy]，

∵x+y=1，xy=﹣1，

∴x3+y3=1×[12﹣3×（﹣1）]=4．

点评：

本题考查了平方差公式，在计算

（2）时，用整体思想比较简单，也可先将x+y=1，xy=﹣1组成方程组来解答．

10．（2006•龙岩）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　5　项，系数分别为　1，4，6，4，1　；

（2）（a+b）n展开式共有　n+1　项，系数和为　2n　．

考点：

完全平方公式．菁优网版权所有

专题：

规律型．

分析：

本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：

首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：

1、4、6、4、1．

解答：

解：

（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：

1、4、6、4、1；

（2）当a=b=1时，（a+b）n=2n．

故答案为：

（1）5，1，4，6，4，1；

（2）n+1，2n．

点评：

本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

11．（2014•安徽）观察下列关于自然数的等式：

32﹣4×12=5①

52﹣4×22=9②

72﹣4×32=13③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：

92﹣4×　4　2=　17　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

考点：

规律型：

数字的变化类；完全平方公式．菁优网版权所有

分析：

由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．

解答：

解：

（1）32﹣4×12=5①

52﹣4×22=9②

72﹣4×32=13③

…

所以第四个等式：

92﹣4×42=17；

（2）第n个等式为：

（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，

左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，

右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．

左边=右边

∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．

点评：

此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

12．（2000•内蒙古）计算：

考点：

平方差公式；有理数的混合运算．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：

12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．

解答：

解：

由题意可设字母n=12346，那么12345=n﹣1，12347=n+1，

于是分母变为n2﹣（n﹣1）（n+1）．

应用平方差公式化简得

n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，

即原式分母的值是1，

所以原式=24690．

点评：

此题主要考查平方差公式的性质及其应用，是一道好题，计算时要仔细．

13．（2014•缙云县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA的长为半径画弧AC，连接AF，CF，求图中阴影部分的面积．

考点：

整式的混合运算．菁优网版权所有

分析：

设正方形BCFE的边长是a，根据题意得出阴影部分的面积是S=S△CEF+S正方形BCFE+S扇形BAC﹣S△ACF，代入求出即可．

解答：

解：

设正方形BCFE的边长是a，

则阴影部分的面积是S=S△CEF+S正方形BCFE+S扇形BAC﹣S△ACF

=

a（4﹣a）+a2+

﹣

（4+a）a

=4π．

点评：

本题考查了扇形面积，三角形面积，正方形性质的应用，解此题的关键是能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．