全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案word版.docx
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全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案word版
2017年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1.设是定义在上的函数.对任意实数有.又当时..则的值为__________.
2.若实数满足.则的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系中.椭圆的方程为.为的上焦点.为的右顶点.是C上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC中.AB=1.AP=2.过AB的平面α将其体积平分.则棱PC与平面α所成角的余弦值为________.
6.在平面直角坐标系中.点集.在中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为的概率为__________.
7.在中.是边的中点.是线段的中点.若.的面积为.则的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列满足：
.对任意正整数.有..则的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设为实数.不等式对所有成立.证明：
.
10.设是非负实数.满足.求的最小值和最大值.
11.设复数满足..且（其中表示复数的实部）.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试
一.如图.在中..为的内心.以为圆心.为半径作圆.以为圆心.为半径作圆.过点的圆与,分别交于点（不同于点）.设与交于点.证明：
二.设数列定义为..求满足的正整数的个数.
三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
四.设均是大于1的整数..是个不超过的互不相同的正整数.且互素.证明：
对任意实数.均存在一个.使得.这里表示实数到与它最近的整数的距离.
2017年全国高中数学联赛A卷一试答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷二试答案
一.
二.
三.
四.
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：
本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列中...则的值为.
2.设复数满足.则的值为.
3.设是定义在上的函数.若是奇函数.是偶函数.则的值为.
4.在中.若.且三条边成等比数列.则的值为.
5.在正四面体中.分别在棱上.满足..且与平面平行.则的面积为.
6.在平面直角坐标系中.点集.在中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.
7.设为非零实数.在平面直角坐标系中.二次曲线的焦距为4.则的值为.
8.若正整数满足.则数组的个数为.
二、解答题（本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式对所有成立.求实数的取值范围.
10.设数列是等差数列.数列满足..
（1）证明：
数列也是等差数列；
（2）设数列、的公差均是.并且存在正整数.使得是整数.求的最小值.
11.在平面直角坐标系中.曲线.曲线.经过上一点作一条倾斜角为的直线.与交于两个不同的点.求的取值范围.
2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数满足.令.证明：
二、（本题满分40分）
给定正整数.证明：
存在正整数.使得可将正整数集分拆为个互不相交的子集.每个子集中均不存在4个数（可以相同）.满足.
三、（本题满分50分）
如图.点是锐角的外接圆上弧的中点.直线与圆过点的切线分别相交于点.与的交点为.与的交点为.与的交点为.求证：
平分线段.
四、（本题满分50分）
设..集合.求的元素个数的最大值.
一试试卷答案
1.答案：
解：
数列的公比为.故.
2.答案：
。
解：
设.由条件得.比较两边实虚部可得.解得：
.故.进而.
3.答案：
。
解：
由条件知...
两式相加消去.可知：
.即.
4.解：
由正弦定理知..又.于是.从而由余弦定理得：
.
5.解：
由条件知.平行于.因为正四面体的各个面是全等的正三角形.故..
由余弦定理得..
同理有.
作等腰底边上的高.则.故.
于是.
6.解：
注意中共有9个点.故在中随机取出三个点的方式数为种.
当取出的三点两两之间距离不超过2时.有如下三种情况：
（1）三点在一横线或一纵线上.有6种情况.
（2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点.有种情况.
（3）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点.其中.直角顶点位于的有4个.直角顶点位于.的各有一个.共有8种情况.
综上可知.选出三点两两之间距离不超过2的情况数为.进而所求概率为.
7.解：
二次曲线方程可写成.显然必须.故二次曲线为双曲线.其标准方程为.则.注意到焦距.可知.又.所以.
8.解：
由条件知.当时.有.对于每个这样的正整数.由知.相应的的个数为.从而这样的正整数组的个数为.
当时.由.知..进而.
故.此时共有2组.
综上所述.满足条件的正整数组的个数为.
9.解：
设.则.于是对所有成立.由于..
对给定实数.设.则是关于的一次函数或常值函数.注意.因此等价于.解得
所以实数的取值范围是.
10.解：
（1）设等差数列的公差为.则
所以数列也是等差数列.
（2）由已知条件及
（1）的结果知：
.因为.故.这样
若正整数满足.则
.
记.则.且是一个非零的整数.故.从而.
又当时.有.
综上所述.的最小值为.
11.解：
设.则直线的方程为.代入曲线的方程得..
化简可得：
①.
由于与交于两个不同的点.故关于的方程①的判别式为正.计算得.
.
因此有.②
设的横坐标分别为.由①知...
因此.结合的倾斜角为可知.
.③
由②可知..故.从而由③得：
注1：
利用的圆心到的距离小于的半径.列出不等式.
同样可以求得②中的范围.
注2：
更简便的计算的方式是利用圆幂定理.事实上.的圆心为.半径为.故.
加试试卷答案
一、证明：
当时.不等式显然成立
以下设.不妨设不异号.即.那么有
因此
二、证明：
取.令.
设.则.
故.而.所以在中不存在4个数.满足
三、
证明：
首先证明.即证
连接.因为.
所以.①
由题设.是圆的切线.所以..又（注意是弧的中点）.于是由①知②
因为.所以.
于是③
而④
由②.③.④得.
即
又.
故
设边的中点为.因为.
所以由塞瓦定理知.三线共点.交点即为.故由可得平分线段
四、解：
考虑一组满足条件的正整数
对.设中取值为的数有个.根据的定义.当时..因此至少有个不在中.注意到.则柯西不等式.我们有
从而的元素个数不超过
另一方面.取（）.（）.
则对任意（）.有
等号成立当且仅当.这恰好发生次.此时的元素个数达到
综上所述.的元素个数的最大值为160.
四、
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