导数常见题型.docx
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导数常见题型
导数常见题型一（导数的的运用之一：
函数单调性）
田林中学李锦彤
一、已知函数的解析式，讨论函数的单调区间；
二、已知函数在某个区间上单调，求函数中的参数的取值范围。
一、第一类问题注意分类讨论思想的考查
（1）若函数的解析式已知，不需要讨论。
1、①求函数
的单调区间②求
的单调区间
2、（2010年高考福建卷理科20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数
，
（i）求函数
的单调区间；
3、（06安徽卷）设函数
，已知
是奇函数。
（Ⅰ）求
、
的值。
（Ⅱ）求
的单调区间与极值。
4、（07海南）设函数
（理科做）
（Ⅰ）求
的单调性；（Ⅱ）求
在区间
的最大值和最小值．
5、（06江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）
6、（07全国一文）设函数
在
及
时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求c的取值范围．
7、（2009北京文）（本小题共14分）
设函数
.
（Ⅰ）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；
（Ⅱ）求函数
的单调区间与极值点.
8、（08安徽卷20）．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）已知
对任意
成立，求实数
的取值范围。
（2）若函数的解析式中有参数，要注意讨论。
例、（2008年全国Ⅰ即广西卷理19．文21，本小题满分12分）
已知函数
，
．
O
图①
（Ⅰ）讨论函数
的单调区间；
解：
⑴
当
恒成立。
图①
O
图②
此时
为单调递增函数，单调增区间为
当
当且仅当
时取“＝”号。
O
图③
如图②，此时
为单调递增函数，单调增区间为
当
此时，
此时，函数
和
单调减区间为
练习、1、讨论函数
的单调性（理科生做）
2、（06湖南卷）已知函数
.
（Ｉ）讨论函数
的单调性；
3、理科（2006年全国卷I、广西理21）已知函数
。
（Ⅰ）设
，讨论
的单调性；
4、（2009北京理）（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围.
二、已知函数在某个区间上单调，求函数中的参数的取值范围。
这类问题常见解法有三种：
方法一：
由
是增
解出
的范围（再把此范围与已知区间比较）
方法二：
由
是增
在已知区间上恒成立
解出
再转化为有关恒成立问题
备注：
有关恒成立问题，一般思维方式是：
，
练习：
若不等式
对任何实数
都成立，求实数
的范围。
方法三：
由
是增
看
的图象，求出
最小值，使
≥0
例1:
要使函数
在区间
上是减函数,求实数
的取值范围。
方法1：
先求出
的减区间
由
的导数
得
∴
在
上是减函数。
又∵
在区间
上是减函数
∴
方法2：
∵
在区间
上是减函数
∴
即
令
，
要使
，只要
∵
在
上最小值为
∴
方法3：
∵
在区间
上是减函数∴
要使
∵
∴
∴
方法4：
此题本应该用此方法
∵原函数
是我们会画的二次函数，∴直接从原函数
的图象就可得知
解：
∵
是开口向上，对称轴为
的抛物线
∴
在
上是减函数。
又∵
在区间
上是减函数
∴
例2（2008年全国Ⅰ即广西卷理19．文21，本小题满分12分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调区间；（Ⅱ）设函数
在区间
内是减函数，求
的取值范围．
解：
⑵、法一：
若函数
内是减函数，则
在
上
恒成立等价于
必有两根，且两根必在
之外，
y
O
图④
如图④
点评：
该方法用方程的思想，将不等式问题转化为一元二次方程的根的分布问题，结合二次函数图象的特征，列出约束条件即可。
优化了解题方法，锻炼了数学思维能力。
法二：
等价于方程
必有两根，且两根必在
之外。
此方法涉及到无理不等式的解法，许多文科生望而生畏，甚至部分理科生也都无奈放弃继续运算。
法三：
若函数
内是减函数，则
在
上恒成立，转化成
即可。
于是求二次函数
在
的最大值。
函数对称轴为
，结合图形⑤、⑥的单调区间，只需：
y
O
图⑥
y
O
图⑤
或
综上可知
的取值范围是
法四：
若函数
内是减函数，则
在
上恒成立,
∴
对
上恒成立
∴
二次函数在给定区间上的最值问题，它由二次函数的图象的开口方向、对称轴的位置、区间的端点，结合函数的单调性来确定最大、最小值。
对于“定区间、动轴”需要对动轴的位置进行分类讨论；对于“定轴、动区间”则需对动区间的位置进行分类讨论。
研究该题的解法，我们发现它将“三个二次”（二次函数、二次不等式、二次方程）有机地结合在一起，每种解法都自始至终贯穿了数形结合思想、分类讨论思想。
练习：
1、已知
为实数，
若
在
上都是递增的,求
的取值范围。
2、（2006全国卷I广西文21）设
为实数，函数
在
和
都是增函数，求
的取值范围。
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